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 #26 - 07-09-2012 19:38:39

Vasimolo
Le pâtissier
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Echecs 41

Tu parles des noeuds traversés par la boucle ou cernés par la boucle ?

Vasimolo

#0 Pub

 #27 - 07-09-2012 19:44:56

nodgim
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Echhecs 14

"Il se déplace comme il l'entend à condition de finir son parcours sur la case de départ et de ne jamais repasser sur un autre nœud qu'il a déjà rencontré "

L'énoncé est assez clair. D'ailleurs il n'y a pas de noeud inséré dans une boucle, ils font tous partie de la boucle.
En revanche, les cases entourées par la boucle existent bien, et il y a bien une particularité pour le sens de déplacement dans la boucle de part et d'autre d'une ou plusieurs cases entourées....

 #28 - 07-09-2012 19:48:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Ecchecs 14

Ah oui, je comprends mieux, je me suis efforcé de lui faire faire le tour complet de tous les noeuds, mais l'énoncé ne l'exige pas....

 #29 - 07-09-2012 19:54:18

Vasimolo
Le pâtissier
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exhecs 14

J'appelle noeud l'intersection entre une ligne et une colonne du quadrillage , je ne suis pas sûr que nouns parlions de la même chose .

Vasimolo

 #30 - 07-09-2012 20:18:21

halloduda
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Echecs 144

C'est, ramené en entiers, le théorème de Green ou Green-Riemann.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … e_de_Green

 #31 - 07-09-2012 20:22:57

Vasimolo
Le pâtissier
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Echecs 1

Un peu trop facile comme échappatoire smile

Vasimolo

 #32 - 08-09-2012 07:25:02

nodgim
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Echecss 14

Une démo complète:
Dans une colonne, une ou plusieurs cases à l'intérieur de la boucle, limitée en haut et en bas par le trajet de la boucle: le sens du trajet en haut est opposé au sens en bas: Dans le cas contraire il est impossible de relier les flêches en boucle sans couper l'espace entre les 2 flêches.
Même raisonnemment pour les cases extérieures à la boucle, limitées en haut et en bas par le trajet.
Pour 2 colonnes adjacentes, les 2 limites supérieures de chacune d'elle sont de même sens: Dans l'autre cas, si l'on tente de raccorder les flêches en boucle, on serait obligé de passer au dessus de l'une des flêches.
Ainsi, sur toute l'étendue du domaine entouré par la boucle:

Toutes les flêches supérieures sont de même sens, les flêches inférieures aussi, dans le sens contraire.

Maintenant prenons le cas d'une flêche supérieure sur la ligne 7 et l'inférieure sur la ligne 3: Celle du haut incrémente de +7, et celle du bas décrémente de +3: on a donc bien une différence qui compte le nombre de cases insérées.

Une flêche supérieure en -3, l'autre en -5: résultat +2.

Donc le mode de comptage correspond exactement au nombre de cases entourées par la boucle.

 #33 - 08-09-2012 10:12:47

Vasimolo
Le pâtissier
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echevs 14

J'avais fait à peu près pareil .

On coupe le circuit en bandes verticales de largeur 1 . Les variations du compteur B sont représentées par les flèches rouges . Les variations générées par 2 déplacements successifs dans la même bande correspondent exactement à l'aire du rectangle qu'elles délimitent .

http://img856.imageshack.us/img856/5736/solutionz.jpg

Ce n'est pas très rigoureux mais c'est assez visuel .

Vasimolo

 #34 - 08-09-2012 11:47:12

nodgim
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ecjecs 14

Oui, mais il faut avant tout être certain de l'invariant du sens des flêches !
Ce qui n'est pas une évidence pour les configurations compliquées.

 #35 - 08-09-2012 11:56:06

Vasimolo
Le pâtissier
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Echces 14

Dans une même colonne les flèches sont alternativement vers la gauche ou vers la droite . Visuellement c'est évident , il suffit de voir la trajectoire du robot comme une ficelle que l'on déforme . Mais je ne suis pas complètement satisfait par cette explication , il y a sûrement plus simple .

Vasimolo

 #36 - 08-09-2012 12:42:48

gwen27
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rchecs 14

Ca vaut ce que ça vaut, je voyais le problème ramené à des déplacements "unitaires"
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-echec14.JPG

 #37 - 08-09-2012 12:48:42

Vasimolo
Le pâtissier
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Echeecs 14

Ca marche aussi avec le deuxième parcours que j'ai proposé ?

Vasimolo

 #38 - 08-09-2012 13:23:54

gwen27
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Echecs 1

Oui, mais ça m'a juste permis de visualiser le problème en oubliant tes compteurs...

Le compteur étant juste le rayon, par colonne on entre et sort de la courbe :
Colonne 1  : 2-1
colonne 2 : 2-0
colonne 3 : 3-1

Le signe donne juste le sens de rotation.

Dans le second exemple :
6-4+2-1
6-3+2
6-3+2-1
5-1
5-2

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-echec14bis.JPG

 #39 - 08-09-2012 13:27:03

nodgim
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echrcs 14

Vasimolo a écrit:

Dans une même colonne les flèches sont alternativement vers la gauche ou vers la droite . Visuellement c'est évident , il suffit de voir la trajectoire du robot comme une ficelle que l'on déforme . Mais je ne suis pas complètement satisfait par cette explication , il y a sûrement plus simple .

Vasimolo

Ben je l'ai expliqué justement. ce n'est pas clair ?

 #40 - 08-09-2012 23:48:13

Vasimolo
Le pâtissier
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Echces 14

J'ai d'autant mieux compris que j'avais pensé la même chose smile

Sur mon dessin il est clair que dans une colonne donnée les flèches alternent leurs directions j'attendais simplement quelque chose de plus propre que : "il est évident ... "

D'un autre côté ces petits problèmes à l'air de rien côtoient de très près des problèmes assez fins d'analyse comme le signalait Halloduda . On peut penser à Green-Riemann mais aussi à Brouwer ou Jordan ... Ici on doit jouer sur le côté borné et orienté de la trajectoire et il n'est pas évident qu'il existe une explication simple qui évite l'artillerie lourde ou le traditionnel : "comme ça se voit sur le dessin" .

Vasimolo

 #41 - 09-09-2012 09:14:41

nodgim
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Echeccs 14

J'ai l'impression qu'on ne se comprend pas: je prouve cette alternance, c'est plutôt court comme démo, mais tu sembles encore hésitant, et te ramènes au dessin. Je le répète, le dessin seul ne peut en aucun cas prouver les alternances, car on peut inventer des sinuosités très compliquées. Quant aux références aux Mathématiciens qui ont déja planché sur le sujet, pourquoi pas, mais on n'est pas obligé de tout connaitre, et je crois que ce n'est pas le but des engimes proposées ici.

 #42 - 09-09-2012 09:19:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Echec s14

Sinon, une corollaire au problème initial:
On veut que le robot passe par tous les noeuds du carré (1 seule fois) avant de revenir à sa position initiale. J'avais émis cette hypothèse:

Le nombre de cases prisonnières à l'intérieur de la boucle est de n-1 pour un carré comprenant 2n*2n noeuds.

Reste juste à le démontrer.

 #43 - 09-09-2012 09:35:53

gwen27
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Echecs 1

Pour un carré comprenant 2n noeuds.

 #44 - 09-09-2012 10:50:46

Vasimolo
Le pâtissier
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Ecehcs 14

@Nodgim

Je ne cherche pas à utiliser de gros résultats , au contraire je cherche à les éviter smile

Quand tu dis que sur la figure suivante on ne peut pas relier continûment les deux flèches sans passer à l'intérieur du carré tu utilises le théorème du point fixe de Brouwer ou un résultat sur les chemins de Jordan .

http://img528.imageshack.us/img528/2227/problme.jpg

Évidemment c'est très facile de dire qu'il est clair que le chemin doit traverser le carré . Le problème est du même type que celui des trois maisons à raccorder aux compteurs . Si la réponse doit être : "c'est non parce que ça ce voit !" , où est l'intérêt ?

Vu que le problème est essentiellement discret je me demandais s'il existait une solution faisant l'économie des ces résultats un peu pointus .

Vasimolo

 #45 - 09-09-2012 12:04:33

nodgim
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Echeecs 14

gwen27 a écrit:

Pour un carré comprenant 2n noeuds.

Pour être précis: avec un carré de 2n*2n noeuds, la boucle entoure 2n²-1 cases, et non n-1.

 #46 - 09-09-2012 12:16:56

nodgim
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evhecs 14

Vasimolo a écrit:

@Nodgim

Je ne cherche pas à utiliser de gros résultats , au contraire je cherche à les éviter smile

Quand tu dis que sur la figure suivante on ne peut pas relier continûment les deux flèches sans passer à l'intérieur du carré tu utilises le théorème du point fixe de Brouwer ou un résultat sur les chemins de Jordan .

http://img528.imageshack.us/img528/2227/problme.jpg

Évidemment c'est très facile de dire qu'il est clair que le chemin doit traverser le carré . Le problème est du même type que celui des trois maisons à raccorder aux compteurs . Si la réponse doit être : "c'est non parce que ça ce voit !" , où est l'intérêt ?

Vu que le problème est essentiellement discret je me demandais s'il existait une solution faisant l'économie des ces résultats un peu pointus .

Vasimolo

D'accord Vasimolo. Je pensais juste que "l'évidence" que tu mentionnais se rapportait à la boucle complète du dessin, et non aux figures élémentaires. Voilà l'ambiguïté levée.
Maintenant, ce n'est pas tout à fait du visuel, mais de la logique qui se sert du visuel. De la topo de base.
Vas donc tenter de donner la définition d'une droite. C'est un axiome de géométrie.
Si je dessine une boucle, je partage le plan en 2 zones: celle à l'intérieur de la boucle, et celle à l'extérieur. Je considère ça comme un axiome.

 #47 - 09-09-2012 12:35:55

Vasimolo
Le pâtissier
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ecgecs 14

Ce que tu considères comme un axiome est le fameux théorème de Jordan :http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … _de_Jordan

Vasimolo

 #48 - 02-10-2012 12:29:03

titoufred
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evhecs 14

Bien sûr que l'on accepte le théorème de Jordan et que l'on est obligé d'y recourir. Sans cela, on ne peut parler de la surface à l'intérieur de la boucle et donc on ne peut pas répondre à l'énigme.

Pour ce qui est de l'alternance du sens des flèches je vois ça comme ça : lorsqu'on parcourt le circuit, l'intérieur se trouve d'un côté, toujours le même, disons à gauche. Maintenant, sur une colonne donnée et de bas en haut : sous la première flèche, on se trouve à l'extérieur de la boucle, donc cette première flèche est vers la droite, donc entre la première et la deuxième flèche on se trouve à l'intérieur, donc la deuxième flèche est vers la gauche, etc...

 #49 - 02-10-2012 23:31:27

Vasimolo
Le pâtissier
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Ehcecs 14

Il n'est pas question de nier le théorème de Jordan ni de redéfinir un chemin orienté , mais seulement d'admettre que ce n'est pas élémentaire smile

Vasimolo

 #50 - 03-10-2012 19:18:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
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zchecs 14

Peut être oui...Mais alors pourquoi admet-on si facilement l'axiome d'une droite, qui n'est que visuel après tout, et pas celui d'une boucle qui partage le plan en 2 régions ?

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