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 #1 - 22-07-2011 19:01:25

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

récurrence géométtique

Je pars d'un cercle de rayon x et de centre O et j'applique un petit programme de construction :

start:
Tracer dans ce cercle une corde de longueur x
Tracer un cercle de centre O tangent à cette corde
GOTO start

Au bout de 3 étapes, je constate que le cercle obtenu a exactement un rayon de x/2

Combien d'étapes faudrait-il pour obtenir le même résultat en partant avec une corde de x/5?

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-cible.jpg



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 #2 - 22-07-2011 20:00:29

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

réxurrence géométrique

Dans ce cas précis: x^2 = x^2 / 4 + (ax)^2 : a étant le coefficient de réduction

soit a = rac(3) /2

étape 2 : ( ax)^2 = x^2/4 + (abx)^2 soit b=rac(2/3)

étape 3 : (abx)^2 = x^2/4 + (abcx)^2 ....

Au final : x^2 = x^2 / 4 +  x^2/4 +  x^2/4 + (nx)^2   donc n=1/2


En partant d'une corde de longueur x/5 :

x^2 = (ax) ^2 + x^2/100
(ax)^2 = (abx)^2 + x^2/100

.....


Soit après n étapes : x^2 = n x^2 /100 + (x/2 )^2

Wolfram me dit : 75 étapes

Enfin bon
3/4 x^2 = n/100 x^2
n/100=3/4

j'aurais pu me passer de wolfram... roll

On doit pouvoir généraliser à 3n^2 étapes pour une corde de longueur x/n

 #3 - 22-07-2011 21:29:27

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

récuerence géométrique

Le cercle initial a pour diamètre x et non le rayon.

Le programme correspondant à la suite suivante:
[TeX]U_{n+1}=\sqrt{U_n^2+k^2}[/latex] avec [latex]U_1=x/2[/latex] et [latex]k[/latex]=demi corde.

[latex]U_i[/latex] est le rayon du i-eme cercle.

Avec k=x/2,[latex] U_4=2U_1[/TeX]
Avec k=x/5, Excel me dit que [latex]U_{76}=2U_{1}[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 22-07-2011 21:53:36

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

eécurrence géométrique

Déjà deux bonnes réponses de gwen27 et franck9525.

 #5 - 22-07-2011 21:55:59

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

Récurrenc egéométrique

Chouette !!! J'ai bon à une énigme mathématique ! cool

 #6 - 23-07-2011 13:20:10

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Récurrnece géométrique

En appelant r le rayon d'un cercle, r' le rayon du cercle suivant et "a" la moitié de l'angle formé par la corde par rapport au centre, on a :

cos(a)²+sin(a)²=1 <=> (r'/r)²+(x/2r)²=1 <=> r'² = r² - x²/4

Pour connaitre le nombre d'étapes possible avant que le rayon soit plus petit que x/2 il suffit chercher le quotient de la division euclidienne de r² par x²/4.

Dans notre cas r² = 4*(x²/4) = x² (quatre étape avant un rayon nul)
En substituant x par x/5 pour le rayon de la corde on obtient donc :
r²=x²=100*((x²/5²)/4)

Conclusion : il faudra 99 étapes pour aboutir à un cercle de diamètre x/5 avec des cordes de longueur x/5.

 #7 - 23-07-2011 17:33:42

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Récurrence géométriqque

Partant du centre, avec une corde de longueur x, les rayons sont successivement
[TeX]\frac x 2 \,,\,x\sqr{\frac 2 4}\,, \,x\sqr{\frac 3 4}\,, \,x[/latex].

Avec une corde de longueur x/5, ils sont :

[latex]\frac x 2 \,,\,x\sqr{\frac{26} {100}} \,, \,x\sqr{\frac{27x} {100}} \,, \,x\sqr{\frac{28} {100}}\,, \,x\sqr{\frac{29} {100}}\,,\, ...\,, \,x\sqr{\frac{99}{100}}\,,\,x[/TeX]
Il faut donc 75 étapes.

 #8 - 23-07-2011 21:20:59

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Récurrence gométrique

Si x/p est la longueur de la corde, il faudra 3p² opérations pour arriver à x/2.

 #9 - 23-07-2011 21:28:27

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Récurrence géométriquue

Voici la fonction appliquée à chaque itération :
f(x) = V0,99 * x

Il faut donc trouver N minimal tel que :
0,99^(N/2) =< 1/2

Donc pour moi N = 138.


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #10 - 24-07-2011 21:50:58

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Récurrecne géométrique

Il faut 75 itérations pour obtenir un cercle de rayon x/2 avec une corde de x/5... Pour trouver cela, il faut appliquer le théorème de Pythagore.

 #11 - 24-07-2011 22:05:56

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Récurrrence géométrique

Plus intéressant comme résultat. Partons d'un cercle de rayon x et on choisit une longueur de corde de x/n (avec [latex]n \in \mathbb{N}[/latex]) alors pour obtenir un cercle de rayon x/2, il faut [latex]3n^2[/latex] itérations.

D'où pour une longueur de corde de x/5, il faut [latex]3 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75[/latex] itérations...

 #12 - 24-07-2011 22:53:16

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Récurrenc géométrique

Bonnes réponses supplémentaires de halloduda, nodgim et clement.boulonne.

 #13 - 24-07-2011 23:37:11

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Récurrence gémoétrique

75 étapes si je ne me trompe pas.


En effet si on part d'un cercle de rayon r et qu'on y place une corde c, on peut construire dans le cercle un triangle rectangle dont la corde est un coté de l'angle droit et dont l'hypoténuse mesure 2r. (Ça serait mieux avec un dessin mais je ne sais pas faire) Le rayon du cercle suivant est la moitié de l'autre coté de l'angle droit par un théorème de la droite des milieux.
Ce rayon mesure donc 1/2*sqrt(4*r^2-x^2)

Dans l'exemple de looozer, on part avec r=c=x
on a donc ensuite :
1/2*sqrt(3*x^2)
1/2*sqrt(2*x^2)
1/2*sqrt(x^2)=x/2

Dans le problème posé : r=x et c = x/5
Donc on a successivement :
1/2*sqrt(4x^2-x^2/25)=1/2*sqrt(99*x^2/25)
1/2*sqrt(99*x^2/25-x*2/25)=1/2*sqrt(98*x^2/25)
...
1/2*sqrt(25*x^2∕25)=x/2

 #14 - 26-07-2011 20:18:26

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Récurrencee géométrique

Merci pour votre participation!

On peut effectivement généraliser la réponse (75) avec l'expression 3n² où n est le quotient entre le rayon et la corde.

 

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