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 #26 - 01-04-2013 23:06:23

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
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Combien de lancers de dé avnat de... ?

Oui c'est surprenant... Nos intuitions nous jouent des tours ?

Il est naturel de penser que la séquence (6,6) ou la séquence (6,5) ont la même moyenne de lancés : les numéros des faces est une vue de l'esprit et il faut enchaîner deux succès d'affilés qui ont une chance sur 6 d'arriver chacun.
D'ailleurs, dans mon graphe, le deuxième succès pourrait être l'apparition du 5 que cela ne changerait rien à M ni au reste.
Vrai ou faux ?
Vrai !

Faux !
Dans le graphe la lettre E ne peut désigner deux événements différents ! En effet si on part à la recherche de la solution pour la séquence (6,5) alors jusqu'à l'obtention du premier succès (un 6) l'événement E est égal {1,2,3,4,5} alors qu'après un succès s'il fallait obtenir un 5 et l'événement E devient {1,2,3,4,6} !! Cela ne serait pas correct. Il faut alors tracer un autre graphe.

Par ailleurs, avec des  séquences plus longues comme (6,6,6,6,6) et (6,3,2,5,4) on peut se convaincre que le dé étant équilibré il va plus facilement faire la seconde séquence.

#0 Pub

 #27 - 02-04-2013 00:18:28

golgot59
Elite de Prise2Tete
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combien de lancerd de dé avant de... ?

J'en reste abasourdi et pas du tout convaincu...

Avoir 6 puis 5 d'affilée est plus probable que 6 puis 6 d'affilée? c'est bien ça ???

 #28 - 02-04-2013 01:44:00

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
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Combien de lancers dee dé avant de... ?

Non je ne crois pas que se soit cela. La probabilité d'obtenir (6;6) est 1/36 et la probabilité d'obtenir (6;5) est 1/36 aussi  hmm (je crois) big_smile (oui c'est bien ça !)

La question est de savoir si en moyenne la séquence (6;5) arrive plus vite que la séquence (6;6). Je n'ai pas fait les calculs, mais je ne trouve pas surprenant que ces moyennes soient différentes, ni que la première soit plus petite que la seconde. Voici ce qui se passe :

lorsqu'on attend deux 6, on joue un certain nombre de fois. Dés que l'on obtient un 6, la tension monte, et le tirage suivant est décisif ! En effet, si on n'obtient pas un 6 alors tout recommence depuis le début et on attend de nouveau un  6.
En revanche, quand on attend un 6 et un 5 (dans  cet ordre), lorsqu'on obtient un 6, la tension monte aussi mais le moment est moins crucial ! En effet si on n'obtient pas le 5 alors tout n'est pas perdu! En effet, si on obtient un 6 on est encore dans une situation favorable.

Par exemple, imaginons que le premier 6 arrive de suite mais que le tirage suivant n'est pas favorable :

- dans le cas du double 6, il faut attendre le 4e tirage pour avoir une chance d'obtenir le double 6.  Exemple : 6;1;6;6
- dans le cas du 6 puis du 5, il ne faut pas nécessairement le 4e tirage pour avoir un chance d'obtenir la séquence.  Exemple : 6;6;5

lol il est trop tard, ça se trouve je raconte n'importe quoi !! Allez au dodo !!

 #29 - 02-04-2013 02:33:14

titoufred
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Combien de lancers de dé avant dde... ?

@golgot59 : On dit qu'en moyenne, il te faudra plus de lancers pour obtenir "66" que pour obtenir "65" (il faut en moyenne 42 lancers pour obtenir "66" alors qu'il n'en faut que 36 pour obtenir "65"). Il est assez facile de se convaincre pourquoi sans calcul, par des arguments très simples.

@ksavier : oui, c'est une façon de voir, bravo.

 #30 - 02-04-2013 07:15:29

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Combien ed lancers de dé avant de... ?

Compris smile

Les probabilités sont vraiment un domaine très étrange pour moi... donc vraiment intéressant !

Si j'ai bien compris, la différence entre 6;6;6;6;6;6 et 1;2;3;4;5;6 est donc bien moindre qu'entre 6;6 et 6;5 alors ?

EDIT : Je viens de relire la formule de Ksavier, et c'est en effet bien le cas. Ouf !

 #31 - 02-04-2013 07:30:53

franck9525
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combien fe lancers de dé avant de... ?

Voila toute la différence entre les termes probabilité et moyenne.

En lançant un dé 4 fois, il y a plus d'une chance sur deux de faire un six bien qu'en moyenne le 6 apparait tous les 6 lancers.

Si l'on lance 36 fois le dé, il y a plus de 1 chance sur 1000 de ne pas avoir un seul six alors qu'en moyenne il devrait il y en avoir 6.


The proof of the pudding is in the eating.

 #32 - 02-04-2013 08:19:31

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Cobien de lancers de dé avant de... ?

golgot59 a écrit:

Si j'ai bien compris, la différence entre 6;6;6;6;6;6 et 1;2;3;4;5;6 est donc bien moindre qu'entre 6;6 et 6;5 alors ?

Non.
Pour "654321", à chaque fois que tu ajoutes un chiffre différent, tu multiplies par 6 le nombre moyen de lancers nécessaires.
Pour "666666",  à chaque fois que tu ajoutes un 6, tu multiplies par 6 puis tu ajoutes 6 au nombre moyen de lancers nécessaires.
Le rapport entre les deux ne fait donc qu'augmenter.
46656 lancers en moyenne pour voir apparaitre "654321", contre 55986 pour "666666".

 #33 - 02-04-2013 09:42:23

titoufred
Elite de Prise2Tete
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combien de lanxers de dé avant de... ?

franck9525 a écrit:

Voila toute la différence entre les termes probabilité et moyenne.

Pour être précis, le terme "moyenne" est à la base un terme de la théorie des Statistiques, qui correspond à "espérance (mathématique)" dans la théorie des Probabilités. Tout comme "fréquence" dans la théorie des Statistiques correspond à "probabilité" dans la théorie des Probabilités. Maintenant, on utilise (un peu abusivement mais couramment) le mot "moyenne" à la place d'"espérance" et l'on parle par exemple pour une expérience aléatoire de "gain moyen" au lieu de dire "espérance de gain". Sur un échantillon donné d'un grand nombre d'expériences, la fréquence constatée pour un évènement devrait être assez proche de sa probabilité et la moyenne constatée pour une certaine grandeur assez proche de son espérance.

franck9525 a écrit:

En lançant un dé 4 fois, il y a plus d'une chance sur deux de faire un six bien qu'en moyenne le 6 apparait tous les 6 lancers.

La différence dont tu parles est, en termes de Statistiques, la différence entre "moyenne" et "médiane". Le salaire médian en France est par exemple plus bas que le salaire moyen car les fréquences de bas salaires sont supérieures aux fréquences des hauts salaires. La moyenne et la médiane vont coïncider s'il y a équirépartition. C'est la même chose ici. La probabilité que le premier 6 apparaisse au n-ème lancer décroit avec n : il est donc normal que la "médiane" soit inférieure à la "moyenne" pour la variable "rang d'apparition du premier 6". Plus exactement, en termes de Probabilités, il est normal que le nombre de lancers à partir duquel la probabilité qu'un 6 soit sorti dépasse 50% (que l'on pourrait nommer abusivement "nombre médian de lancers avant l'apparition d'un 6"), soit inférieur à l'espérance du nombre de lancers avant l'apparition d'un 6 (que l'on nomme abusivement "nombre moyen de lancers avant l'apparition d'un 6").

Une expérience aléatoire telle que "la roulette russe sans faire tourner le barillet" donne une équirépartition du nombre de coups avant le "bang" et pour cette expérience là, médiane et moyenne coïncideront.

franck9525 a écrit:

Si l'on lance 36 fois le dé, il y a plus de 1 chance sur 1000 de ne pas avoir un seul six alors qu'en moyenne il devrait il y en avoir 6.

Oui, alors là, ce dont tu parles c'est de la fluctuation d'échantillonnage. On sait que sur 36 lancers, il y aura en moyenne (espérance !) 6 "6", mais l'on sait très bien aussi qu'il peut y en avoir 0 ou 36.

 #34 - 03-04-2013 11:42:43

MthS-MlndN
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Combien de lancers de dé avant de.. ?

J'adore le fait que toutes les énigmes de ce genre se concluent par d'énormes discussions sur ce que la probabilité veut dire big_smile

Sinon, un grand bravo à ksavier qui est passé par les chaînes de Markov. Habile.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #35 - 03-04-2013 12:13:26

titoufred
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combien de lancers fe dé avant de... ?

ksavier a traité le cas n=2.

J'attends toujours une démonstration pour le cas n=1, et une autre pour le cas général.

En bonus, on peut aussi chercher ce qui se passe pour "65", pour "6565", ou d'autres séries...

 #36 - 03-04-2013 16:39:49

Clydevil
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combien de mancers de dé avant de... ?

Une remarque/question intéressante:

L’espérance d'un nombre de tirage est une grandeur assez peu pratique dans la mesure ou elle pondère par le rang du tirage. *
Ça serait intéressant de se poser la question de la valeur médiane: Quelle est la valeur de k pour qu'on ait autant de chances d'obtenir ce qu'on désire avant le k-eme lancé qu’après.
En pratique c'est la valeur médiane qui permet de savoir si on est chanceux ou un gros looser tongue

* Par exemple si on joue à un truc ou il y a 1 chance sur 2 de gagner au premier lancé et une chance sur 2 de gagner au 99eme lancé (évidemment 0 dans le reste) Il faut en moyenne 50 lancés. Pourtant dans 50% des cas 1 a suffit et ce n'est pas être chanceux c'est juste normal big_smile
Certes c'est pathologique ici, mais ça illustre mon point. L’espérance d'un nombre de lancers est quelque chose de peu "parlant".

 #37 - 04-04-2013 15:59:19

titoufred
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combien de lancers de dé avany de... ?

Je ne suis pas d'accord. La médiane et la moyenne ont 2 sens différents, mais les deux ont du sens. Tu ne peux pas dire que la moyenne c'est peu parlant.

Par exemple, je te propose de lancer un dé autant de fois que tu veux, en payant 1€ à chaque fois que tu lances, et je te paye 40€ si tu fais deux 6 d'affilée, le jeu s'arrêtant alors. Tu joues ou pas ? Le jeu est-il équitable ?

Le nombre moyen de lancers pour faire "66" va te dire à qui le jeu est profitable.

Le nombre médian de lancers pour faire "66" va te dire si tu as plus de chances de gagner ou de perdre, mais sans tenir compte des sommes gagnées/perdues.

 #38 - 04-04-2013 17:22:52

Clydevil
Expert de Prise2Tete
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Combien de alncers de dé avant de... ?

Salut, ouai mais sur le fond je suis d'accord.

Cela dit j'ai quand même chercher s'il n'y avait pas d'arnaque sur ta question tongue Si la réponse était aussi trivialement reliée a la moyenne du nombre de lancers que ça n'en avait l'air et s'il n'y avait pas une subtilité liée au fait que je puisse m’arrêter quand je le désire.
(Vu qu'on ne peut parler d’espérance de gain que pour un protocole donné et que la question supposait implicitement que si on jouait le seul protocole de jeu était de rejouer jusqu'à gagner. Oui l’espérance de gain de ce protocole est directement extractible de la moyenne de lancers, bien vu bon exemple appliqué!. Il y a d'autres protocoles mais j'ai rien trouvé de rigolo smile malgré une bonne volonté de trolling)

Mais bon comme je disais dans le fond on est d'accord, je soulignais juste que dans certains contextes cette grandeur est trompeuse. C'est toujours plus ou moins choquant de dire que en moyenne il faut 6 lancers avant d'obtenir 6 mais quand dans la majorité des cas 4 ou moins suffisent.

 #39 - 04-04-2013 19:43:17

golgot59
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combien de lancers fe dé avant de... ?

titoufred a écrit:

Je ne suis pas d'accord. La médiane et la moyenne ont 2 sens différents, mais les deux ont du sens. Tu ne peux pas dire que la moyenne c'est peu parlant.

Par exemple, je te propose de lancer un dé autant de fois que tu veux, en payant 1€ à chaque fois que tu lances, et je te paye 40€ si tu fais deux 6 d'affilée, le jeu s'arrêtant alors. Tu joues ou pas ? Le jeu est-il équitable ?

Le nombre moyen de lancers pour faire "66" va te dire à qui le jeu est profitable.

Le nombre médian de lancers pour faire "66" va te dire si tu as plus de chances de gagner ou de perdre, mais sans tenir compte des sommes gagnées/perdues.

OK, mais si je te propose le jeu : Lance un dé 3 fois. Si tu fais au moins un 6, je te donne 1€, sinon c'est toi qui me donnes 1€. Tu joues ou pas ? Là c'est la médiane qui importe non ?

 #40 - 08-04-2013 16:45:15

titoufred
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Combien de lancer sde dé avant de... ?

Oui, tout à fait golgot !

Sinon, je vous rappelle que les questions 1) et 3) attendent toujours des réponses...
Avis aux amateurs !

 #41 - 09-04-2013 08:27:10

godisdead
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Combien de lancers de dé vant de... ?

Pour le 3)
Je n'ai pas vos connaissances mathématiques pour pondre une belle demonstration , mais intuitivement je dirais
f(x) = 6^x + f(x-1)
avec f(0) = 0

 #42 - 09-04-2013 16:18:27

titoufred
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Combien de lancers de dé vaant de... ?

Tu as, ne serait-ce qu'une vague idée d'où te vient ton intuition ? Qu'est-ce qui se passe dans ta tête ? big_smile

 #43 - 09-04-2013 17:11:46

godisdead
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Combien de lnacers de dé avant de... ?

Oui, l'intuition, c'est par rapport au post de Ksavier
Je pose le postulat qu'il faut 6^X pour X chiffres différents (en fait, c'est le premier chiffre qui doit etre différent des autres). Auquel je rajoute l'ensemble des réponses pour (X-1) chiffres identiques.
Comme le dit si bien ksavier, lorsqu'on a déjà 66, si le troisième est faux, il faut tout recommencer à 0 contrairement à la série 123 ou la sequence 121 permet à nouveau d'attendre un 2 !

 #44 - 09-04-2013 19:04:39

titoufred
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combien de lancers de dé zvant de... ?

Ok.

Pour le 1) voici une façon de faire avec quelques indices :

On note [latex]X[/latex] la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers jusqu'à l'apparition d'un 6.

a) Essayez de calculer [latex]p(X=k)[/latex], la probabilité que le (premier) 6 apparaisse au bout de [latex]k[/latex] lancers.

b) Le nombre moyen de lancers jusqu'à l'apparition d'un 6 est donné par :
[TeX]\sum_{k\geq 1}{p(X=k)\times k}[/TeX]
Pour calculer cette somme, on pourra utiliser le fait que :

la dérivée de [latex]f(x)=\sum_{k\geq 0}{x^k}[/latex] est [latex]f'(x)=\sum_{k\geq 1}{kx^{k-1}}[/latex]

 #45 - 09-04-2013 23:12:02

golgot59
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Comben de lancers de dé avant de... ?

J'ai une proposition différente d'explication pour le 1) :

Supposons qu'on lance un dé et qu'on s'arrête dès qu'on trouve un 6.
Ensuite on recommence et on s'arrête aussi dès qu'on a de nouveau un 6.
On recommence ainsi de suite un grand nombre de fois.

On récupère alors une suite de chiffres identique à celle qu'on aurait eu si on avait lancé le dé autant de fois que dans le cas précédent (c'est à dire le même grand nombre de fois) sans jamais s'arrêter, et qui contiendra en moyenne 1 six sur 6.

Cela (je pense) justifie que la moyenne de lancers de dés pour obtenir un 6 est de 1/6.

 #46 - 10-04-2013 01:07:09

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Combien de lanceers de dé avant de... ?

Oui golgot !

C'est la 2ème façon de voir que je voulais proposer, la plus intuitive.

On peut la rédiger ainsi :
Si l'on recommence l'expérience n fois et que l'on note [latex]X_1,...,X_n[/latex] le nombre de lancers qu'il aura fallu pour faire 6 dans chacune de ces expériences, alors le nombre moyen de lancers pour faire 6 sur ces n expériences est [latex]\overline {X} = \frac {\sum{X_k}}{n}[/latex].
D'autre part, le nombre total de lancers de dé sur ces n expériences est [latex]\sum {X_k}[/latex] et le nombre de 6 obtenus est [latex]n[/latex]. Donc la fréquence de 6 sur tous les lancers est [latex]f_6=\frac n{\sum {X_k}}=\frac 1{\overline X}[/latex]. Or, la loi des grands nombres nous dit que, lorsque n augmente, [latex]f_6[/latex] tend (dans un sens bien précis) vers [latex]\frac 1 6[/latex] et donc [latex]\overline X[/latex] tend vers 6.

Ainsi, la fréquence moyenne de 6 sur un lancer est bien la fréquence de 6 sur une expérience de longueur "moyenne".

Cette façon de voir permet de trouver facilement le nombre moyen de lancers pour obtenir une série où tous les nombres sont différents, et de voir par exemple qu'il faut en moyenne 36 lancers pour obtenir "65". Voyez-vous pourquoi ? Et voyez-vous pourquoi un tel raisonnement ne s'applique pas à "66" ?

 #47 - 10-04-2013 17:40:04

masab
Expert de Prise2Tete
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combien de lanczrs de dé avant de... ?

SOLUTION de 1)

Soit 1<=k<=n. On note S(n,k) le cardinal de l'ensemble des suites u_i=(x_1,...,x_n) de longueur n telles que  u_k = 6, et u_i<>6 pour i<k.
On a S(n,k) = 5^(k-1)*6^(n-k)

Le nombre de fois en moyenne qu’il faut lancer un dé pour obtenir un 6 est la limite de la suite
M_n = (1/6^n) * sum(k=1,n, k*S(n,k) )
M_n = = (1/6^n) * sum(k=1,n, k*5^(k-1)*6^(n-k))
M_n = = (1/6) * sum(k=1,n, k*(5/6)^(k-1) = (1/6)*(1/(1-5/6)^2) = 6

Il faut lancer un dé 6 fois en moyenne pour avoir un 6

[les erreurs de frappe ont été rectifiées]

 #48 - 11-04-2013 09:03:37

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Combien de lancers de dé avannt de... ?

Bravo masab !

Avec les corrections :
S(n,k)=5^(k-1)*6^(n-k)
sum(k=1,n,...)
le passage à la limite à la fin.

Ta façon de voir rejoint la première méthode exposée, avec le calcul de [latex]\sum_{k\geq 1}{kx^{k-1}}[/latex]
Pour ceux qui ne l'ont jamais vu, voici comment calculer cette somme :

Sur l'intervalle ]-1;1[, on définit une fonction par la formule
[TeX]f(x)=\sum_{k\geq 0}{x^k}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^n{x^k}=\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}[/TeX]
Et alors [latex]f'(x)=\sum_{k\geq 1}{kx^{k-1}}=\frac{1}{(1-x)^2}[/latex]


Il reste une 3ème méthode, qui est simplissime et se généralise bien. Elle commence comme ça : Au premier lancer, il y a une chance sur 6 de finir et 5 chances sur 6 de devoir recommencer le jeu avec une "retenue" de 1 lancer...
Qui voit la suite du raisonnement ?

 #49 - 11-04-2013 10:50:00

BilouDH
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 29

Combien de lancers dde dé avant de... ?

Pour le 1 j'ai calculé directement P(X=k)=(5^(k-1))/(6^(k-1))*(1/6)
donc E(X)=(6^2)/6=6

Pour le 2, j'ai fait avec une sorte de suite de Fibonacci avec pour le rang k+3 c'est à dire finissant avec X66 (X allant de 1 à 5) on obtient:

(Y..k fois....Y)X66=X(Y...k-1 fois....Y)X66 + 6X(Y...k-2 fois...Y)X66
donc Sk=5(Sk-1+Sk-2) avec P(X=k)=(Sk-3/6^(k-3))*(5/6)*(1/6)*(1/6)

Ce qui se résout avec Sk=alpha.phi^(k-2)+beta.phi'^(k-2) avec phi et phi' solution de X^2-5X-5=0

Ensuite on calcule l'espérance en sortant les premiers cas où la formule de Sk ne s'applique pas et j'obtiens E(X)=42.92593 pas tout à fait les 42 Ksavier.

Pour le 3, je galère un peu pour trouver la suite de type Fibonacci pour calculer Sk, ca semble dépendre de n du genre
Sk=6^k pour k< n ensuite on doit pouvoir calculer Sk avec une formule du genre
Sn+p=5*sum(Sn+i,i,0,p-1), mais je ne suis pas sûr que ça aboutisse à un résultat calculable avec la même méthode que le point 2

 #50 - 11-04-2013 12:06:34

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

Combien de lancers de dé avant de.... ?

SOLUTION de 2)

On note R(n) le cardinal de l'ensemble des suites (x1,x2,...,xn) ne contenant pas de double 6. On a
R(0)=1
R(1)=6
R(2)=35
R(n) = 5*R(n-1) + 5*R(n-2) pour n>=2
On pose
alpha=(5-3*sqrt(5))/2;
beta=(5+3*sqrt(5))/2;
lambda=(15-7*sqrt(5))/30;
mu=(15+7*sqrt(5))/30;
On a
R(n)=lambda*alpha^n+mu*beta^n pour n>=0
Cette formule permet de définir
R(-1)=1/5
R(-2)=0

On note S(n,k) le cardinal de l'ensemble des suites (x_1,...,x_n) telles que (x_{k-1},x_k) = (6,6)
et telles quil n'y ait pas de double 6 avant l'indice k. On a
S(n,1) = 0
S(n,2) = 6^(n-2)
S(n,3) = 5*6^(n-3)
S(n,k) = 5*R(k-3)*6^(n-k) pour k>=1

Le nombre de fois en moyenne qu’il faut lancer un dé pour obtenir un double 6 est la limite M de la suite M_n
M_n = (1/6^n) * sum(k=1,n, k*S(n,k) )
M_n = (1/6^n) * sum(k=1,n, k*5*R(k-3)*6^(n-k) )
d'où
M = sum(k=1,infini, k*5*R(k-3)*6^(-k))
M = ((5*lambda)/(6*alpha^2))*sum(k=1,infini,k*(alpha/6)^(k-1)) + ((5*mu)/(6*beta^2))*sum(k=1,infini,k*(beta/6)^(k-1))
M = ((5*lambda)/(6*alpha^2))*(1-alpha/6)^(-2) + ((5*mu)/(6*beta^2))*(1-beta/6)^(-2)
M = 42

Il faut lancer en moyenne un dé 42 fois pour avoir un double 6.

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