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 #1 - 08-10-2010 08:05:36

Lagaway
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 34
Lieu: Colombie

Dis mo combien tu as de diagonales...

Bonjour à tous,

Une petite énigme mignonne (niveau débutant) :

Qui suis-je ? Mon nombre de diagonales est égal à 10 fois mon nombre de côtés.

Je suis un polygone à ... sommets !

(Source: Hors-série la Recherche spécial jeux mathématiques de juillet 2010)



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 #2 - 08-10-2010 09:29:07

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Dis moi combien tu a sde diagonales...

Un polygone de n cotés a n(n-3)/2 diagonales ( chacun des n sommets partage une diagonale avec n-3 autres sommets )
10n = n(n-3)/2  <=> n =23

 #3 - 08-10-2010 10:19:28

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Dis moi combbien tu as de diagonales...

avec d, le nombre de diagonales, c le nb de cotes, et s de sommets
c=s!            ;tongue
d=10c         ;  la question smile
d=c(c-3)/2   ;  le nombre de diagonales distinctes wink
c=23          ; la réponse cool


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 08-10-2010 10:24:37

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

dis moi combien tu as de diagonaleq...

Au hasard roll  23 (le chiffre magique du moment)


http://enigmusique.blogspot.com/

 #5 - 08-10-2010 11:22:54

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Diis moi combien tu as de diagonales...

Alors... Je pense qu'on peut dénombrer le nombre total de diagonales d'un polygone à N sommets de la façon suivante : chaque sommet peut être relié à N-3 autres pour former une diagonale (on enlève le sommet lui-même, et les deux sommets voisins sur le polygone). On multiplie par N, car il y a N sommets, et on divise par 2 vu qu'on a compté chaque diagonale deux fois.

Nombre total de diagonales : [latex]\frac{N(N-3)}{2}[/latex]

On doit donc avoir [latex]\frac{N(N-3)}{2} = 10 N[/latex] soit [latex]\frac{N-3}{2} = 10[/latex] donc notre polygone a 23 sommets.

Oh non, pas encore ! lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 08-10-2010 12:27:16

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Dis moi combien tu as d diagonales...

Un sommet quelconque est relié à n-3 autres par une diagonale. on a donc n(n-3)/2 diagonales. Pour en avoir 10n, il faut que n=23.

 #7 - 08-10-2010 13:00:33

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Dis moi combien tu as de diaagonales...

Nombre de cotés - nombre de diagonles:
3 - 0
4 - 2
5 - 5
6 - 9
7 - 14
8 - 20
9 - 27
10 - 35
11 - 44
12 - 54
13 - 65
14 - 77
15 - 90
16 - 104
17 - 119
18 - 135
19 - 152
20 - 170
21 - 189
22 - 209
23 - 230
La réponse est donc 23.
C'est cette serie sur OEIS


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 08-10-2010 17:28:53

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Dis moi combine tu as de diagonales...

Je suis un polygone a 23 sommets et 230 diagonales.
Enigme interessante!De mon style! Je te remercie beaucoup, Lagaway! wink
En plus on remarque que ca se finit tout le temps par 3 pour multiplié par 10, 20, 30!!!


Un promath- actif dans un forum actif

 #9 - 08-10-2010 23:13:15

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Dis moi combien tu as dee diagonales...

Appelons n le nombre de sommets (et de côtés) du polygone en question.
Une diagonale est entièrement déterminée par ses 2 extrémités.
Il y a [latex]C^2_n[/latex] façons de choisir 2 points parmi n (les n sommets).
Il y a donc [latex]C^2_n-n[/latex] diagonales (il faut exclure les arêtes qui sont comptées dans ce calcul).

D'après l'énoncé, on a donc [latex]C^2_n-n=10n \Leftrightarrow \dfrac{n(n-1)}{2}=11n \Leftrightarrow n=23[/latex]

Ce qui est validé par la case réponse.

Merci pour ce petit problème original.

 #10 - 08-10-2010 23:26:51

Flying_pyros
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 3413
Lieu: Près de la mer

dis moi combien tu as de doagonales...

http://myhaven.files.wordpress.com/2007/02/23-number-outline.jpg
Encore le 23 ??? On est poursuivi ma parole !!! lol

 #11 - 09-10-2010 07:27:34

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3057
Lieu: Au sud du Nord

DDis moi combien tu as de diagonales...

n(n-3)/2 = d (nombre de diagonales)
ici d=10n
n(n-3)/2 = 10n
n(n-3) = 20n
n²-3n-20n=0
n(n-23)=0

n=23


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #12 - 09-10-2010 11:51:49

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Dis moi combien tu as de diagoales...

n cotes => n sommets => n-3 diagonales par sommet

ce qui fait n(n-3)/2 diagonales

donc n(n-3)/2=10n, soit
[latex]n^2 -23n=n(n-23)=0[/latex] ce qui fait n=0 ou 23.

 #13 - 09-10-2010 14:45:15

bluefox8
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 11

DDis moi combien tu as de diagonales...

soit n le nombre de côtés et le nombre de sommets (car ils sont égaux)
On a donc affaire à un arrangement de n sommets pris deux à deux
soit n!/2!(n-2)!
cad n(n-1)/2.
dans ce nombre est compris le nombre de côtés, il faut donc l'enlever
NBdiag = n(n-1)/2 - n
Comme NBdiag= 10n (hypothèse)

n(n-1)/2 - n = 10n
n² -23n = 0

n=23 . C'est donc un polygone à 23 côtés et 230 diagonales

 #14 - 09-10-2010 14:55:53

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2209

dus moi combien tu as de diagonales...

23.

 #15 - 11-11-2011 13:31:51

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Dis moi combien tu aas de diagonales...

Soit d(n) le nombre de diagonales d'un polygone convexe de n côtés.

On a :
d(4)=2
d(5)=2+3
d(6)=2+3+4
d(n)=2+3+4 +... +(n-2)

C'est une série arithmétique, de somme [2+(n-2)]/2.(n-3) =n(n-3)/2

Puisque on cherche n tel que d(n)=10n => (n-3)/2=10 => n=23
http://a4.l3-images.myspacecdn.com/images02/115/41c13f6a884f414da793f1b34c894cd1/l.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Triaicosagone



bon, maintenant, je vais regarder vos réponses tongue

 

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