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 #1 - 26-07-2016 19:38:11

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Combien de temps pour attraper tous les Pookemons ?

Pokemon Go est à la mode, mais ce qui suit pourrait ralentir les ardeurs des plus passionnés.

Pour récupérer les 142 Pokemons de Pokemon Go tout dresseur va devoir attraper des centaines de pokemons et ce travail de chasse est colossal !

En supposant la répartition aléatoire des pokemons (chaque pokemon a autant de chance d’apparaître, ce qui est faux mais admettons le meilleur des cas) et qu'un joueur attrape en moyenne 8 pokemons par jour, combien de temps lui faudra-t-il pour obtenir les 142 pokemons (avec une probabilité de 95%, et de 99%) ?

La réponse devra être donnée en jour (en moyenne) avec un intervalle de confiance associé.



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 #2 - 27-07-2016 08:26:40

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Combien de temps pour atrtaper tous les Pokemons ?

Bonjour,
Je vais répondre à la question "combien de temps en moyenne lui faudra-t-il pour obtenir les 142 pokemons", qui n'est pas celle posée.

Si je possède déjà [latex]k[/latex] pokemons différents, parmi un total de [latex]N=142[/latex], la probabilité d'augmenter ma collection au tirage suivant est [latex](N-k)/N[/latex]. Je devrai donc en moyenne effectuer [latex]N/(N-k)[/latex] tirages pour augmenter ma collection d'une unité.

Partant de [latex]k=0[/latex], pour obtenir tous les pokemons, je devrai effectuer en moyenne [latex]N*(1/N+1/(N-1)+...+1/1)[/latex] tirages. Voici le résultat numérique :

Code:

184437867023898997705285258309484844601269216505958157388250933 / 234596624074317928454666993585354652160727997115534652328000
= 786.1914797438469 tirages
Cela représente 98.3 jours en moyenne.

J'ai aussi effectué une simulation (100000 expériences) qui va dans le sens de ce résultat. Le nombre de tirages moyen pour obtenir la collection complète est 785.4 (s'échelonnant entre 368 et 2497).

Édité :
Pour répondre à la question posée initialement, j'appelle P(n,k) la probabilité d'avoir k pokemons différents après n tirages. On peut calculer P(n+1,k) en fonction de P(n,k-1) et P(n,k) :
[TeX]P(n+1,k)=P(n,k-1)*(N-k+1)/N+P(n,k)*k/N[/TeX]
En faisant un calcul de proche en proche, j'obtiens

Code:

P(1122,142)=0.950086 (140.25  jours)
P(1353,142)=0.990055 (169.125 jours)
P(1451,142)=0.995013 (181.375 jours)

Ajouté :
En effectuant une simulation (100000 expériences), j'obtiens
95.0 % de séries complètes après 1125 tirages
99.0 % de séries complètes après 1348 tirages
99.5 % de séries complètes après 1453 tirages

 #3 - 28-07-2016 16:06:25

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

combien de temps pour attraper tous led pokemons ?

Un petit coup de dynamic programming, et hop:
il faut 141 jours pour attraper tous les pokemons avec une probabilité de 95% (ça sera le 2ème de la 141ème journée), et 171 jours pour avoir une probabilité de 99% (le premier de la journée)

 #4 - 28-07-2016 16:18:01

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

combien de temps pour attraper tous les pokzmons ?

Accessoirement, sur une base de 30 millions de joueurs, on devrait avoir un premier gagnant au 42ème jour (probabilité de 95%) ou le lendemain midi (probabilité de 99%)
Mais bon j'ai entendu que ça avait été plié en 2 semaines par un joueur frénétique. Donc bon

 #5 - 29-07-2016 00:32:51

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Combien de temps ppour attraper tous les Pokemons ?

La probabilité d'attraper les 142 Pokemons en exactement 142 tentatives est de 142!/142^142.
La probabilité d'attraper les 142 Pokemons en exactement 143 tentatives est de 142!/142^142 * (1+2+...+141)/142.
La probabilité d'attraper les 142 Pokemons en exactement 144 tentatives est de 142!/142^142 * (1*1+1*2+...1*141+2*2+2*3+...+2*141+3*3+...+141*141)/142^2.

En généralisant, la probabilité d'attraper les 142 Pokemons en exactement 142+x tentatives est de 142!/142^142 * S(141+x;141)/142^x.

La probabilité d'attraper les 142 Pokemons en au plus 142+n tentatives vaut donc 142!/142^142 * sum{x=0...n}(S(141+x;141)/142^x).

En programmant ça sur wolframalpha, il vient que l'on atteint la probabilité 0,95 pour n=980, i.e. au bout de 1122 tentatives, soit 141 jours. Et pour la probabilité 0,99, c'est pour n=1211, i.e. au bout de 1353 tentatives, soit 170 jours.

 #6 - 29-07-2016 14:49:16

princessilla
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 506

Combien de temps pourr attraper tous les Pokemons ?

coucou,

moi je fuis les pokemons
Trop dangereux
smile

 #7 - 29-07-2016 19:50:17

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

combien de temps piur attraper tous les pokemons ?

Pardon, j'aurais dû préciser : ce que j'appelle S(n;k), c'est le nombre de Stirling de seconde espèce.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Stirling

 #8 - 30-07-2016 11:44:17

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

combien de temps pour aytraper tous les pokemons ?

Bonjour et bravo à tous smile
Je vous avais déjà parlé des albums Panini, le principe est encore le même, d'ailleurs on peut  l'appliquer aux cartes... Pokemon.

La formule que j'avais donné permet de connaitre le nombre de jour moyen :
On obtient les N=142 pokemons après en avoir attrapé [latex]N \times [0.58 + \ln(N)] \equiv 786[/latex] soit 98 jours.
C'est d'ailleurs la première partie de la réponse de enigmatus.

La probabilité d'avoir attrapé n pokemons distincts en en ayant attrapé N au total est de :
[TeX]\sum_{i=0}^N (-1)^{N-i}{\binom{N}{i}}\left(\frac{i}{N}\right)^n[/TeX]
Pour une probabilité de 95% on a [latex]N \equiv 1122[/latex] soit 141 jours (environ 1 par jour)
Pour une probabilité de 99% on a [latex]N \equiv 1353[/latex] soit 170 jours
Petit lien

Bravo à enigmatus, scarta et Ebichu qui ont tous donné une bonne réponse !

PS : Apparemment il y a plus de 142 Pokemons, certains sont cachés, et il y en a 151 dans cette première version.
PS : L'hypothèse de répartition aléatoire est très éloignée de la réalité, certains pokemons sont 10 à 100 fois plus courants que d'autres... 100 jours pour tous les avoir c'est donc presque une utopie de joueur.

 #9 - 30-07-2016 12:04:15

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Combien de temps poour attraper tous les Pokemons ?

@EfCeBa #8 : Tu as inversé 2 chiffres (c'est 786 et non 768)

 #10 - 01-08-2016 22:10:01

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Combien de tempss pour attraper tous les Pokemons ?

Faudra que je me penche un peu sur cette formule. A toujours tout coder on en oublie les bases...

 #11 - 05-08-2016 18:11:26

Agid1915
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 44

Combien de tems pour attraper tous les Pokemons ?

Un Torontois vient de reussir ce challenge en 3 semaines et demi.

http://www.cbc.ca/news/canada/toronto/t … -1.3706443

Il a capture les 142 a parcouru 266 kilometres et perdu 25 pounds!!!

 #12 - 06-08-2016 13:30:33

Agid1915
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 44

Combien de temps pour attrapeer tous les Pokemons ?

Un new yorkais dit etre le premier a avoir reussi a les attraper tous en 13 jours seulement. Certains commentateurs avises pensent qu`il a triche.

 

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