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 #1 - 29-03-2013 17:36:21

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

CCombien de lancers de dé avant de... ?

1) En moyenne, combien de fois faut-il lancer un dé pour obtenir un 6 ?

2) En moyenne, combien de fois faut-il lancer un dé pour obtenir 2 fois 6 d'affilée ?

3) En moyenne, combien de fois faut-il lancer un dé pour obtenir n fois 6 d'affilée ?



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 #2 - 29-03-2013 17:45:04

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 440

combien de lancees de dé avant de... ?

1) 6 fois.
2) 72 fois? hmm


Il vaut mieux mobiliser son intelligence sur des choses betes que de mobiliser sa betise sur des choses intelligentes.

 #3 - 29-03-2013 19:25:16

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

combuen de lancers de dé avant de... ?

On peut pas établir une moyenne car cela dépend du hasard, des circonstances ...
Du moins, c'est ce que je crois.

 #4 - 29-03-2013 19:33:24

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

ombien de lancers de dé avant de... ?

@Spirou :
1) oui. une idée de pourquoi c'est le cas ?
2) non.

@SabanSuresh : en langage mathématique, c'est ce qu'on appelle une espérance mathématique.

 #5 - 29-03-2013 19:42:25

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 440

Combien de ancers de dé avant de... ?

1) le de a 6 faces dont sur chaqu'une il y a un autre chiffre. Il y a donc une chance sur 6 de tomber sur 6. Il faut le lancer en moyenne 6 fois.
2) Il y a une chance sur 6 de tomber sur 6. Donc pour en avoir 2 d'affile , il faut 6*6 soit 36 lancer.   hmm


Il vaut mieux mobiliser son intelligence sur des choses betes que de mobiliser sa betise sur des choses intelligentes.

 #6 - 29-03-2013 20:14:02

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

combien de lancers de dé avznt de... ?

Ok donc :
1) 6 lancers
2) 6² = 36 lancers
3) 6^n lancers

Voilà et j'espère que j'ai bon.

 #7 - 30-03-2013 00:09:12

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Combien de lancers ed dé avant de... ?

@Spirou : 1) c'est un début d'explication.
               2) non

@Saban : 1) oui, pourquoi ?
               2) & 3) non

 #8 - 30-03-2013 10:08:21

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Combien de lancers de dé avant dee... ?

1) Je reformule la question en : à partir de combien de jet de dé, la probabilité d'avoir un 6 est supérieur à 0,5
je dirais 4 fois.

Pour les autres questions, je ne vois pas le modèle mathématique à utiliser.

 #9 - 30-03-2013 10:31:28

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Combien de lancer sde dé avant de... ?

a) Je dis 6 car c'est le nombre de possibilités d'avoir une combinaison différente en un coup.
b) et c) Je trouve pas ...

 #10 - 30-03-2013 14:25:53

komega
Visiteur

comvien de lancers de dé avant de... ?

1) 1 chance sur 6 donc 6 lancés
2) 1 chance sur 6 x 1 chance sur 6 = 1/6x1/6 =1/36= 36 lancés
3) pour 1 lancé il faut 6 coup, pour 2(d'affilé) il en faut 36 (soit 6x6) pour n d'affilé il en faut 6^n lancés, par exemple pour avoir 3 "6" d'affilé il faudra 6^3=216 lancé en moyenne

 #11 - 30-03-2013 22:18:45

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Combien e lancers de dé avant de... ?

1 chance sur 6 de faire un 6.

Donc 5/6 de ne pas en faire un.

Après 2 lancers, (5/6)*(5/6) de ne pas faire de 6

Après n lancers, (5/6)^n de ne pas faire de 6.

On s'intéresse au moment où (5/6)^n=1/2
c'est à dire n(ln5-ln6)=ln1-ln2, soit : n=ln2/(ln6-ln5)=3.8 environ

Pour deux 6 d'affilée, je réfléchi...

 #12 - 30-03-2013 23:48:06

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Combien de lancer sde dé avant de... ?

Pfff, j'aurai dû m'en douter, venant de toi Titou, ça ne pouvait être que compliqué hmm   wink

Pour deux 6 d'affilé, voilà comment j'ai procédé : j'ai commencé par réfléchir sur 1 seul 6.

La certitude de faire un 6 après n lancés se décompose par :
1/6 après le 1er lancer
5/6*1/6 pour le 2ème lancer, car il faut ne pas avoir fait un 6 au 1er.
5/6*5/6*1/6 pour le 3ème lancer, etc.

Donc après n lancers, la probabilité de faire un seul 6 (puisqu'on ne s'intéresse qu'au premier) est de 1/6+5/6²+5²/6^3+5^3/6^4+...

En appliquant, on trouve bien qu'après 3 lancers la probabilité n'est que de 91/216=0.421 environ, donc pas assez
Après 4 lancers : 671/1296=0.533 Bingo.

Pour deux 6 d'affilé, c'est beaucoup plus compliqué !

Après 2 lancers, il faut deux 6 donc 1/36
Après 3 lancers, il faut "raté" le 1er lancer, donc 5/6*1/6*1/6=5/216
Après 4 lancers, il faut soit rater les 2 premiers, soit réussir le premier mais rater le 2ème :
xx66
6x66,
donc 5/6*5/6*1/6*1/6 + 1/6*5*6*1/6*1/6 = 30/6^4

Après 5 lancers, au choix :
xxx66
x6x66
6xx66
Ce qui donne (5^3+5^2+5^2)/6^5

Après 6 lancers :
xxxx66
xx6x66
x6xx66
6xxx66
6x6x66
Ce qui donne : (5^4+3*5^3+5^2)/6^6

Petit point sur ce que ça donne après 6 lancers, on ajoute tout ça et on obtient à peine 0.119, on est évidemment loin du compte.

7 lancers :
xxxxx66
xxx6x66
xx6xx66
x6xxx66
6xxxx66
x6x6x66
6xx6x66
6x6xx66

8 lancers :
xxxxxx66
xxxx6x66
xxx6xx66
xx6xxx66
x6xxxx66
6xxxxx66
xx6x6x66
x6xx6x66
6xxx6x66
x6x6xx66
6xx6xx66
6x6xxx66
6x6x6x66

Et je ne vois pas de moyen de résumer tout ça par une formule qui va bien. Je vais continuer de chercher... roll

 #13 - 31-03-2013 11:24:01

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

oCmbien de lancers de dé avant de... ?

Je dirais [latex]\frac{2\times6^n+1}{3}[/latex] lancés en moyenne pour obtenir [latex]n[/latex] six.

Soit environ 4 lancés pour pour un l'obtention d'un six, et environ 24 lancés pour obtenir deux six.
(roll cela ne me paraît pas grossièrement faux, on doit s'attendre à trouver moins de [latex]6^n[/latex] lancés qui donnent en moyenne [latex]n[/latex] six avec certitude)

 #14 - 31-03-2013 21:09:08

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

combien de lancers de dé acant de... ?

@godisdead & golgot59 : il ne faut pas confondre le nombre de coups moyen avant d'obtenir un 6 avec le nombre de coups à partir duquel la probabilité d'avoir un 6 est supérieure à 0,5. Je vous invite à faire une recherche sur ce qu'est l'espérance mathématique d'une variable aléatoire.

@ksavier : ce n'est pas la bonne formule.

 #15 - 31-03-2013 23:11:51

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

combien de lancers de dé avabt de... ?

question 1/
1-(5/6)^k proche de 50% donne k=4 fois

question 2/
Les chances d'avoir deux 6 de suite sont de 1/36
En moyenne il faut donc
1-(35/36)^k proche de 50% soit
(35/36)^k=1/2 soit k =log2/(-log35+log36) =24.6 donc 25 fois

question 3/
n fois de suite un 6?
k=log2/(nlog6-log(6n-1))


The proof of the pudding is in the eating.

 #16 - 01-04-2013 01:01:15

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Combien de lanceers de dé avant de... ?

@franck : même remarque qu'au-dessus: ce que l'on veut calculer c'est l'esperance mathématique E(X) d'une certaine variable aléatoire X. Pour la question 1, X est le nombre de lancers jusqu'à l'apparition d'un 6. E(X) est donné par la somme des [latex]n \times p(X=n)[/latex].

 #17 - 01-04-2013 11:49:21

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

combien de lanxers de dé avant de... ?

En moyenne, 6 lancers pour obtenir un 6.
En moyenne, 42 lancers pour obtenir deux 6 à la suite.
En moyenne, [latex]\frac{6}{5}(6^n-1)[/latex] lancers pour obtenir [latex]n[/latex] six à la suite.

 #18 - 01-04-2013 18:03:35

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Combien de lancesr de dé avant de... ?

Oui bravo ksavier !

Tu sais pourquoi ?

 #19 - 01-04-2013 19:43:40

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Combien de lancers d dé avant de... ?

titoufred a écrit:

Tu sais pourquoi ?

Non, il a répondu au pif big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #20 - 01-04-2013 20:07:59

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

colbien de lancers de dé avant de... ?

big_smile

Le sens de ma question était de savoir si c'était juste une conjecture ou s'il avait la démonstration.

Pour démontrer le 1), il y a pas mal de façons de voir et c'est déjà assez intéressant je trouve. Je vous propose de vous essayer à démontrer le 1) pour l'instant.

 #21 - 01-04-2013 21:05:58

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Combien de lancers de dé avant de... ??

lol Le hasard fait bien les choses de temps en temps !!
Voici une piste  (comme une autre  hmm ) :
http://www.prise2tete.fr/upload/ksavier-solutiondes.png

 #22 - 01-04-2013 21:38:38

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Combien d lancers de dé avant de... ?

Joli !

Tu as fait une démonstration complètement différente de la mienne. Je ne sais pas si on peut l'étendre facilement au cas n quelconque avec l'inversion de la matrice M-Id ? En tout cas, bravo !

 #23 - 01-04-2013 22:04:36

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Cmbien de lancers de dé avant de... ?

Une petite remarque au passage sur un truc que j'ai trouvé assez rigolo :

Lorsqu'on lance un dé deux fois de suite, la probabilité de faire 6 puis 5, est de 1/36, et l'on montre assez facilement que le nombre moyen de lancers avant de faire 6 puis 5 est de 36 lancers.

Cependant, si la probabilité de faire 6 puis 6 est également de 1/36, le nombre moyen de lancers avant de faire 6 puis 6 est, comme ksavier vient de le démontrer, de 42 lancers.

Cela m'a quelque peu déconcerté pendant un temps...

 #24 - 01-04-2013 22:34:21

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

cpmbien de lancers de dé avant de... ?

Je trouve ça surprenant :  On devrait obtenir 6 puis 6 plus facilement que 6 puis 5 vu qu'on oublie l'ordre .

et l'on montre assez facilement

J'adore ce genre de sésame lol
Tu es sûr de toi ?

 #25 - 01-04-2013 22:47:12

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Cmobien de lancers de dé avant de... ?

Hihi, oui c'est assez surprenant au départ, mais en réfléchissant un peu, on voit pourquoi "66" va être plus long à venir que "65".

Pour ce qui est de la démonstration que "65" arrive en moyenne au bout de 36 lancers, c'est en cherchant une démonstration pour le 1) que j'ai trouvé une façon simple de voir les choses, qui peut aisément se généraliser.

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