Bonsoir Titoufred

Je pensais avoir déjà posé le problème mais ce n'est pas le cas , je laisse donc chercher ceux qui ne connaissent pas

Vasimolo

Ou une indigeste histoire de gâteau

Vasimolo

Moi je suis de la vieille école , je sais que c'est possible alors je laisse faire les jeunes et je me repose

Mais en temps de crise il n'est pas inintéressant d'économiser les manipulations . On peut aussi supposer qu'initialement toutes les ampoules sont allumées et avec une manipulation par minute tenter de limiter la dépense énergétique avant l'extinction des feux

Vasimolo

Et pour la 3ème ligne Gwen ? N'oublie pas que si touche un bouton de la 3ème ligne, tu agis sur l'allumage des pièces de la seconde ligne.

gwen, il y a plusieurs problèmes dans ton raisonnement

1) Pourquoi le processus serait-il "injectif", ie 2 combinaisons différentes (d'interrupteurs) en première ligne donneraient 2 combinaisons différentes (d'interrupteurs) en dernière ligne ? En fait, ce n'est pas le cas.

2) La dernière ligne d'interrupteurs ne définit pas à elle seule la dernière ligne de lumières.

En fait, il faudrait remplacer dans ton raisonnement, pour la dernière ligne, combinaison d'interrupteurs, par combinaison de lumières. Mais dans ce cas-là non plus, il n'y a aucune raison non plus que ce soit injectif.

On suppose que l'on a un rectangle [latex](p,q)[/latex].
Il faut en fait raisonner sur l'espace vectoriel [latex](\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{p\,q}[/latex] sur le corps [latex]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} [/latex] des entiers modulo 2. Les [latex]p\,q[/latex] configurations obtenues en fermant un interrupteur (lorsque toutes les lampes sont éteintes) forment un système de vecteurs (ce n'est pas toujours une base).
On est donc amené à chercher si la configuration "toutes les lampes sont allumées" appartient au sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs de ce système ; si l'on explicite dans la base canonique, on est amené à résoudre un système linéaire de [latex]p\,q[/latex] équations à [latex]p\,q[/latex] inconnues.
S'il existe au moins une solution, alors le nombre de solutions est une puissance de 2.

Je sais qu'il n'y a pas là de raisonnement, mais voici des solutions pour les premiers carrés, qui me laissent perplexe... :

Pour le point commun, on remarque déjà que la diagonale des matrices est soit toujours 1 soit toujours 0 et qu'il y a une symétrie axiale selon la diagonale quant il y a que des 1 et une symétrie centrale obtenue par quatre rotations de [latex]\frac{\pi}{4}[/latex] à chaque fois quant il y a que des 0. Il n'y a plus qu'à essayer les deux méthodes pour les nombres de 7 à 20 par exemple.

Sachant que pour la matrice de diagonale avec que des 1 il suffit de faire que la moitié du tableau et avec celle avec que des 0 un quart de tableau suffit.

Je n'ai pas le temps de m'y plonger mais c'est peut-être une piste à développer...

Voici ce que j'ai trouvé pour les maisons 2xn :

2x2 :

XX
XX

2x3 :

OOX
XOO 

ou

OXX
OXX

2x4 :

OXXO
OXXO

2x5 :

OOXOO
XOOOX

Qu'on généralise à :

2x(4k+1) :

O OXOO ... OXOO
X OOOX ... OOOX

2x(4k+2) :

XX OOXX ... OOXX
XX OOXX ... OOXX

2x(4k+3) :

XOO OXOO ... OXOO
OOX OOOX ... OOOX

ou

OXX OOXX ... OOXX
OXX OOXX ... OOXX

2x4k :

OXXO ... OXXO
OXXO ... OXXO

Je confirme que tu n'as pas compris ce que je veux dire.
Dans ton contre-exemple 1 la seconde ligne amène bien des combinaisons différentes.
Dans ton second contre exemple, tu ne choisis pas les même cases en ligne 1 donc invalide.

En plus le cas de dimension 2 est celui qui amène le plus de discussions car il combine les 2 exceptions des bords, rusé personnage ! A partir de la dimension 3 tu as le même en réserve ?

Bon , je vais (encore une fois) essayer d'être clair...

En ligne 1 je peux choisir 2^n combinaisons QUI S'EXCLUENT mutuellement.

Un exemple 4x4 :


En ligne 2 , je me vois donc dans l'obligation de choisir 2^n combinaisons (leurs opposés) QUI S'EXCLUENT AUSSI

Cela implique en ligne 3 de retrouver l'opposé de la ligne 2.
Et donc 2^n combinaisons QUI S'EXCLUENT ENCORE

De fil en aiguille, on retrouve 2^n combinaisons en ligne 4 , ce qui oblige à en trouver une valable, SI UNE COMBINAISON PERMET D'ALLUMER TOUTES LES CASES D'UNE LIGNE

Oui , ( sans lire d'ironie dans ton propos ) mais je n'arrive pas à prouver la condition initiale qui prouverait qu'elle existe. Remplir une ligne avec la combinaison de son choix.

Je prouve juste que k combinaisons différentes sur la ligne 1 donnent k combinaisons différentes en dernière ligne et que si on prouve que une combinaison permet de compléter une ligne, c'est gagné car k= 2^n en ligne 1 . Mais cela n'exclue pas que plusieurs combinaisons soient valables, ça dit juste qu'il y en a au moins une.