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 #1 - 31-05-2024 12:53:13

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 244

L vie en gris

Soit [latex](R,V,B)[/latex] une couleur encodée au format RVB.
Le niveau de gris correspondant est donné par [latex]G=\frac{R+V+B}{3}[/latex]

On considère que [latex]2[/latex] couleurs sont équivalentes si elles ont le même niveau de gris.
Dénombrer les couleurs équivalentes pour un niveau de gris donné.

Rappel : [latex](R,V,B)\in[\![ 0,255]\!]^3[/latex]

https://i.ibb.co/1Lq7Bgb/greyscale.png

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 #2 - 31-05-2024 18:51:39

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 475

la vue en gris

Bonjour! smile

Soit G un niveau de gris. On cherche les triplets (R,V,B) tels que R+V+B = 3G.
La valeur de B est ainsi fixée par celles de R et de V, il nous suffit donc de dénombrer les couples (R,V) tels que R+V <= 3G.
Choisir un tel couple revient à choisir R, puis à choisir R+V+1 dans [|0,3G+1|]. Il y en a donc 2 parmi 3G+2, ce que je note C(2,3G+2).
Conclusion: Pour un niveau de gris G, il y a C(2,3G+2) couleurs ayant ce gris.

 #3 - 31-05-2024 19:59:33

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 244

La vie en grsi

@Spirou :

Spoiler : [Afficher le message]

« Il nous suffit donc de dénombrer les couples (R,V) tels que R+V <= 3G »

Pas tout à fait. Pour rappel [latex]R,V[/latex] et [latex]B[/latex] sont dans [latex][\![0,255]\!][/latex] wink

 #4 - 31-05-2024 21:17:06

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 475

La vie en gri

Au temps pour moi! Il faut donc séparer les cas:
Si 3G <= 255, il y a bien C(2,3G+2) couleurs différentes de gris G.
Si 3G >= 2*255, on peut se ramener au cas précedent quitte à remplacer (R,V,B) par (255-R,255-V,255-B). Il y a alors C(2,3*255-3G+2)
Il reste à traiter les cas du milieu.
Supposons donc 3G dans [|256,2*255-1|]. Il y a C(2,3G+2) triplets (R,V,B) d'entiers tels que R+V+B=3G. On veut retirer ceux dont un élément est plus grand que 256. Remarquons que puisque 3G<2*255, il y a au plus un élément du triplet plus grand que 256. Nous allons donc dénombrer les triplets (R,V,B) tels que R+V+B=3G et R >= 256. En remplacant R par R-256, on est ramené au problème précédent. Nous disposons de C(2,3G-254) tels triplets. C'est la même chose si V>255 ou si B>255, on multiplie donc par 3.
Le nombre recherché est donc C(2,3G+2)-3*C(2,3G-254).
Je vérifie que la somme fait bien 256^3 et... c'est le cas big_smile

 #5 - 01-06-2024 03:03:39

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 244

la cie en gris

@Spirou :

Spoiler : [Afficher le message]

Oui ! Un petit graphe pour la forme smile

https://i.ibb.co/wLGLznS/grayscale.png

 #6 - 03-06-2024 20:53:44

Migou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 448
Lieu: Ville 2/N près 2*i

La vie en ggris

Coucou Sydre, un petit message pour te dire que j'ai presque fini mes équations. il y a un petit bug, mais je devrais bientôt en venir à bout.

 #7 - 09-06-2024 00:07:08

Migou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 448
Lieu: Ville 2/N près 2*i

L avie en gris

Bon alors... la résolution :-) prenez un siège et du popcorn, ca va être long.


Nous allons utiliser un jeu de coordonnées (i, j, k) dans [0, 255]³. avec par exemple i le niveau de rouge, j celui de vert et k le bleu.

On définit aussi N=i+j+k. N varie donc de 0 à 3x255. Le niveau de gris vaut N/3.

== a) pour N dans [0, 255], le cas facile ==

Les points (i, j, k) de somme N avec un sont les points (x, y, z) du plan incliné passant par (N, 0, 0) (0, N, 0) et (0, 0, N) avec x, y, z positifs ou nuls.

Ils forment une sorte de triangle qui serait la base d'une pyramide de sommet O avec pour arête les axes R, V, B.

Les points a coordonnées entières sont de la forme :
(i dans [0, N], j dans [0,N-i], k=N-i-j)

On remarque que la coordonnée k est imposée par les deux autres. Cela signifie en deux mots qu'on peut effectuer nos comptages en deux dimensions en projetant les points sur le plan (k=0). Comme cela peut nous éviter un mal de crâne, c'est ce qu'on va faire.

pour N <= 255, on a donc le nombre de couples f(N) =
Σ(i = 0 à N, N-i+1 ) = Σ( i = 0 à N, i+1) = (N+1).(N+2)/2


== b) pour N dans [2x255, 3x255] ==

C'est le symétrique du cas précédent par le centre du cube, i=j=k=3*255/2

soit M=3x255 - N et N = 3x255-M avec N dans [2x255,3x255] et M dans [0, 255]
f(N) = f(M) = (M+1).M/2
d'où f(N)= (3x255 - N + 1)(3×255 - N + 2)/2

 #8 - 09-06-2024 00:24:58

Migou
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 448
Lieu: Ville 2/N près 2*i

La vie en grs

== c) entre les deux N dans [255, 2x255] ==
ca se gâte. soit a tel que N=255+a
on va compter le plan complet moins les deux triangles A et B.

http://www.prise2tete.fr/upload/Migou-denombrement.jpg

zone A : la plus grande ligne est composée de a valeurs (les colonnes de 0 à a-1)

d'où nb_A = 1 + 2 + ... + N-255 = (N-255)(N-255+1)/2

zone B : la plus grande colonne

somme des colonnes de 1 à 255-a
= 1 + 2 + ... + (2.255 - N) = (2.255-N)(2.255-N+1)/2

Reste à compter la zone centrale qui vaut f(N) = 256² - (N-255)(N-255+1)/2 - (2.255-N)(2.255-N+1)/2

je n'ai pas eu le temps de finir, mais ca fait une courbe parabolique en -N²

f(N) = -N² + 765N - 97154
 
je suis allé jeter un oeil au post de Sydre avec la courbe pointue. Ce qui est sûr c'est qu'on n'a pas la même chose. A creuser.

Petite vérification, mes trois tronçons de fonction f sont bien continus en 255 et en 2.255

f(255) = 32896 avec la formule  de la section (a) et celle de la section (c)

f(2×255) = 32896 également, autant avec la fonction (c) qu'avec la fonction (b)

Donc je suis plutôt bon sur ce point.

 #9 - 10-06-2024 00:16:02

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 244

La ie en gris

@Migou

Mea culpa !

Effectivement il ne faut pas oublier d'éliminer les couples [latex](R,V)[/latex] qui impliquent [latex]B>255[/latex] (zone A sur ton dessin) lors du dénombrement central.

Manifestement @Spirou est aussi distrait que moi wink

La courbe corrigée :

https://i.ibb.co/Mhh1G1D/grayscale.png

 #10 - 10-06-2024 09:33:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,410E+3

La vie en rgis

Bonjour à tous les trois smile

Je n'ai pas lu vos messages en détail mais j'ai aussi trouvé une fonction continue avec 3 branches de parabole et c'est complètement naturel car on tombe sur des sommes de [latex]C_k^2[/latex] . Une première chose est d'oublier la division par 3 dans la définition de G car elle nous sort inutilement du domaine des entiers . G évolue alors dans [[0;765]] . Je note N(k) le nombre de triplets de [[0;255]] de niveau de gris k/3 .

Dans la première zone : [latex]k \in [[0;255]] : N(k)=C_{k+2}^2[/latex] .

Dans la deuxième : [latex]k\in [[256;509]] : N(k)=2^{16}-C_{k-254}^2-C_{511-k}^2 [/latex] .

Dans la troisième [latex]k\in [[510;765]] : N(k)=C_{767-k}^2[/latex] .

Vasimolo

 #11 - 10-06-2024 11:39:41

Spirou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 475

lz vie en gris

C'est intéressant parce que nous avons tous donné des expressions différentes pour la partie centrale (qui est la partie la plus délicate).
J'ai développé les expressions pour voir si elles coincidaient... et c'est le cas!
Nous avons donc
[TeX]256^2-C^2_{N-254}-C^2_{511-N} = -N^2 + 765N - 97154 = C^2_{N+2} - 3C^2_{N-254}[/TeX]
@Sydre: Tu as utilisé quelle expression pour la courbe pointue?

 #12 - 10-06-2024 12:38:14

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 244

La vie en gis

@Vasimolo C'est tout bon smile

@Spirou

Simple erreur de recopie lors du tracé. La courbe pointue correspond à [latex]C^2_{3G+2}-C^2_{3G-254}[/latex] (oubli du coefficient [latex]3[/latex])

Ce qui revient à ne pas eliminer tous les triplets avec un élément [latex]>255[/latex]

 

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