Enigmes

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 #1 - 11-05-2013 12:13:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Puissance d 2 dégradée

Voila une autre suite que j'avais en réserve depuis quelque temps, et qui s'apparente étrangement au problème de la "suite spéciale" de Titoufred.

Algorithme:
1)On choisit n, un entier quelconque. 
2)On le multiplie par 2
3)On met dans l'ordre croissant les chiffres du nb obtenu.
4)On recommence à 2)

La question est donc de savoir si, selon n, ça diverge, converge, ou tourne en boucle.



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 #2 - 11-05-2013 14:26:48

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

uPissance de 2 dégradée

17
34
68
136
272->227
454->445
890->89
178
356
712->127
254->245
490->49
98->89 et bingo, ça tourne en rond...

Je ne vois absolument pas comment démontrer quoi que ce soit qui se passe ! lol roll

 #3 - 11-05-2013 18:21:33

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

Puissance de 2 déggradée

J'ai au moins trouvé une boucle : 9 ; 18 ; 36 ; 72 ; 27 ; 54 ; 45 ; 90 ; 9 .

Vasimolo

 #4 - 12-05-2013 10:22:32

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Puissaance de 2 dégradée

2 solutions indépendantes proposées avec les nombres 17 et 9, qui tournent en boucle avec un cycle de 6 itérations chacune. Coïncidence ?

 #5 - 12-05-2013 19:05:17

titoufred
Elite de Prise2Tete
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puissancz de 2 dégradée

Je pense que toutes les suites se finissent par un cycle.

 #6 - 13-05-2013 11:48:48

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Puissaance de 2 dégradée

Tous les nombres qu j'ai essayé a la main bouclent, eventuellement.
Plus le nombre grandi, plus il y a des chances de trouver un zero, et donc il se divise par 10... ce qui augmente les chances de boucler...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 13-05-2013 14:11:51

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

puissance se 2 dégradée

Quelques constats sans démonstration  pour le moment

A partir d'un algorithme, je suis arrivé aux contacts suivants pour les 1.000.000 premiers entiers positifs:

1) La suite n'est jamais divergente;

2) Pour 590 nombres sur le million, la suite est convergente et converge vers 1245789. Ces 590 nombres sont supérieurs ou égaux à 578997 et la somme des chiffres qui les constituent est égale à 36 ou à 45.

3) Pour tous les autres nombres, la suite évolue puis atteint une boucle dont la longueur est égale à 4, 5, 6 ou à 12. (Pour info, la longueur k d'une boule est définie tel que [latex]U_{n+k}=U_n[/latex]).
Les nombres débouchant sur une boucle de longueur 6 sont les plus représentés (90,692% des nombres étudiées), suivis de ceux de longueur de boucle 12 (6,865%) puis de longueur 4 (2,559%).

Ces constats peuvent peut-être aider ceux qui auraient des formules englobantes. Le contact 1) semble aller au delà du 1.000.000; donc général.

 #8 - 13-05-2013 20:06:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
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puissance dr 2 dégradée

Petit résumé des 3 dernières réponses :
Consensus quasi unanime pour conjecturer que tous les nombres convergent vers zéro ou, plus souvent, se rebouclent (attention, ce n'est pas de la convergence à proprement parler...) selon un cycle variable de 4 à 12, pour ce qui a été testé. Le 1er million des entiers a été testé par un algorithme qui donne beaucoup de poids à cette hypothèse.

Personne ne semble vouloir accorder la moindre chance à ces 2 autres hypothèses:
-convergence vers un nombre différent de 0 (nombre stationnaire à chaque itération)
-divergence absolue, c'est à dire qu'un nombre de départ donne une suite globalement croissante, et ne se reboucle jamais sur lui même.

 #9 - 13-05-2013 20:39:47

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Puissance de 2 dégardée

Le constat 2) dans mon post traite de la convergence vers un entier différent de 0 smile
Il s'agit de 590 nombres inférieurs à 1.000.000 qui conduisent à cela

 #10 - 13-05-2013 21:07:47

herazlight
Amateur de Prise2Tete
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Puissance de 2 dégraéde

ça tourne en boucle car les 33 ou 44 sont des nombres entiers

 #11 - 14-05-2013 14:03:23

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Puissance de 2 dégraéde

Je pensais avoir brillamment roll démontré que la seule convergence possible était vers 0, mais kossi_tg a trouvé un autre point fixe : 1245789.

Du coup, je me demande s'il y en a d'autres...

 #12 - 14-05-2013 15:47:51

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Puissancee de 2 dégradée

Bon je viens de trouver tous les points fixes possibles et cette fois-ci j'ai une bonne démonstration.
C'est pas trop dur à trouver.

 #13 - 14-05-2013 18:20:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
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puiqsance de 2 dégradée

Bravo titoufred. J'en ai trouvé aussi, mais pas la démo, quoique ça ne doit pas être bien compliqué.
Le plus typique de période 1 (à mon avis, on devrait parler de suite périodique,
la convergence me semble être d'une autre nature) est le 123456789, auquel on peut ajouter autant de 9 que l'on veut. Et il y en a bien d'autres.

Malgré toutes ces suites périodiques, je ne suis pas convaincu que ça se produit tout le temps, notamment pour les nombres à 10 chiffres ou plus.
Il faudrait prouver que la suite décroit lentement. La question est de savoir si le 5 comme plus grand nombre, condition nécessaire pour faire "moins 1 chiffre", revient plus souvent que le "au moins 5" comme plus petit nombre (condition nécessaire pour faire "plus 1 chiffre".

 #14 - 14-05-2013 20:17:06

titoufred
Elite de Prise2Tete
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puissance dz 2 dégradée

Voici ce que j'ai trouvé :

Les points fixes non nuls sont les nombres dont les chiffres sont classés dans l'ordre croissant et tels que :

#1 = #2 = #4 = #5 = #7 = #8 > 0
#3 = #6
#9 > 0


où #x indique le nombre de chiffres x dans ledit nombre.

 #15 - 15-05-2013 18:04:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
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puussance de 2 dégradée

D'une manière plus générale, tout nombre initial comportant au moins une fois tous les chiffres de 1 à 9 conduit à une suite périodique. Ce n'est pas difficile à montrer.
Reste que pour tous les autres nombres, la question demeure.

 #16 - 16-05-2013 00:27:10

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Puisasnce de 2 dégradée

@nodgim : ce n'est pas une généralisation, mais peu importe. Tu peux mettre ton raisonnement ?

Voici le mien en ce qui concerne les points fixes non nuls :

Pour bien fixer les choses, j'appelle f la fonction correspondant aux étapes 2 et 3. C'est-à-dire que f(x) est le nombre obtenu en classant dans l'ordre croissant les chiffres de 2x. On cherche les points fixes de f, c-à-d les nombres tels que f(x)=x.

On se donne x un point fixe non nul. Déjà, remarquons que les chiffres de x sont classés dans l'ordre croissant et donc x ne comporte pas de 0.

1) On appelle max le plus grand chiffre de x. Montrons que max=9 :

Supposons max=1. Le chiffre des unités de 2x est alors un 2. Or x=f(x), donc x contient un 2. C'est absurde. Par conséquent max [latex]\neq[/latex] 1.

De même, on voit que max [latex]\neq[/latex] 2, [latex]\neq[/latex] 3 et [latex]\neq[/latex] 4.

Supposons max=5. Le 5 final va donner un 0 dans 2x et puisque f(x) a le même nombre de chiffres que x, cela implique que x n'a que des 5. Mais alors 2x donc x n'a que des 1. C'est absurde.

Supposons max=6. Alors x contient un 2 (qui vient du 6) et un 3 (qui donne le 6) donc x contient un 4 (qui vient du 2) donc x contient un 8 ou un 9 (qui vient du 4). C'est absurde.

Supposons max=7. Alors x contient un 4 (qui vient du 7) et donc x contient un 8 ou un 9 (qui vient du 4). C'est absurde.

Supposons max=8. Alors x contient un 4 (qui donne le 8). Mais le dernier 4 de x (qui a à sa droite un 5,6,7 ou 8) va prendre une retenue et va donner un 9. C'est absurde.

Conclusion : max=9.

2) Regardons à présent ce que va donner chacun des chiffres de x pour 2x :

Petite remarque préalable : x ne peut avoir tous ces chiffres supérieurs à 4 sinon il y aurait apparition d'un 1 ce qui est contradictoire.

Les 9 (il y en a au moins un) donnent des 9, sauf le dernier d'entre eux qui donne un 8.
Les 8 (il y en a au moins un) donnent des 7.
Les 7 (il y en a au moins un) donnent des 5.
Les 6 (s'il y en a) donnent des 3.
Les 5 (il y en a au moins un) donnent des 1.

Remarquons maintenant que x contient forcément un 4 : en effet, les 9 proviennent uniquement de 4 ou de 9, et puisque l'un des 9 donne un 8, pour faire le compte de 9, il faut qu'un 4 donne un 9.
On peut alors poursuivre :

Les 4 (il y en a au moins un) donnent des 8, sauf le dernier d'entre eux qui donne un 9.
Les 3 (s'il y en a) donnent des 6.
Les 2 donnent des 4.
Les 1 donnent des 2.

3) On peut alors en déduire des égalités suivantes :

#8 = #7 = #5 = #1 = #2 = #4
#3 = #6

où #n indique le nombre de chiffres n dans le nombre x.

Finalement, on peut résumer tout cela en disant que si x est un point fixe non nul de f alors les chiffres de x sont classés dans l'ordre croissant et :

#1 = #2 = #4 = #5 = #7 = #8 > 0
#3 = #6
#9 > 0

4) Inversement :

un nombre vérifiant les conditions précédentes est bien sûr un point fixe de f.

 #17 - 16-05-2013 21:41:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Puissance de 2 ddégradée

Le raisonnement pour prouver que tout nombre qui comporte tous les chiffres au moins une fois est assez rustique:
Les 1,2,3 donnent respectivement 2,4,6.
un 4 donne un 9.
les 5, 6 7,8 ,9 donnent respectivement 1,3,5,7 et au moins un 8.
On voit bien donc qu'on n'aura jamais de chiffre non représenté dans le nombre.
Donc, il n'y aura pas de 5 comme plus grand chiffre, qui conduirait à une diminution du nombre de chiffres à cause du zéro. 
De même on n'aura jamais les chiffres 1 à 4 non représentés, qui conduiraient, en leur absence, à une augmentation du nombre de chiffres.
Moralité: le nombre de chiffres reste constant, donc les combinaisons possibles ne sont pas en quantité infinie, la suite sera forcément périodique.

 #18 - 16-05-2013 21:48:24

nodgim
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puissance de 2 dégeadée

Je suis en train de m'amuser avec les nombres à trous (avec des chiffres manquants).
Si les chiffres 1 et 2 sont les seuls représentés dans le nombre, ça donne rapidement une suite 6-périodique.
En revanche, je n'ai pas encore conclu si le nombre de départ n'a que des chiffres 1 et 3. C'est fastidieux et attention au risque d'errreur qui arrive vite!

Même si c'est très long, on devrait pouvoir établir l'exhaustivité de tous les cas possibles.
Et j'en viens à penser que toutes les suites sont périodiques...

 #19 - 17-05-2013 00:41:10

titoufred
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puissance de 2 dégrafée

Bien vu nodgim. Tu peux même enlever les 3 et les 6.
Un nombre qui contient chacun des chiffres 1, 2, 4, 5, 7, 8 et 9 et dont les chiffres sont classés dans l'ordre croissant va donner un nombre du même type ayant le même nombre de chiffres et à la longue un cycle.

Mieux que ça : un nombre qui contient chacun des chiffres 1, 2, 4, 5, 7, 8 et 9 et dont les chiffres sont classés dans l'ordre croissant fait partie d'un cycle. La longueur du cycle est un diviseur de 6.

Voici la démonstration :
Soit x un nombre contenant chacun des chiffres 1, 2, 4, 5, 7, 8 et 9 (et dont les chiffres sont classés dans l'ordre croissant).
Je note #c(n) le nombre de chiffres c dans [latex]f^n(x)[/latex]
Alors :
#1(n+1) = #5(n)
#2(n+1) = #1(n)
#3(n+1) = #6(n)
#4(n+1) = #2(n)
#5(n+1) = #7(n)
#6(n+1) = #3(n)
#7(n+1) = #8(n)
#8(n+1) = #4(n)
#9(n+1) = #9(n)
Par conséquent #c(n+6)=#c(n) et donc [latex]f^6(x)=x[/latex] donc x fait partie d'un cycle dont la longueur est un diviseur de 6.

Remarque : la longueur exacte de ce cycle est le pgcd des périodes des suites (#1, #2, #4, #8, #7, #5) et (#3, #6).
En particulier, pour les nombres (contenant chacun des chiffres 1, 2, 4, 5, 7, 8 et 9 et dont les chiffres sont classés dans l'ordre croissant) donnant des...
*Cycles 1-périodiques (points fixes) : 
#1=#2=#4=#5=#7=#8 et #3=#6
*Cycles 2-périodiques (longueur 1 ou 2) : 
#1=#4=#7 et #2=#5=#8
*Cycles 3-périodiques (longueur 1 ou 3) :
#1=#8, #2=#7, #4=#5 et #3=#6

 #20 - 17-05-2013 18:56:27

nodgim
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Puissannce de 2 dégradée

OK, titoufred, j'avais vu déja que ça marchait sans les 3 et 6, mais je n'ai pas approfondi pour la longueur des cycles.
Ce sujet est loin d'être épuisé !

 #21 - 20-05-2013 21:26:43

titoufred
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Puisance de 2 dégradée

Pour les cycles 2-périodiques (c'est-à-dire de longueur 1 ou 2), j'ai réussi il me semble à démontrer la réciproque de ce qui était annoncé dans le message précédent :

Si x non nul fait partie d'un cycle 2-périodique, alors x contient chacun des chiffres 1, 2, 4, 5, 7, 8 et 9.

Finalement, les cycles 2-périodiques (non nuls) sont constitués de nombres dont les chiffres sont classés dans l'ordre croissant et tels que :

#1 = #4 = #7 > 0
#2 = #5 = #8 > 0
#9 > 0


Voici la démonstration :

Soit x un nombre non nul faisant partie d'un cycle 2-périodique. On note y=f(x). Alors f(y)=x. Notons que x et y ont leurs chiffres classés dans l'ordre croissant et ne comportent donc pas de 0. On note max(x) le plus grand chiffre de x. Nous allons tout d'abord montrer que max(x)=9.

Supposons max(x)=1 : Alors x se termine par 1, donc y se termine par 2, donc x se termine par 4. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 1.

Supposons max(x)=2 : Alors x se termine par 2, donc y se termine par 4, donc x se termine par 8. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 2.

Supposons max(x)=3 : Alors x n'est composé que de 1, de 2 et de 3, donc y n'est composé que de 2, de 4 et de 6. Si y avait un 2, alors x aurait un 4 ou un 5. Donc y n'a pas de 2 et x n'a donc pas de 1. Si y avait un 4, alors x aurait un 8 ou un 9. Donc y n'a pas de 4. Par conséquent y n'est composé que de 6. Donc x commence par un 1. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 3.

Supposons max(x)=4 : Alors x se termine par 4, donc y se termine par 8, donc x se termine par 6. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 4.

Supposons max(x)=5 : Si x ne comportait que des 5, y ne comporterait que des 1, donc x que des 2. C'est absurde. Donc x ne comporte pas que des 5. Comme x se termine par un 5 et ne comporte pas que des 5, y compte un chiffre de moins que x. Par conséquent, y ne comporte que des chiffres supérieurs ou égaux à 5 et x commence donc par un 1. Mais alors y a un 2 ou un 3. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 5.

Supposons max(x)=6 : y n'a pas de 9 (sinon x aurait un 8) donc x n'a pas de 4. D'autre part, x se termine par un 6, donc y a un 2. Ce 2 ne doit pas donner un 4 pour x, donc y n'a pas de 3 ni de 4. Donc le 6 de x provient d'un 8 de y. Mais ce 8 de y doit lui-même provenir d'un 4 ou d'un 9 de x. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 6.

Supposons max(x)=7 : x se termine par un 7 donc y a un 4 donc x a un 8 ou un 9. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 7.

Supposons max(x)=8 : max(y)>7 donc x a un 4 donc y a un 2. Le 8 final et les 3 de x donnent les 6 de y, donc #6(y)=#3(x)+1. D'autre part, seuls les 6 de y donnent les 3 de x, donc #3(x)=#6(y). C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 8.

Finalement, on en conclut que max(x)=9. On a bien sûr de même max(y)=9.

x et y ont un 9, donc un 8, donc un 7, donc un 5.
D'autre part #9(y)<#9(x) si x n'a pas de 4 et #9(y)=#9(x) si x a un 4. De même en inversant les rôles de x et y. On en déduit que #9(y)=#9(x) et que x et y ont un 4.

On peut alors en déduire que #1(x)=#2(y)=#4(x)=#8(y)=#7(x)=#5(y) et de même #1(y)=#2(x)=#4(y)=#8(x)=#7(y)=#5(x).

Finalement : #1(x)=#4(x)=#7(x) > 0, #2(x)=#5(x)=#8(x) > 0 et #9(x) > 0.

Inversement, pour un nombre x vérifiant les propriétés ci-dessus, on montre facilement que [latex]f^2(x)=x[/latex] donc x fait partie d'un cycle 2-périodique.

CQFD.

Il faudrait regarder ce que ça donne pour les cycles 3-périodiques...

 #22 - 21-05-2013 18:58:35

nodgim
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Puissannce de 2 dégradée

#1=#4=#7 > 0
#2=#5=#8 > 0
#9 > 0
La simple lecture de ces égalités me suffit à comprendre: le 9 étant à part, on alterne du groupe 1 4 7 au groupe 2 5 8 à chaque itération, on a bien alors un 2-périodique. C'est du bon boulot. 
Pour le 3-périodique, 3 groupes:
1=8>0
2=7>0
4=5>0
devrait marcher (avec 9>0) ?

Je m'intéresse davantage à la preuve de la conjecture de la périodicité de toutes les suites.
Pour cela, je pars de 5 variables a,b,c,d,e qui représentent respectivement le cardinal des chiffres 5,6,7,8,9, les valeurs 1 à 4 étant nulles, ce qui crée une incrémentation de 1 chiffre à la 1ère itération. 
Dans le cas général, ça marche très bien, on arrive assez vite à un échange entre une perte et un gain de 1 chiffre dans une période. Mais ce cas général a besoin de valeurs minimales pour les variables pour fonctionner, et là ça devient beaucoup plus long pour étudier tous les autres cas dégradés. Ce n'est pas compliqué, mais il ne faut rien rater.

 #23 - 22-05-2013 00:52:57

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

puissance dr 2 dégradée

Oui nodgim. Le plus compliqué est de voir pourquoi la réciproque est vraie.

Pour les cycles 3-périodiques (c'est-à-dire de longueur 1 ou 3), j'ai également réussi il me semble à démontrer la réciproque de ce qui était annoncé dans le message plus haut :

Si x non nul fait partie d'un cycle 3-périodique, alors x contient chacun des chiffres 1, 2, 4, 5, 7, 8 et 9.

Finalement, les cycles 3-périodiques (non nuls) sont constitués de nombres dont les chiffres sont classés dans l'ordre croissant et tels que :

#1 = #8 > 0
#2 = #7 > 0
#4 = #5 > 0
#3 = #6
#9 > 0


Voici la démonstration :

Soit x un nombre non nul faisant partie d'un cycle 3-périodique. On note y=f(x) et z=f(y). Alors f(z)=x. Notons que x, y et z ont leurs chiffres classés dans l'ordre croissant et ne comportent donc pas de 0. On note max(x) le plus grand chiffre de x. Nous allons tout d'abord montrer que max(x)=9.

Supposons max(x)=1 : Alors x se termine par 1, donc y par 2, donc z par 4 et donc x par 8. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 1.

Supposons max(x)=2 : Alors x se termine par 2, donc y par 4, donc z par 8, donc x a un 6. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 2.

Supposons max(x)=3 : Alors x se termine par 3, donc y par 6, donc z a un 2, donc x un 4 ou un 5. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 3.

Supposons max(x)=4 : Alors x se termine par 4, donc y par 8, donc z a un 6, donc x a un 2 ou un 3. D'autre part, y n'a pas de 4, sinon z aurait un 9 et x un 8. Puisque y n'a pas de 4, alors x n'a pas de 2, donc x a un 3, donc y un 6, donc z un 3, donc x un 6 ou un 7. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 4.

Supposons max(x)=5 : On vérifie facilement que x ne comporte pas que des 5. Comme x se termine par un 5 et ne comporte pas que des 5, y compte un chiffre de moins que x. Par conséquent, y ou z ne comporte que des chiffres supérieurs ou égaux à 5. z n'a pas de 3, 4, 8 ou 9 donc y pas de 4 ou 9 donc x pas de 4, donc y pas de 8 et z pas de 7. Comme z n'a pas de 7, alors le 5 de x provient d'un 2 de z, donc z ne donne aucun 3 pour x. Comme z a un 2, c'est donc y qui ne comporte que des chiffres supérieurs ou égaux à 5. x n'a pas de 3, donc y pas de 6, donc z n'a pas de 2. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 5.

Supposons max(x)=6 : z n'a pas de 9 ou de 4. Le 6 de x donne un 2 pour y, donc comme z n'a pas de 4, y n'a pas de 3 ou de 4 et z a un 5. On sait que max(z)>5 donc x a un 1. x n'a pas de 7 donc z pas de 3. Comme z n'a pas de 4, y ne peut avoir qu'un seul 2, donc le 1 de x ne donne pas de 2 mais un 3 pour y. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 6.

Supposons max(x)=7 : x se termine par 7 donc y a un 4. Comme max(y)>6, le 4 de y donne un 9 chez z, qui donne un 8 chez x. C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 7.

Supposons max(x)=8 : max(z)>7 donc z n'a pas de 4 mais un 9. Le 8 final de x donne un 6 pour y et comme max(y)>7, alors z a un 3, donc x un 7, donc y un 5, z un 1, et donc x un 2.
Puisque z n'a pas de 4 et finit par un 9, alors x n'a pas de 6, donc y pas de 3. Si max(y) valait 8, alors x aurait un 4, donc y un 9, ce qui est absurde. Donc y a un 9, donc x un 4. De plus, x a un 2, donc y un 4.
Alors #4(x)+1=#8(y)=#7(z)=#5(x)=#1(y)=#2(z)=#4(x). C'est absurde. Par conséquent, max(x) [latex]\neq[/latex] 8.

Finalement, on en conclut que max(x)=9. On a bien sûr de même max(y)=max(z)=9.

x, y et z ont un 9, donc un 8, donc un 7, donc un 5.
D'autre part #9(y)<#9(x) si x n'a pas de 4 et #9(y)=#9(x) si x a un 4. De même en remplaçant (y,x) par (z,y) ou (x,z). On en déduit que #9(x)=#9(y)=#9(z) et que x, y et z ont un 4.

On peut alors en déduire que #1(x)=#2(y)=#4(z)=#8(x)=#7(y)=#5(z) et de même en remplaçant (x,y,z) par (y,z,x) ou (z,x,y).
On en déduit que #1(x)=#8(x), #2(x)=#7(x) et #4(x)=#5(x).
On voit également que #3(x)=#6(y)=#3(z)=#6(x).

Finalement : #1(x)=#8(x) > 0, #2(x)=#7(x) > 0, #3(x)=#6(x), #4(x)=#5(x) > 0 et #9(x) > 0.

Inversement, pour un nombre x vérifiant les propriétés ci-dessus, on montre facilement que [latex]f^3(x)=x[/latex] donc x fait partie d'un cycle 3-périodique.

CQFD.

 

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