regardons les differentes parité de n
n=2m
alors en prenant $a=2^{m}$
$$2^{2m}-(2^{m})^2 = 0$$
or 7 divise 0.
donc pour tout n pair on a une solution

pour n=2m+1 prenons $a=2^{m-1}$
on obtient alors $2^{2m-2}(2^3-1)$

pour n=1 on a une soluton evidente donc on a donc une solution pour tout n.

Bamby2 j'ai mis les précisions dans l'énoncé.

Donc : pour un entier $n$ quelconque, existe-t'il un entier $a$ tel que $2^n$ et $a^2$ sont de même congruence modulo 7 ?

Les $2^n$ sont congrus a 1, 2 ou 4 modulo 7, pour la simple raison que $2^3$ est congru a 1 modulo 7 : par conséquent, tout cela est cyclique. Pour tout k positif ou nul :
$$2^{3k} \equiv 1 [7] 2^{3k+1} \equiv 2 [7] 2^{3k+2} \equiv 4 [7]$$
Il existe des valeurs de a telles que $a^2$ soit congru a 1, 2 ou 4 modulo 7.

$a=1$ donne $2^{3k}-a^2$ divisible par 7.
$a=3$ donne $2^{3k+1}-a^2$ divisible par 7.
$a=2$ donne $2^{3k+2}-a^2$ divisible par 7.

Mais ce ne sont que des exemples ; on peut probablement prouver qu'une infinité de valeurs de $a$ conviennent dans chaque cas, en prouvant qu'il y a une infinité de carrés congrus a 1, 2 ou 4 (respectivement) modulo 7.

C'est de la congruence modulo 7
$$2^n \in \{\bar{1};\bar{2};\bar{4}\}[/latex] et [latex]a^2 \in \{\bar{0};\bar{1};\bar{2};\bar{4}\}$$
Vasimolo

$a$ est en entier.

Si on veut reformuler la question, on aurait "Est-ce qu'il existe un entier $a$ tel que pour tout entier naturel $n$, $7$ divise $2^n - a^2$ ?"
$$2^0 - a^2 \equiv 1 - a^2 [7]$$
$$2^1 - a^2 \equiv 2 - a^2 [7]$$
$$2^2 - a^2 \equiv 4 - a^2 [7]$$
$$2^3 - a^2 \equiv 1 - a^2 [7]$$
...

On remarque que les congruences sont les mêmes si $n$ est de la forme $3k$ ; $3k + 1$ ou $3k + 2$.
$$2^3^k - a^2 \equiv 1 - a^2 [7]$$
Si $a = 1$, alors $2^3^k - a^2$ est divisible par $7$
(car $2^3^k - a^2$ est ainsi congru à $0$ modulo $7$, d'où la divisibilité). Pour $n = 3k$, il existe bien un entier $a$ tel que $2^n - a^2$ soit divisible par $7$.

De même, $2^3^(^k^+^1^) - a^2 \equiv 2 - a^2 [7]$
En prenant $a = 4$, c'est congru à $-14$ modulo $7$, soit $0$, d'où la divisibilité.

De même, $2^3^(^k^+^2^) - a^2 \equiv 4 - a^2 [7]$
En prenant $a = 2$, c'est congru à $0$ modulo $7$, donc c'est divisible par $7$.

On a bien montré que pour tout entier naturel $n$, on peut trouver un nombre $a$
($1$ ; $4$ ; ou $2$ suivant les valeurs de $n$), tel que $7$ divise $2^n - a^2$.

Alexein41 .

Bravo à tous et merci d'avoir participé.

Tu permets mais j'attaque la deuxième ligne de l'énoncé