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 #1 - 06-06-2011 21:43:02

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Puiissance de 2 et carrés

Pour fêter mon 256 ième message, une petite énigme avec des puissances de 2.

Montrer que pour tout entier naturel [latex]n[/latex] on peut trouver un nombre [latex]a[/latex] tel que [latex] 7[/latex] divise [latex]2^n-a^2[/latex].
Les nombres à diviser étant éventuellement avec un signe (dans Z).

Bonnes recherches.

smile



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 #2 - 06-06-2011 23:24:12

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

puissance dr 2 et carrés

Quand tu dis: "les" nombres étant éventuellement avec un signe, je suppose qu'il s'agit de a uniquement et pas de n (en effet, si n est négatif, alors 2^n n'est pas entier et comme a est un nombre, alors 2^n-a^2 n'est pas entier). On va donc s’intéresser aux valeurs positives de n

On va distinguer plusieurs cas:
Cas 1: n pair
Le cas le plus facile, a=2^(n/2). Dans ce cas, 7 divise bien 0

Cas 2: n impair supérieur ou égal à 3
Dans ce cas, a = 2^((n-3)/2); du coup on a 2^n - 2^(n-3) = 2^(n-3).(2^3-1) = 7k

Cas 3: n=1
Dans ce cas, a=4; du coup on a 2-16 = -14 = -2*7

 #3 - 06-06-2011 23:47:58

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Puissnace de 2 et carrés

regardons les differentes parité de n
n=2m
alors en prenant [latex]a=2^{m}[/latex]
[TeX]2^{2m}-(2^{m})^2 = 0[/TeX]
or 7 divise 0.
donc pour tout n pair on a une solution

pour n=2m+1 prenons [latex]a=2^{m-1}[/latex]
on obtient alors [latex]2^{2m-2}(2^3-1)[/latex]

pour n=1 on a une soluton evidente donc on a donc une solution pour tout n.

 #4 - 07-06-2011 00:25:52

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Puissance de 2 t carrés

On remarque que 2^n congrue à 2,4 ou 1 mod 7. (c'est trivialement cyclique, il suffit de calculer les premières valeur pour voir le cycle).

a     congrue à 0 1 2 3 4 5 6 mod 7
a^2 congrue à 0 1 4 2 2 4 1 mod 7.

Notre quantité est 2^n-a^2 la conclusion est triviale.

 #5 - 07-06-2011 07:23:37

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Puissnce de 2 et carrés

Bamby2 j'ai mis les précisions dans l'énoncé.


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 #6 - 07-06-2011 09:02:36

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Puissancee de 2 et carrés

[latex]2^n[/latex] modulo 7 ne prend que les valeurs 1, 2 ou 4.

pour 1, [latex]\alpha[/latex]=1 convient
pour 2, [latex]\alpha[/latex]=3
pour 4, [latex]\alpha[/latex]=2

pour n=1, le nombre à diviser est négatif (-9).

 #7 - 07-06-2011 13:53:29

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

puissance fe 2 et carrés

Donc : pour un entier [latex]n[/latex] quelconque, existe-t'il un entier [latex]a[/latex] tel que [latex]2^n[/latex] et [latex]a^2[/latex] sont de même congruence modulo 7 ?

Les [latex]2^n[/latex] sont congrus a 1, 2 ou 4 modulo 7, pour la simple raison que [latex]2^3[/latex] est congru a 1 modulo 7 : par conséquent, tout cela est cyclique. Pour tout k positif ou nul :
[TeX]2^{3k} \equiv 1 [7]
2^{3k+1} \equiv 2 [7]
2^{3k+2} \equiv 4 [7][/TeX]
Il existe des valeurs de a telles que [latex]a^2[/latex] soit congru a 1, 2 ou 4 modulo 7.

[latex]a=1[/latex] donne [latex]2^{3k}-a^2[/latex] divisible par 7.
[latex]a=3[/latex] donne [latex]2^{3k+1}-a^2[/latex] divisible par 7.
[latex]a=2[/latex] donne [latex]2^{3k+2}-a^2[/latex] divisible par 7.

Mais ce ne sont que des exemples ; on peut probablement prouver qu'une infinité de valeurs de [latex]a[/latex] conviennent dans chaque cas, en prouvant qu'il y a une infinité de carrés congrus a 1, 2 ou 4 (respectivement) modulo 7.


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 #8 - 07-06-2011 16:49:48

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

piissance de 2 et carrés

C'est assez maigre parce que je le démontre pas.

(2^n) mod(7) = {1,2,4}
(a^2) mod(7) = {0,1,2,4}

a = {1,2,3} suffit pour répondre à l'énigme.

 #9 - 07-06-2011 18:48:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Puissance e 2 et carrés

C'est de la congruence modulo 7 smile
[TeX]2^n \in \{\bar{1};\bar{2};\bar{4}\}[/latex] et [latex]a^2 \in \{\bar{0};\bar{1};\bar{2};\bar{4}\}[/TeX]
Vasimolo

 #10 - 07-06-2011 21:30:40

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

puisdance de 2 et carrés

Est-ce qu'on a [latex]a\in \mathbb{R}[/latex] ?

J'en doute fortement mais je préfère demander, sait-on jamais. roll


There's no scientific consensus that life is important

 #11 - 07-06-2011 22:12:37

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Puisance de 2 et carrés

[latex]a[/latex] est en entier.smile


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 #12 - 07-06-2011 22:54:06

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Puissance de 2 et carré

Les carrés dans Z/7Z sont 0, 1, 2 et 4.
Il se trouve que les puissances de 2 dans Z/7Z sont 1, 2 et 4.
Pour une puissance de 2, on peut toujours trouver un carré tel que la différence fasse 0 (dans Z/7Z). En revenant dans Z, cela donne notre réponse.

On peut même affiner un peu:
Si n=3k, 2^n vaut 1 dans Z/7Z, il suffit donc de prendre a=7l+1
Si n=3k+1, 2^n vaut 2 dans Z/7Z, il suffit donc de prendre a=7l+3
Si n=3k+2, 2^n vaut 4 dans Z/7Z, il suffit donc de prendre a=7l+2

Merci pour cette énigme.
PS: J'aime bien qu'on célèbre les puissances de 2 smile

 #13 - 08-06-2011 17:06:26

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

Puissance de 22 et carrés

Si on veut reformuler la question, on aurait "Est-ce qu'il existe un entier [latex]a[/latex] tel que pour tout entier naturel [latex]n[/latex], [latex]7[/latex] divise [latex]2^n - a^2[/latex] ?"
[TeX]2^0 - a^2 \equiv 1 - a^2 [7][/TeX]
[TeX]2^1 - a^2 \equiv 2 - a^2 [7][/TeX]
[TeX]2^2 - a^2 \equiv 4 - a^2 [7][/TeX]
[TeX]2^3 - a^2 \equiv 1 - a^2 [7][/TeX]
...

On remarque que les congruences sont les mêmes si [latex]n[/latex] est de la forme [latex]3k[/latex] ; [latex]3k + 1[/latex] ou [latex]3k + 2[/latex].
[TeX]2^3^k - a^2 \equiv 1 - a^2 [7][/TeX]
Si [latex]a = 1[/latex], alors [latex]2^3^k - a^2[/latex] est divisible par [latex]7[/latex]
(car [latex]2^3^k - a^2[/latex] est ainsi congru à [latex]0[/latex] modulo [latex]7[/latex], d'où la divisibilité). Pour [latex]n = 3k[/latex], il existe bien un entier [latex]a[/latex] tel que [latex]2^n - a^2[/latex] soit divisible par [latex]7[/latex].

De même, [latex]2^3^(^k^+^1^) - a^2 \equiv 2 - a^2 [7][/latex]
En prenant [latex]a = 4[/latex], c'est congru à [latex]-14[/latex] modulo [latex]7[/latex], soit [latex]0[/latex], d'où la divisibilité.

De même, [latex]2^3^(^k^+^2^) - a^2 \equiv 4 - a^2 [7][/latex]
En prenant [latex]a = 2[/latex], c'est congru à [latex]0[/latex] modulo [latex]7[/latex], donc c'est divisible par [latex]7[/latex].

On a bien montré que pour tout entier naturel [latex]n[/latex], on peut trouver un nombre [latex]a[/latex]
([latex]1[/latex] ; [latex]4[/latex] ; ou [latex]2[/latex] suivant les valeurs de [latex]n[/latex]), tel que [latex]7[/latex] divise [latex]2^n - a^2[/latex].

Alexein41 .

 #14 - 09-06-2011 17:56:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

puissance de 2 et carréq

2^(1+3k)-3²
2^(3k+3)-1²
2^(2+3k)-5²
pour k entier ou nul sont divisibles par 7.

 #15 - 09-06-2011 22:07:17

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

puissancz de 2 et carrés

Bravo à tous et merci d'avoir participé. smile


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 #16 - 10-06-2011 22:04:16

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Puissance de 2 et carrsé

Bon, maintenant, qui nous prouve que, pour toute valeur de n (on peut le ramener a trois cas, comme tout le monde l'a vu), il y a une infinité de valeurs de a qui respectent l'équivalence de l'énoncé ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 11-06-2011 00:27:05

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Puissaance de 2 et carrés

Tu permets mais j'attaque la deuxième ligne de l'énoncé lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #18 - 11-06-2011 07:35:50

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Puissance de 2 et crrés

MthS-MlndN a écrit:

Bon, maintenant, qui nous prouve que, pour toute valeur de n (on peut le ramener a trois cas, comme tout le monde l'a vu), il y a une infinité de valeurs de a qui respectent l'équivalence de l'énoncé ?

Rivas le fait très bien !


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