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 #1 - 04-03-2010 22:02:58

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Nombre premier et &qquot;puissance 4"!

Trouver tous les entiers naturels n tel que n^4+4 soit premier.
ConseilSpoiler : [Afficher le message] si vous avez du mal , exprimé n^4+4 comme la différence des carré de deux nombres wink Bonne chance!



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"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 04-03-2010 22:19:07

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Nombre premier et "puissance "!

Sophie Germain a écrit:

n^4+4m^4 = (n²+2m²+2mn)(n²+2m²-2mn)

Donc n^4+4 = (n²+2n+2)(n²-2n+2)
Si n=0, 4 n'est pas premier.
Si n=1, 5 est premier.
Si n>1, les deux facteurs de la factorisation sont au moins égaux à 2, donc le nombre est composé...
Il n'y a donc qu'une solution cool


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 04-03-2010 22:37:20

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Nombre premier et "puisance 4"!

[latex]n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2n+2)(n^2-2n+2)[/latex] donc pour que ce nombre soit premier il faut que l'un des facteurs soit égal à 1 d'où
[latex]n^2+2n+2=1[/latex] implique [latex]n^2+2n+1=0 [/latex]d'où [latex](n+1)^2=0[/latex] donc n=-1 impossible ar on cherche des nombres positifs

ou [latex]n^2-2n+2=1[/latex] implique que [latex](n-1)^2=0[/latex] d'où n=1

 #4 - 05-03-2010 00:41:16

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Nombre premier et "puissace 4"!

En suivant ta piste, je peux peut-être écrire :
[TeX]n^4 + 4 = (n^2+2)^2 - (2n)^2 = (n^2 - 2n +2)(n^2+2n+2)[/TeX]
Auquel cas, si je ne me suis pas trompé, il faut que l'un des deux facteurs vaille 1 pour que le nombre puisse être premier. [latex]n^2+2n+2[/latex] vaut au moins 2, et
[TeX]n^2 - 2n+2=1 \Rightarrow n=1[/TeX]
Donc seul n=1 est solution, il semblerait...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 05-03-2010 22:11:37

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

Nombre premier et "puissance 4"

soit P=n^4+4 = (n^2+2)^2-4n^2

P = (n^2-2n+2)(n^2+2n+2)

P est premier si n^2-2n+2 est égal à 1 et que n^2+2n+2 est premier

seule solution n=1, P=5


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #6 - 09-03-2010 22:23:55

pierreol43
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1

Nommbre premier et "puissance 4"!

Salut à tous,
Je poste ici car je pense avoir la réponse à ta question :


n^4+4 = (n²)²+2² = (n²)²+2²-4n²+4n² = (n²+2)²-4n² = (n²+2n+2)(n²-2n+2)
Pour n entier différent de 0, les deux membres du produit sont strictement positifs

1er cas : n=1 --> 1^4+4=5   PREMIER
2e cas : n différend de 1 --> Les deux termes du produits sont tous les deux entiers strictement supérieur à 1. Il existe donc au minimum 4 diviseurs à n^4+4, à savoir : 1 ; n^4+4 ; (n²+2n+2) ; (n²-2n+2)
Donc pour n supérieur à 1 , n^4+4 n'est pas premier

En conclusion : il existe un et un seul n tel que n^4+4 est premier : c'est n=1

 

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