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 #201 - 05-06-2013 18:38:57

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

devinez l'autre parrie du domino !

@Vasimolo : Le problème est posé très clairement, il n'y a que toi qui ne le comprend pas apparemment. Tu ne veux toujours pas tenir compte du fait qu'il ait révélé un 6. Or cette information, bien qu'apparemment sans intérêt, "dissymétrise" le problème et fait qu'il va falloir tenir compte de la stratégie de l'animateur pour évaluer nos chances de gagner quand on répond 6. C'est comme dans le problème avec les chaussettes, tu es obligé de tenir compte de l'information supplémentaire. Puisque tu sais ce qu'est une probabilité conditionnelle, ce qu'il va être important de déterminer c'est entre autres P(66|6) (avec les notations "66" pour "il a tiré le domino 66" et "6" pour "il a montré 6"). Toi tu affirmes que P(66|6)=1/4 quelle que soit la façon dont l'animateur choisit la moitié qu'il révèle. Je te répète que ce n'est pas le cas, cette probabilité dépend de la façon dont l'animateur choisit la moitié qu'il va révéler. On a donné des exemples où cette probabilité vaut 1/7 ou 1. Si tu crois encore et toujours que P(66|6)=1/4, alors vas-y montre-le, tu verras que tu vas bloquer.

@gwen : Je crois que tu as tous les éléments en main. Je suis d'accord avec à peu près tout ce que tu dis. Mais j'ai du mal à comprendre certaines idées, comme la deuxième partie de ta dernière phrase "mais toujours à égalité avec les options disponibles totalement équiprobables".

Je répète que le nœud de la démonstration peut s'exprimer très simplement une fois que l'on a compris le pourquoi du comment.

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 #202 - 05-06-2013 18:43:34

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Devinez l'autre patie du domino !

titoufred a écrit:

Oui, au moment où tu fais ton annonce, tu as bien une chance sur 4 de gagner.
Admettons que l'animateur t'annonce à son tour comment il compte te désigner la moitié du domino tiré au hasard : il te montrera la moitié correspondant au numéro le plus grand.
Peu t'importe, cela ne change rien à ton affaire, tu as toujours une chance sur 4 de gagner.
Maintenant, il procède au tirage au sort du domino. Il regarde le domino et il se trouve qu'il te révèle un 6.
Cette nouvelle information va modifier ta probabilité de gagner, qui va tomber à 1 chance sur 7.

Sûrement pas. Ce n'est parce qu'il annonce un 6 que la proba qu'il ait un double en main est descendue de 1/4 à 1/7. Il n'a pas tiré un 6 parmi les 7 dominos qui comportent un 6, il a tiré un domino parmi 28, dont 7 sont des doubles. J'ai insisté assez lourdement pour être certain des règles du jeu, c'est très important de  connaitre les règles, sinon on ne peut rien conclure.
Ce problème ne s'apparente pas du tout avec l'énigme des 3 portes.

 #203 - 05-06-2013 18:56:42

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
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Devinez l'autre pratie du domino !

Quelqu'un a lu ma démonstration, ou bien... ?

Nodgim, ma démonstration avec le théorème de Bayes montre que ton affirmation est fausse. On n'a pas une chance sur 4 après que l'animateur ait montré le 6 si ce dernier n'a pas une stratégie aléatoire sur la face qu'il montre.

 #204 - 05-06-2013 19:13:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Devinez l'aute partie du domino !

titoufred a écrit:

@Vasimolo : Le problème est posé très clairement, il n'y a que toi qui ne le comprend pas apparemment. Tu ne veux toujours pas tenir compte du fait qu'il ait révélé un 6. Or cette information, bien qu'apparemment sans intérêt, "dissymétrise" le problème et fait qu'il va falloir tenir compte de la stratégie de l'animateur pour évaluer nos chances de gagner quand on répond 6. C'est comme dans le problème avec les chaussettes, tu es obligé de tenir compte de l'information supplémentaire. Puisque tu sais ce qu'est une probabilité conditionnelle, ce qu'il va être important de déterminer c'est entre autres P(66|6) (avec les notations "66" pour "il a tiré le domino 66" et "6" pour "il a montré 6"). Toi tu affirmes que P(66|6)=1/4 quelle que soit la façon dont l'animateur choisit la moitié qu'il révèle. Je te répète que ce n'est pas le cas, cette probabilité dépend de la façon dont l'animateur choisit la moitié qu'il va révéler. On a donné des exemples où cette probabilité vaut 1/7 ou 1. Si tu crois encore et toujours que P(66|6)=1/4, alors vas-y montre-le, tu verras que tu vas bloquer.

Contrairement à ce que tu dis je crois que j'ai parfaitement compris le problème smile

Voilà comment je le résumerais : l'animateur a mis au point une stratégie pour essayer de faire perdre le candidat . Il tire un domino au hasard , il applique sa stratégie et montre un 6 au candidat . Maintenant quel numéro va choisir le candidat qui voit un 6 et quelle est sa chance de réussite ?

Le candidat choisit 6 et il gagne une fois sur quatre . En quoi l'apparition d'un 6 pourrait faire évoluer la probabilité de réussite dans un sens ou dans l'autre ? Après si la stratégie de l'animateur fait que lorsqu'il montre un 6 les chances de réussite du candidat sont moindre on s'en fout comme de l'an 1000 .

Vasimolo

 #205 - 05-06-2013 19:13:57

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Devinez l'autre partie d domino !

De plus, nodgim, ta démonstration se base sur l'équiprobabilité du tirage des 28 dominos mais aussi sur celle de la face dévoilée.

Or, si l'animateur précise qu'il va montrer le plus grand des 2 numéros, tu verra un 6 1 fois sur 4 , ..., un 1 2 fois sur 28 et un 0 1 fois sur 28.

Dans le cas où il te montre un 0, tu as bien 100% de chances de gagner, le hasard l'a piégé à sa propre règle.

S'il te montre un 1, il y a exactement autant de chances que ce soit un 0 ou un 1 soit 50%

...

S'il te montre un 6 il ya a exactement 1/7 chance qu'il ait avec un 0 1 2 3 4 5 ou 6  car cela exclut totalement 21 cas sur 28 pour lesquels il n'aurait pas pu  te montrer un 6

 #206 - 05-06-2013 19:40:29

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Devinez l'autre parte du domino !

@Nodgim : La démonstration de Nombrilist est implacable : pour une stratégie donnée de l'animateur, une fois qu'il a montré un 6, la probabilité qu'il ait un double en main est 1/7.

@Vasimolo : Non, l'animateur n'a pas mis au point de stratégie pour faire perdre le candidat plus de 3 fois sur 4. Je répète à l'envi qu'il n'y en a pas. Quelle que soit la façon dont l'animateur choisit la moitié révélée, la stratégie du candidat qui consiste à répondre x quand il voit x assure 1/4 de victoires (voir ce message.) L'animateur a juste sa façon de choisir, dont on ignore tout. Le problème ne consiste pas à montrer qu'il peut faire perdre le candidat plus de 3 fois sur 4. Le problème consiste à montrer que, quelle que soit la façon dont l'animateur a choisi la moitié qu'il a révélée, s'il montre un 6, répondre 6 est le meilleur choix. Ça n'a juste rien à voir.

 #207 - 05-06-2013 19:45:45

Vasimolo
Le pâtissier
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devonez l'autre partie du domino !

Le fait que l'animateur n'a aucune prise sur les chances de réussite du candidat a déjà été expliqué 100 fois , on tourne vraiment en rond yikes

Vasimolo

 #208 - 05-06-2013 20:01:47

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,464E+3

devinez l'autre partie du fomino !

C'est toi qui tourne en rond... Tu n'es vraiment pas ouvert sur ce coup-là.

Bien sûr qu'il a prise sur les chances de réussite ! Il a prise dans le sens ou il peut les améliorer en dévoilant sa stratégie tu le dis toi-même, te contredisant dans le même post.

S'il dit : je montre une des faces au hasard et qu'il dévoile un 6 , 6 a une chance sur 4 d'être la bonne réponse. Mais le joueur a toujours une chance sur 8 de gagner en répondant 1

S'il dit : je vais faire voir la plus petite des deux faces et qu'il dévoile un 6 , 6 est la bonne réponse et le joueur n'a aucune chance de gagner en répondant 1.

S'il dit : je vais faire voir la plus grande des deux faces et qu'il dévoile un 6 , 6 est une réponse possible et le joueur a autant de chance de gagner en répondant 1 ou 6 : 1/7

Ce que l'on cherche à te faire comprendre est que le 6 , dans tous les cas reste malgré tout la réponse la plus probable. (parfois à égalité)

 #209 - 05-06-2013 20:09:19

ThomasLRG
Habitué de Prise2Tete
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sevinez l'autre partie du domino !

Vasimolo a écrit:

En quoi l'apparition d'un 6 pourrait faire évoluer la probabilité de réussite dans un sens ou dans l'autre ?

Il est clair que si on suit la stratégie suivante : "quand l'animateur montre un 6 je dis 6", nos chances de réussites lorsque que l'animateur montre un 6 sont dépendantes du choix de l'animateur.

Exemple 1 : l'animateur choisi au hasard, on gagnera 25 % des parties où l'animateur montre un 6. (cas discuté en long et en large)

Exemple 2 : l'animateur ne montre un 6 uniquement quand c'est un double 6 et montre autre chose dans tous les autres cas.
Alors on gagnera 100% des parties où l'animateur montre un 6.
La probabilité de gagner lorsque l'animateur montre un 6 est 1.

Le choix de l'animateur influence notre probabilité de gagner lorsque l'animateur montre un 6. Mais ça ne nous fera pas gagner plus souvent quand même, car on ne gagnera toujours que 1 / 28 des parties par cette stratégie (cas où le double 6 sort)

Thomas.
Au passage, je trouve le même calcul que Nombrilist dans le cas où l'animateur choisi toujours le plus grand nombre (personne n'a l'air de s'en soucier ^^)

 #210 - 05-06-2013 20:17:46

vladimir37
Expert de Prise2Tete
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Messages : 503
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Devinez l'autre patie du domino !

Nombrilist a écrit:

Titoufred, est-ce que tu pourrais nous donner ta solution avec un raisonnement mathématique, car là, tout le monde raisonne avec son intuition et au final, on n'avance pas.
Pourrais-tu par exemple nous montrer ton raisonnement avec le thérorême de Bayes ? Franchement, ça m'intéresse beaucoup.

Bon, j'ai corrigé mon application du théorême de Bayes. Soient:

P(Double 6 / m6) la probabilité que l'on ait un double 6 sachant que l'animateur montre un 6

P(m6 / Double 6) la probabilité que l'animateur montre un 6 sachant qu'il a un double 6

P(m6) la probabilité que l'animateur montre un 6

P(Double 6) la probabilité qu'il tire un double 6.

Le tirage est aléatoire. Alors:

P(Double 6 / m6) = P(m6 / Double 6) * P(Double 6)/P(m6)

Supposons que le présentateur montre aléatoirement l'une des face. Alors:

P(m6 / Double 6) = 1
P(Double 6) = 1/28
P(m6) = 7/28*8/14 = 1/7

Que représente le 8/14?
P(m6) n'est pas plutôt égal à 7/28 comme montre le dessin
http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-domino.jpg
7 dominos,sur les 28, comportent un 6.
Dans ce cas-là,P(Double 6|m6)=1/7.
Donc, le résultat ne dépend PAS de la stratégie de l'animateur.

 #211 - 05-06-2013 20:19:41

Nombrilist
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Deinez l'autre partie du domino !

D'ailleurs, pour conclure sur ce problème, en reprenant mon calcul, on voit bien que pour que l'on n'ait pas moins de 1 chance sur 7 de gagner quelle que soit la stratégie de l'animateur, il faut et il suffit que p(m6)<1/4 (autrement dit, il ne faut pas que l'animateur puisse montrer le 6 plus d'une fois sur 4). Ce qui est évident.

CQFD.

Vladimir, le présentateur a bien 7 chances sur 28 de tirer un domino avec un 6 et a bien ensuite 8 faces présentant un domino sur 14 faces présentables possibles. Donc, p(m6) = (7/28)*(8/14)

 #212 - 05-06-2013 22:37:06

Vasimolo
Le pâtissier
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Devinez l'autre partie du dommino !

gwen27 a écrit:

C'est toi qui tourne en rond... Tu n'es vraiment pas ouvert sur ce coup-là.

Bien sûr qu'il a prise sur les chances de réussite ! Il a prise dans le sens ou il peut les améliorer en dévoilant sa stratégie tu le dis toi-même, te contredisant dans le même post.

S'il dit : je montre une des faces au hasard et qu'il dévoile un 6 , 6 a une chance sur 4 d'être la bonne réponse. Mais le joueur a toujours une chance sur 8 de gagner en répondant 1

S'il dit : je vais faire voir la plus petite des deux faces et qu'il dévoile un 6 , 6 est la bonne réponse et le joueur n'a aucune chance de gagner en répondant 1.

S'il dit : je vais faire voir la plus grande des deux faces et qu'il dévoile un 6 , 6 est une réponse possible et le joueur a autant de chance de gagner en répondant 1 ou 6 : 1/7

Ce que l'on cherche à te faire comprendre est que le 6 , dans tous les cas reste malgré tout la réponse la plus probable. (parfois à égalité)

Quand un problème est ambigu au départ on arrive forcément à des discussions sans fin surtout quand le malentendu est entretenu , et je ne suis pas sûr d'être le seul à trouver le problème mal posé . Il n'y a aucune contradiction dans mon message contrairement à ce que tu dis , et se demander s'il y a changement d'espérance  de gain si on voit un 6 est parfaitement ridicule , les différents numéros étant parfaitement interchangeables .

Après il y aurait une autre question qui demanderait si l'animateur pouvait avoir une stratégie ( révélée ) pour laquelle il faudrait choisir une autre solution que 6 .  Évidemment non car même si l'animateur ne décide de montrer un 6 que contraint et forcé , l'autre face a autant de chance d'être un 6 qu'autre chose , il n'y a donc aucun intérêt à choisir autre chose que 6 .

Ce problème vaut-il huit pages smile

Vasimolo

 #213 - 05-06-2013 23:32:39

gwen27
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Dveinez l'autre partie du domino !

Tu sais , moi j'dis ça, j'dis rien hein T'as le droit de EDIT : pas être d'accord...

 #214 - 06-06-2013 02:36:42

titoufred
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decinez l'autre partie du domino !

Nombrilist a écrit:

D'ailleurs, pour conclure sur ce problème, en reprenant mon calcul, on voit bien que pour que l'on n'ait pas moins de 1 chance sur 7 de gagner quelle que soit la stratégie de l'animateur, il faut et il suffit que p(m6)<1/4 (autrement dit, il ne faut pas que l'animateur puisse montrer le 6 plus d'une fois sur 4). Ce qui est évident. CQFD.

Tu viens de montrer que, quelle que soit la façon dont l'animateur choisit la moitié qu'il révèle, la probabilité de gagner en répondant 6 lorsqu'il montre un 6 est supérieure ou égale à 1/7. Cela ne prouve pas pour autant que le 6 reste le meilleur choix.

Vasimolo a écrit:

se demander s'il y a changement d'espérance  de gain si on voit un 6 est parfaitement ridicule , les différents numéros étant parfaitement interchangeables .

Non, dans la façon dont l'animateur choisit la moitié qu'il révèle, les différents numéros ne sont pas forcément interchangeables.

Vasimolo a écrit:

Après il y aurait une autre question qui demanderait si l'animateur pouvait avoir une stratégie ( révélée ) pour laquelle il faudrait choisir une autre solution que 6 .

Ah, enfin, tu as presque compris le problème posé. C'est exactement la question que l'on se pose, sauf que la stratégie de l'animateur n'est pas révélée. Elle nous est inconnue.

Vasimolo a écrit:

Évidemment non car même si l'animateur ne décide de montrer un 6 que contraint et forcé , l'autre face a autant de chance d'être un 6 qu'autre chose , il n'y a donc aucun intérêt à choisir autre chose que 6 .

Tu admets donc enfin que la façon dont l'animateur choisit la moitié qu'il révèle influence notre probabilité de gagner. Bon, ce que tu dis après, c'est juste n'importe quoi.

 #215 - 06-06-2013 06:28:13

nodgim
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devinez k'autre partie du domino !

Sans avoir lu Nombrilist, la nuit portant conseil, aidant à mettre les idées en place (quand bien même on croit en avoir fini avec un problème), je me range totalement à l'analyse de Titou.
En annonçant la valeur la plus forte, il y a une répartition des dominos selon l'annonce:
1/28 quand on annonce un 0
2/28 quand on annonce un 1
.....
7/28 quand on annonce un 6

Le total fait bien 28.

Du coup, les doubles n'ont plus du tout chacun une proba de 1/28:
Si annonce du 0: 1 chance sur 1
Si annonce du 1: 1 chance sur 2.
.....
Si annonce du 6: 1 chance sur 7.

L'annonce du 6, qui arrive une fois sur 4, donne 1 chance sur 7 seulement au double.

 #216 - 06-06-2013 10:03:03

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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Devinez l'autre partie du domin o!

Soit y un domino contenant un seul 6. On a :

P(y/m6) = p(m6/y)*p(y)/p(m6)

Avec p(m6/y)=<1 suivant la stratégie de l’animateur et  (pm6/y)>0 puisque l’animateur montre un 6.

P(y) = 1/28

Et p(m6) = 7/28 * x avec 1/7=<x=<1

Donc, 0<p(m6/y)/p(m6)=<28/7

Donc p(y/m6)=<1/7

Donc, puisque p(6/m6)>=1/7, la stratégie gagnante est de jouer le 6.

CQFD ?

Edit: il y avait deux erreurs que j'ai corrigées en gras. J'ai écrit p(y/m6) au lieu de p(m6/y). L'encadrement s'obtient en divisant l'encadrement de p(m6/y) par celui de p(m6). Je l'avais mal calculé.

 #217 - 06-06-2013 14:24:56

titoufred
Elite de Prise2Tete
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devinez l'autee partie du domino !

Nombrilist, la démonstration n'est pas bonne malheureusement.

Il y a une erreur ici :  0<p(y/m6)/p(m6)=<7/28

D'où sort cette inégalité ?

Cependant, tu as écrit une ligne qui devrait faire tilt, et qui contient la solution à elle seule pratiquement. Grâce à toi, la solution sera postée d'ici ce soir, par toi ou un autre.

Edit suite à ton Edit : Ce n'est pas encore ça.
Cette inégalité n'est pas bonne : 0<p(m6/y)/p(m6)=<28/7
Lorsque tu passes à l'inverse, tu dois inverser le sens d'une inégalité : on ne divise pas des encadrements comme tu l'as fait.
D'ailleurs, n'essaye pas de prouver que p(y/m6)=<1/7, c'est faux.

 #218 - 06-06-2013 18:19:47

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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Devinez l'autre prtie du domino !

Merci pour la correction. Bon, du coup après correction on trouve p(y/m6)=<1. Nous voilà bien avancé. lol

 #219 - 06-06-2013 18:58:28

Vasimolo
Le pâtissier
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DDevinez l'autre partie du domino !

Si on exprime la stratégie de l'animateur en terme d'ensembles : E(i) est l'ensemble des dominos pour lesquels il montrerait une face i . Cet ensemble contient forcément le domino (i,i) . La face non visible a donc au moins autant de chance d'être i qu'autre chose et on ne risque pas de perdre en annonçant i.

On peut bien sûr trouver que le raisonnement est ridicule .

Vasimolo

 #220 - 06-06-2013 22:14:44

gwen27
Elite de Prise2Tete
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devinez l'zutre partie du domino !

Bah, voila, tu as compris... Tu as le droit de trouver le raisonnement ridicule. Ca te gratterait le clavier d'admettre que tu as eu tort ? big_smile

 #221 - 06-06-2013 22:36:27

Vasimolo
Le pâtissier
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devinez l'autre partie du dolino !

Je trouve simplement ridicule un problème pour lequel il faut se taper une dizaine de pages pour comprendre la question et deux minutes pour le résoudre .

Gwen , tu avais la réponse ?

Vasimolo

 #222 - 06-06-2013 22:42:44

gwen27
Elite de Prise2Tete
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devinrz l'autre partie du domino !

Bah non, bien sûr ... lol Je faisais juste acte de présence pour le plaisir de te faire râler lol Tout le monde sait que je suis nul à ce genre d'exercice.

A mon avis il faut plus de 2 mn pour le résoudre mais tu restes le seul qui ait mis 10 pages à comprendre la question.  (même si je me suis plutôt positionné dans ton sens au début. big_smile )

 #223 - 06-06-2013 22:53:51

Vasimolo
Le pâtissier
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devinez l'aurre partie du domino !

Pour compléter le message précédent avec le sourire smile

Un sujet qui fait neuf pages ou plus est au choix , un problème très intéressant ,  polémique , mal posé , ...

Il est évident que je n'ai pas lu tous les messages car j'ai d'autres occupations . Les quelques demandes d'éclaircissement que j'ai pu formulé n'ont été suivies que de réponses énigmatiques  .

Tout ça n'empêche pas que je suis parfois mauvais lecteur et souvent de mauvaise foi lollollollol

Vasimolo

 #224 - 07-06-2013 00:26:38

titoufred
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Devinez l'autre partie du domino

Ta réponse n'est pas satisfaisante. On ne peut pas juste raisonner en termes d'ensembles comme tu le fais : cela n'explique pas tout ce qu'il y a à expliquer. D'ailleurs, l'animateur n'a pas forcément une stratégie déterminée à l'avance qui stipulerait par exemple "si je tire tel domino alors je montre cette moitié".

 #225 - 07-06-2013 11:39:31

Vasimolo
Le pâtissier
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fevinez l'autre partie du domino !

En fait si l'animateur a une stratégie aléatoire ça ne change rien smile

On note p(i,j) la probabilité que l’animateur choisisse la face i du domino (i,j) qu’il vient de tirer . La probabilité que le joueur devine la deuxième face en choisissant k est p(i,k) qui est toujours inférieure ou égale à p(i,i)=1 .

A moins que je fasse une erreur de logique élémentaire , ce qui n'est pas exclu smile

Vasimolo

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