Bonjour,

Pour n=3, je fais le raisonnement suivant: soit x la longueur du plus petit morceau, y la longueur du morceau intermédiaire et z la longueur du plus grand morceau.

x peut varier entre 0 et 1/3
Pour x=0, y peut varier dans l'intervalle [0 ; 0.5] et z dans [0.5 ; 1]
Pour x=0.1, y peut varier dans l'intervalle [0.1 ; 0.45] et z dans [0.45 ; 0.8]
Pour x=0.2, y peut varier dans l'intervalle [0.2 ; 0.4] et z dans [0.4 ; 0.6]
Pour x=0.3, y peut varier dans l'intervalle [0.3 ; 0.35] et z dans  [0.35 ; 0.4 ]
...................
On voit par exemple qu'il y a 4 fois plus de chances que x=0.2 que x=0.3, y variant dans un intervalle 4 fois plus grand pour x=0.2 (z étant fixé une fois que x et y fixés)
Pour x quelconque, y varie dans un intervalle de ((1-3x)/2]

J'en déduis la valeur moyenne de x en faisant la moyenne des valeurs prises par x pondérée par la longueur de l'intervalle y.

E[x] = {int[0->1/3] [x(1-3x)]} / {int[0->1/3](1-3x)} = 1/9
(je suis désolé mais je n'ai pas encore latex, je le téléchargerai....)

Pour n quelconque, ça devient vachement compliqué.....Même pour n=4.....c'est trop prise de tête, donc même si on veut démontrer le résultat par récurrence en utilisant les intégrales, c'est chaud.

Est-ce que vous pouvez commenter mon raisonnement ?

@Gulio : Bravo pour ta solution. Cependant, le problème est de savoir pourquoi la répartition de (x,y) dans le domaine [0;1/3]x[0;1/2] avec [latex]x \leq y \leq \frac{1-x}{2}[/latex] est uniforme. Je ne doute pas que ce soit le cas, mais il faut expliquer pourquoi.

PS : Pour utiliser Latex, il suffit de cliquer sur l'icône TEX.

@gwen : Bravo pour ta solution. Cependant, tu remplaces un modèle de tirage aléatoire (tirer 2 nombres dans [0;1]) par un autre (tirer un point dans un triangle). Le problème est alors de savoir si ces deux modèles sont équivalents. Je ne doute pas que ce soit le cas, mais il faut expliquer pourquoi.

Je ne comprends pas très bien ce que tu dis. Je te demande pourquoi la répartition de (Lmini, Lmoyen, Lmaxi) dans ton expérience aléatoire (je tire un point dans un triangle équilatéral de hauteur 1 et je regarde les distances aux bords) est identique à la répartition (Lmini, Lmoyen, Lmaxi) pour l'expérience aléatoire que je donne dans ce problème (je tire deux points dans [0;1] et je regarde les longueurs des morceaux). Ce n'est pas évident que ce soit le cas.

PS : on dit plutôt "centre de gravité" en Maths.

D'accord gwen, mais il faut prouver que ces 2 expériences aléatoires a priori bien différentes donnent les mêmes lois de probabilité pour Lmini. Ce qui n'est pas évident. Je crois bien que c'est vrai mais il faut voir pourquoi.

Avoir les mêmes intervalles ne suffit pas. Par exemple, si X est une v.a. ayant une loi de proba uniforme sur [0;1], alors X² est une v.a. dans [0;1] mais qui ne suit pas la même loi.

Regarde mon exemple du dessus. Il y a bijection entre X et X² mais ces 2 v.a. ne suivent pas la même loi.