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 #51 - 09-07-2013 19:40:55

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Somme eds angles d'un polygône

titoufred a écrit:

Mais je ne connais pas l'outil mathématique adapté. Il faudrait quelque chose à mi-chemin entre l'angle géométrique et l'angle orienté de deux vecteurs. On veut pouvoir parler d'angles positifs ou négatifs, mais l'on ne veut pas du modulo 360°.

Utilise les complexes smile

Je rappelle que si [latex]z=ae^{i\theta}[/latex] et [latex]z'=a'e^{i\theta'}[/latex] alors [latex]zz'=(a+a')e^{i(\theta+\theta')}[/latex] autrement multiplier deux complexes entre eux c'est faire une rotation.

Je rappelle aussi que :
Si [latex]z, a, b[/latex] sont trois nombres complexes affectés au point M, A et B (en suivant cet ordre) alors [latex]arg\left(\frac{z-a}{z-b}\right)=mes(\widehat{\vec{MB},\vec{MA}})[/latex]

PS : Je dis ça comme ça sans trop réfléchir mais à priori il n'y a pas de problème smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

#0 Pub

 #52 - 09-07-2013 19:44:02

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

somme des angles s'un polygône

Sinon on peut imaginé un élastique d'élasticité infini.

On plante deux piquets dans le plan, et l'on tend l'élastique entre ces deux piquets.
Pour l'instant on a une somme d'angle égale à zéro.

Maintenant on prend un nouveau piquets, on le passe dans l'élastique et l'on tend l'élastique pour obtenir un triangle, on a ainsi augmenté la somme des angles de 180.

Maintenant si l'on tend à nouveau l'élastique avec un nouveau piquet, on a deux cas : soit on part vers l'extérieur du triangle, soit on part vers l'intérieur du triangle. La preuve de Alexein41 montre que dans les deux cas on augmente la somme des angles de 180. On peut continuer à construire ainsi n'importe quel polygone (convexe ou non) en rajoutant des piquets, et chaque à rajouts de piquet, la somme des angles augmente de 180.

Comme le nombre de piquets est le nombre de sommet du polygone, et que l'on est parti au départ avec deux piquets, la somme des angles du polygone ainsi obtenu est (n-2) * 180.

En gros, problème qui se posait jusqu'à maintenant était de savoir s'il l'on pouvait toujours enlevé un piquet de manière à ce que quand l'élastique se tend, il ne crée pas de polygone croisé. Par construction, ce piquet existe, c'est le dernier qui à été utilisé.

Voilà, je ne sais pas si j'ai été très clair avec mon histoire d'élastique big_smile


Il y a sûrement plus simple.

 #53 - 09-07-2013 20:09:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4939

Somme des angles d'un polyggône

Il est vrai que de façon évidente on ne touche pas à la somme des angles du polygone en déplaçant un de ses sommets tant qu'on ne traverse pas bêtement un côté . On peut donc continûment transformer le polygone en un polygone régulier à n côtés avec les mêmes angles et le problème est résolu .

Tout ça n'est pas très formel mais absolument clair smile

Vasimolo

 

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