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 #1 - 01-03-2014 08:45:11

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

somme des angles d'un trizngle

Bonjour smile

En géométrie plane, la somme des angles d'un triangle est [latex]\pi[/latex] (180°) (non, pas Celsius lol)

En géométrie sphérique les choses sont différentes.

Sur une sphère, une droite est un "grand cercle" (i.e. un un cercle sur la sphère dont le centre est le même que le centre de la sphère.

En effet, par deux points sur la sphère passe une droite (un "grand cercle"), et le plus court chemin entre deux points est de suivre la trajectoire du plus petit arc du "grand cercle" qui relie ces deux points.

Maintenant si l'on place trois points A, B, et C sur la sphère alors les trois droites ("grands cercles") qui relient ces points forment un triangle.

Voici un exemple :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-sphere.png

Il se trouve qu'avec cette géométrie, la somme des angles d'un triangle est supérieure à [latex]\pi[/latex] (180°).

Question : quelle est la valeur limite (maximale) que peut atteindre la somme des angles d'un triangle sur une sphère ?



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Il y a sûrement plus simple.
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 #2 - 01-03-2014 09:18:56

vladimir37
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 503
Lieu: nantes

somme des anglrs d'un triangle

Je dirais 270 ° pour un triangle composé de trois angles droits.

 #3 - 01-03-2014 09:48:49

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Somme des angles d'un trriangle

Là, comme ça je dirais 540° si les 3 points tendent vers un même grand cercle.

Après, si tu considères que pour un triangle donné , le reste de la sphère est aussi un triangle, on va jusqu'à 900° big_smile

 #4 - 01-03-2014 11:08:00

NickBern
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 49

somme des angleq d'un triangle

Whaou, de la géométrie sphérique ? Je connaissais pas du tout cette représentation-là !

Du coup 'suis allé jeter un zoeil sur wikipédio, ça a l'air ouf tongue


Merci cogito pour cette découverte smile

 #5 - 01-03-2014 11:33:16

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Somme des angles d'un triangl

Je rectifie une petite erreur du moins ce qui me semble en être une, le plus court chemin sur une sphère n'est pas la ligne droite...

Et la somme des angles est maximale pour un triangle équilatéral c'est à dire dont la somme des angles vaut 270°

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 01-03-2014 11:35:17

fix33
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Devant un clavier depuis 1748

somme ses angles d'un triangle

Si A, B et C se trouvent sur le même grand cercle, ils forment un "triangle formé uniquement d'angles plats", soit 540° (3pi).
On ne peut de toute évidence faire mieux, sauf à vouloir mesurer des angles extérieurs (>180°).
En imaginant des points A', B' et C' très proches respectivement de A, B et C, situés sur le même hémisphère, on obtient un "vrai triangle non-euclidien", vrai dans le sens où les angles ne sont pas plats, et dont la somme des angles approche 540° (pas Celsius !).


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #7 - 01-03-2014 11:36:17

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
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Somme des angles d'unn triangle

Valeur limite  que peut atteindre la somme des angles d'un triangle sur une sphère :

                                                  3[latex]\pi[/latex]

Il suffit de placer les 3 sommets sur l'équateur ; c'est un cas limite, le triangle est dégénéré. Il y a une relation entre la surface S du triangle sphérique et la somme de ses angles.

                               somme des angles = [latex]\pi[/latex] + S / R^2

Si la surface est petite, l'angle est voisin de [latex]\pi[/latex].

 #8 - 01-03-2014 12:06:51

Jackv
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somme des angmes d'un triangle

C'est une bonne question, je te remercie de l'avoir posée smile .

Dans ton exemple, avec  le triangle ABC tournant dans le sens trigonométrique et en considérant que la surface se trouve à gauche de la limite, on obtient un peu plus de 180°.

Mais si on considère maintenant le triangle ACB avec les mêmes règles, la somme des angles peut tendre vers 900° ( 3 * 360° - 180°) quand les 3 points tendent vers un point unique.

 #9 - 01-03-2014 12:41:07

SabanSuresh
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Somme des angless d'un triangle

270° : Il suffit de tracer une droite (un "grand cercle"), puis une perpendiculaire à cette droite (un autre "grand cercle") et tracer la perpendiculaire aux deux droites.

 #10 - 01-03-2014 12:45:28

vladimir37
Expert de Prise2Tete
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Somme des angles d'unn triangle

Je crois que ce sujet a déjà été évoqué.
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=3194

 #11 - 01-03-2014 17:32:03

nodgim
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Somme des angles d'un tringle

Bon il y a mieux que 2Pi, mais en considérant le triangle dans un sens très large, à savoir 3 segments en ligne droite (sur la sphère):
On part de l'équateur et on rejoint le pôle Nord, on redescend à l'équateur presque au même point de départ, et on fait le tour de la terre sur l'équateur pour terminer le triangle. L'angle au Pôle est presque 2Pi et on ajoute 2 fois Pi/2 en tout ça fait 3*PI.

 #12 - 01-03-2014 18:11:13

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2708
Lieu: Luxembourg

Somme es angles d'un triangle

La somme des angles d'un triangle sur une sphère est comprise entre 180° (triangle de petite surface tendant vers zéro) et 540° (triangle sphérique occupant toute une demi-sphère).

 #13 - 02-03-2014 02:45:55

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Some des angles d'un triangle

gwen27, fix33, masab, nodgim et Franky1103 : c'est OK.

vladimir37, shadock et SabanSuresh vous pouvez mieux faire !

Jackv : MP

P.S: shadock, par "ligne droite" je veux dire grand cercle. C'est une des raisons pour lesquels les avions qui vont de la France aux États-Unis survolent le Groenland. Bien sur si tu prend une carte plane de la Terre et que tu trace un trait droit de la France aux États-Unis, tu n'obtiens pas le trajet le plus court.


Il y a sûrement plus simple.

 #14 - 02-03-2014 08:53:34

fmifmi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 87

Somme des anglees d'un triangle

bonjour

quand  je place 3 points sur une sphère, je détermine 2 triangles complémentaires qui recouvrent à eux deux toute la sphère.
Je choisis un triangle infiniment petit.La somme des angles vaut 180° et son triangle complémentaire aura pour somme de ses angles ( 3*360°-180°) soit
900°

 #15 - 02-03-2014 12:18:31

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Somm des angles d'un triangle

Deuxième proposition : 900°. C'est le cas d'un triangle équilatéral qui recouvre presque toute la sphère. En fait, elle vaut 3*360 - 180 = 900.

 #16 - 02-03-2014 22:37:40

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Somme des agnles d'un triangle

@àtous :Apparemment, comme me l'a fait remarquer gwen27, il y a un point que j'ai oublié de préciser dans l'énoncé : dans ma tête je partais du principe que les trois droites divisent la sphère en huit triangles (au lieu d'un triangle "intérieur" et d'un triangle "extérieur").

Donc du coup pour Jackv, fmifmi et SabanSuresh, ce n'est pas la valeur à laquelle je pensais. hmm


Il y a sûrement plus simple.

 #17 - 02-03-2014 22:53:49

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

somme des angles d'ub triangle

... mais c'est effectivement, et de loin, la plus grande lol lol lol .

 #18 - 03-03-2014 15:52:45

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Somme de sangles d'un triangle

La somme des angles d'un tel triangle doit être inférieur à 540°.

En augmentant les distance entre A, B et C, on s'éloigne de plus en plus de la géométrie plane et chaque angle augmente. le cas limite est celui où le triangle tend vers un cercle avec les 3 angles tendant vers 180°. Le cas du cercle étant à rejeter, la somme doit être inférieur à 3x180° = 540°.

Subsidiaire: les 3 droites composent 8 triangles et se coupent en 6 points. Ce qui fait un total de 6x360° répartis sur 8 triangles. On trouve donc la somme moyenne de (6x360°)/8 = 270°. Quand ABC augmente de taille, en même temps que le triangle opposé, les 6 autres triangles rétrécissent jusqu'à retomber dans le domaine de la géométrie plane. Les 6 petits triangles ont donc une somme des angles qui tend vers 180°. Afin de vérifier la moyenne, il faut que les 2 grands triangles aient une sommes des angles qui tende vers (8x270° - 6x180°)/2 = 540°.

 #19 - 03-03-2014 20:48:47

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

Sommme des angles d'un triangle

Bonjour,

On trouve des articles wiki traitant du sujet,

http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_des_ … n_triangle
http://fr.wikipedia.org/wiki/Trigonom%C … C3%A9rique

mais j'en ai retrouvé l'illustration par Jean-Pierre PETIT dans "Les aventures d'Anselme Lanturlu" = "LE GEOMETRICON" (ainsi que dans "LE TROU NOIR") dont je vous livre quelques extraits qui me paraissent à la fois originaux dans leur présentation et très clairs : (grâce lui en soit rendue)

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-courburesphere1.jpg

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-courburesphere12.JPG

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-courburesphere2.jpg


Je pense que l'illustration ci-dessus du triangle représentant 1/8 de sphère et donc la somme des angles vaut 270° correspond à la question posée, mais la généralité est :


http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-courburesphere312.jpg


Merci et à bientôt sur ce sujet passionnant ...

A+smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #20 - 03-03-2014 22:17:25

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Somme des angles d'un triagle

Un triangle plat sur une sphère totalise 360° peut-être? big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #21 - 03-03-2014 23:05:40

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Somme des angles dd'un triangle

Merci beaucoup NickoGecko pour cette explication et pour les références smile

Je m'excuse au près des P2tétiens et des P2tétiennes, mais lorsque j'ai posé le problème avec dans la tête une "mauvaise réponse" hmm.
Jusqu'à maintenant j'avais principalement deux réponses, celle à laquelle je pensais et puis l'autre (plus grande). J'attendais la fin du temps pour débattre sur le sujet, mais la réponse de NickoGecko a fini de me convaincre.

Donc du coup :

Un grand bravo à gwen27, Jackv, fmifmi SabanSuresh et NickoGecko.

Les autres, vous pouvez encore faire mieux ! big_smile
Encore une fois je m'excuse de vous avoir induit en erreur, je rajoute un peu de temps jusqu'à demain soir.

-----------------------
EDIT:

@shadock : Tu es encore loin du compte !!


Il y a sûrement plus simple.

 #22 - 04-03-2014 00:20:37

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

somme des angles d'un trianglz

Un triangle sur une demi-sphère soit au total 540°
360 pour le coté "équateur" plus deux fois 90 une fois vers le haut et une autre vers le bas !

Mieux que ça c'est possible? hmm

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #23 - 04-03-2014 04:23:05

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Somme des angles d'un rtiangle

Sans trop réfléchir, j'ai pensé que la réponse était 270°..
Mais en reflechissant un peu plus.. je pense que l'on peut s'approcher de 540° sans jamais l'obtenir.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #24 - 04-03-2014 09:58:33

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

somme des angles d'in triangle

540 était la réponse à laquelle je pensais, donc oui, effectivement on peut faire mieux !!

Pour ceux qui cherchent encore :
Spoiler : [Afficher le message] Il y a un gros indice dans ma remarque au poste 16.


Il y a sûrement plus simple.

 #25 - 04-03-2014 10:15:44

vladimir37
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 503
Lieu: nantes

Somme des angles d'n triangle

540= 3 X 180

Donc à chaque sommet du triangle , l'angle est plat.

Je suis curieux de voir la tête du triangle.

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