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 #1 - 30-06-2013 21:55:20

Nombrilist
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Somme ddes angles d'un polygône

La somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°, quel que soit le triangle. Pouvez-vous le démontrer ? Qu'en est-il d'un polygone à n côtés ?

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 #2 - 30-06-2013 22:13:56

shadock
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Somme des angls d'un polygône

La somme des angles d'un triangle fait 180° :
Démonstration :
Dans le triangle ABC, on a les angles orientés suivant :

(CA;CB) (AB;AC) et (BC;BA)
Donc d'après la relation de Chasles on a:
(CA;CB) + (AB;AC) + (BC;BA) = (AB;BA)
Les vecteurs AB et BA sont colinéaires et de sens opposés, donc  (AB;BA) = 180°

Pour le polygone, dans un polygone à n côtés il y a, à priori je ne suis pas sûr, n-2 triangles ayant un côté en commun a bah c'est logique en fait, si on dessine tout les triangles qui on en commun un des sommets du polygone alors forcément il reste deux côtés avec lesquels on ne peut former que des triangles plats (donc pas utiles ici) et il reste n-2 triangles.
Donc la somme des angles d'un polygone (du moins convexe) est égal à (n-2)*180°.

Shadock big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 30-06-2013 23:02:53

Franky1103
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Somme des angls d'un polygône

On arrive à démontrer géométriquement que la somme des angles d'un triangle vaut 180° en dessinant les parallélogrames "circonscrits".

Pour un polygone à n côtés, en partant des triangles associés, on arrive à une somme d'angles de: S = n.(180 - 360/n) = 180.n - 360 (pour n>2).

 #4 - 30-06-2013 23:06:26

Nombrilist
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somme fes angles d'un polygône

Deux bonnes réponses. La démonstration de Francky est succincte, mais on va dire qu'elle est juste wink

 #5 - 30-06-2013 23:32:38

Franky1103
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Somme des angles d'un ploygône

Complément plus détaillé
Je prend un point intérieur au polygone à n côtés et je dessine les n triangles associés en joignant ce point central aux n sommets.
Soient Ai les angles "centraux" de ces n triangles. La somme des angles Ai (i variant de 1 à n) vaut 360° (tour complet) et la somme des deux autres angles de chaque triangle vaut 180° - Ai.
Donc la somme des angles du polygone est la somme des (180° - Ai), ou encore la (somme des 180° - somme des Ai), soit 180.n - 360.

 #6 - 01-07-2013 07:09:34

gwen27
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Somme des angles d'un polygôe

(n-2)x180°

Vu qu'en partant d'un sommet on peut tracer n-2 traits vers un autre sommet non contigu, on définit n-2 triangle dont la somme des angles est 180°.

 #7 - 01-07-2013 10:27:00

SabanSuresh
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somme des anglzs d'un polygône

Je l'ai eu en D.S.T cette année et j'ai pu trouver la réponse mais ça m'a pris un peut de temps. Il faut en fait démontrer que la somme des angles d'un triangle est égal à un angle plat qui vaut deux angles droits et donc 2*90 = 180.

On trace un triangle quelconque ABC. On prolonge la droite AB on construisant un point E du côté de B. On construit la droite (BD) parallèle à (AC) passant par B. Puis on utilise deux propriétés :
- Les angles ACB et CBD sont alternes-internes par rapport aux deux droites parallèles et à la sécante (BC) donc ACB = CBD.
- Les angles BAC et DBE sont correspondants par rapport aux deux droites parallèles et à la sécante (AB) donc BAC = DBE.

L'angle ABE est un angle plat et ABE = ABC+CBD+DBE.
Or CBD=ACB et DBE=BAC donc ABE = ABC+ ACB+ BAC donc l'angle plat ABE vaut la somme des angles du triangle ABC.

Voilà. J'espère que j'aie été précis. Et aussi, il faut préciser sur une surface plane car sur une sphère la somme des angles d'un triangle est de 270°. Ça, c'était pour chipoter un peu. Je réfléchis pour le cas d'un polygone à n côtés.

Edit : J'ai trouvé ! En fait la somme des angles d'un polygone à n côtés vaut 180(n-2) car on peut y "loger" n-2 triangles délimités par des diagonales de ce polygone.

 #8 - 01-07-2013 11:32:03

Nombrilist
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Somme des angles d'un polygôen

Bonnes réponses de Gwen et SabanSuresh. Gwen, tu n'as pas répondu à la première question cependant.

Franky, c'était plutôt à la démonstration de la réponse à la première question que je pensais.

 #9 - 01-07-2013 12:20:34

Franky1103
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somme ses angles d'un polygône

Démonstration premier point
Soit le triangle ABC. Si je trace une parallèle au côté [BC] passant par le point A, ces
2 droites parallèles (coupées par la sécante) déterminent des angles alternes-internes qui forment ensemble un angle plat: CQFD.

 #10 - 01-07-2013 14:27:36

Promath-
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Somme des angles d'u polygône

Tu traces une parallèle à un côté qui passe par le sommet opposé. Ensuite tu as le théorème: Si deux droites parallèles sont coupées par une troisième droite, alors ces droites forment des angles alternes-internes de même mesure.

Donc les angles obtenus sont de mesure égale avec ceux du triangle, et ces trois sont supplémentaires. Donc la somme des trois angles d'un triangle est égale à 180.

Plus généralement, 180(n-2)

Et pour la mesure de chacun de ces angles, cela donne 180-(360/n)


Un promath- actif dans un forum actif

 #11 - 01-07-2013 18:07:42

Nombrilist
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somme des anglzs d'un polygône

Bonnes réponses de Franky et Promath !

 #12 - 01-07-2013 19:09:16

nodgim
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Somme des ngles d'un polygône

Il suffit de se dire que quand on a fait un tour complet, on a tourné de 2Pi. Et qu'a chaque sommet d' angle interne a, si le polygone est convexe, on tourne de Pi-a.
A partir de là, on peut tout calculer. ..

 #13 - 01-07-2013 23:33:16

cogito
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Somme des angles d'un polygôône

Théorème 1 : Si une droite coupe deux droites parallèles, alors elle forme des angles alterné égaux.

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-prll.png

Dans la figure ci-dessus, on veut montrer que l'angle [latex]\widehat{AGH} =\widehat{GHD}[/latex]

Si [latex]\widehat{AGH} < \widehat{GHD}[/latex] alors on a :
[TeX]\widehat{AGH} + \widehat{GHC} < \widehat{GHD} + \widehat{GHC} =180°[/TeX]
Or d'après le cinquième postulat d'euclide (si une droite coupe deux autres droites alors ces deux dernières droite se rencontre du côté où la somme des angles formés avec la troisième droite est inférieure à 180° ("deux droits")) cela
signifie que (AB) et (CD) se coupent, cela contredit l'hypothèse qu'elle sont parallèles.


Le théorème 1 n'utilisant pas le fait que la somme des angles d'un triangle est
égal à deux droits, je peux l'utilisé :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-tri.png


Dans la figure ci-dessus, d'après le théorème 1 on a :
[TeX]\widehat{AGH} = \widehat{GHD}[/latex] et
[latex]\widehat{GAH} = \widehat{AHC}[/TeX]
Donc [latex]\widehat{AGH} +\widehat{GAH} + \widehat{GHA} = \widehat{GHD} +\widehat{GHA} +\widehat{AHC} = 180°[/latex]

Je n'ai pas beaucoup de mérite, j'ai été feuilleté quelques pages de ce livre.
Si vous arrivez un peu à lire l'ancien français c'est très intéressant :
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6 … .f3.langFR


Il y a sûrement plus simple.

 #14 - 02-07-2013 00:23:12

dylasse
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somme des abgles d'un polygône

Appelons S(n) la somme des angles d'un polygone à n coté.

Dans un polygone à n cotés, on choisit un angle <180° (il y en a un, sinon, le polygone possède une drôle de tête... euh... je sais l'argument est maigre !), correspondant au sommet Q.

On relie ensemble les 2 sommets (P et R) voisins du précédents, on obtient un polygone de somme d'angle S(n-1). Le triangle PQR a une somme d'angle égale à 180° et on a donc la relation S(n)=S(n-1)+180

Cette relation de récurrence nous conduit à S(n) = 180 (n-2), valable pour n>=3.

 #15 - 02-07-2013 11:07:26

Alexein41
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Somme des angles d'un polygôn

J'ai la flemme de faire des figures. big_smile Ce sera donc vite fait sur Paint !

Question 1 : le triangle

Soit ABC un triangle quelconque (on évite le plat). Je trace la parallèle à (BC) passant par A. J'appelle (d) cette parallèle.

Je m'intéresse maintenant à (d). (d) partitionne le plan en deux demi-plans dont l'un contient le triangle ABC au sens large. Intéressons-nous à ce demi-plan et oublions l'autre.

Dans le cas où le triangle ABC est aigu ou rectangle en A.

http://www.prise2tete.fr/upload/Alexein41-Triangle.png
N'est-il pas beau ?

J'appelle x "l'extrémité" de (d) telle que l'angle BAx soit aigu, et j'appelle x' l'autre extrémité de (d).

Ainsi, les angles xAB et CBA sont alternes-internes.
En outre, les angles x'AC et ACB sont alternes-internes.

On a donc : BAC + ACB + CBA = BAC + x'AC + xAB (les quantités additionnées sont des angles non orientés).

Or, BAC + x'AC + xAB = x'Ax = 180°

Donc BAC + ACB + CBA = la somme des angles d'un triangle = 180°

Dans le cas où le triangle ABC est obtus.

Je conserve les mêmes notations pour x et x'.

Cette fois-ci, on a : xAC = ACB et x'AB = ABC. Avec le même raisonnement, on retrouve la propriété à démontrer.

Dans le cas où le triangle ABC est rectangle en B (en C).

J'appelle x' l'extrémité de (d) telle que x'AC est aigu.

Si ABC rectangle en C : J'appelle x l'extrémité de (d) telle que xAB aigu.

Même raisonnement, la propriété est démontrée.



Question 2 : la somme des angles d'un polygones à n côtés.

J'appelle A(n) la somme des angles d'un polygone à n côtés en degrés.

Et là, ça se corse... Je me rends compte que définir un A(n) en général pour un polygone quelconque à n côtés n'est pas valide, puisqu'il existe des polygones croisés qui sont donc particulièrement embêtants. En plus la manière dont la question est posée inviterait à y réfléchir... sad (enfin j'espère mal comprendre big_smile)

Bref, pour l'instant, définissons A(n) seulement pour les polygones non croisés.

A(3) = 180 ; et, au vu de la valeur des sommes des angles d'un carré, d'un pentagone régulier et d'un hexagone régulier, je suppose que :

A(n) = 180(n-2) pour n supérieur ou égal à 3.

Pour un polygone convexe à n+1 côtés :

Soient A, B et C trois sommets consécutifs de ce polygone. Les arêtes [AB] et [BC] sont donc tracées.

Je trace l'arête [AC]. J'ai donc d'un côté un polygône à n côtés, et de l'autre, un triangle ABC. Les deux figures ont pour côté commun [AC].

http://www.prise2tete.fr/upload/Alexein41-Polygone1.png
Ce polygone noir est à (n+1) côtés, oui oui oui.

L'hypothèse de récurrence est : A(n) = 180(n-2).

En outre, A(3) = 180 (question 1).

A(n+1) = A(n) + A(3) (on pourrait le détailler en prenant sur la figure les sommets voisins de A et C (autres que B) et en faisant un calcul d'angles).

D'où A(n+1) = 180(n-1). Par récurrence, propriété démontrée !

Pour un polygone non convexe :

Je prends un polygone à n côtés que j'appelle Pn. Il est quelconque mais, bien sûr, pas croisé.

Je suppose qu'il a au minimum 4 points, le cas triangle ayant été traité.

J'appelle S1, S2, S3, S4, ..., Sn les n sommets du polygone Pn. (n étant supérieur ou égal à 4, il est possible d'avoir en fait Sn = S4)

Enfin, je suppose sur Pn que [S1S3] n'appartient pas au polygone Pn. Pn est donc non convexe (problème "en S2").

Je prends un point T dans le plan tel que :
- le polygone S1.T.S3.S4...Sn.S1 soit non croisé ;
- T n'appartienne pas à [S1S3] ;
- la diagonale [S1S3] appartienne au polygone S1.T.S3.S4...Sn.S1.

http://www.prise2tete.fr/upload/Alexein41-Polygone2.png
Bon là, ça fait polygone à n côtés, non ??

Soit Qn le polygone S1.T.S3.S4...Sn.S1. Qn est peut-être encore non convexe, mais ce ne sera pas "en T".

Mon objectif est de montrer que la somme des angles du polygone Pn est la même que la somme des angles du polygone Qn.
C'est équivalent à montrer l'égalité sur ces sommes d'angles :
SnS1S2 + S1S2S3 + S2S3S4 = SnS1T + S1TS3 + TS3S4 (1) .
Montrons donc (1).

On notera bien qu'on parle d'angles du polygone. Ils peuvent être supérieurs à 180° car on prend les angles intérieurs au polygone. Dans la suite, les angles écrits seront des angles intérieurs à leurs polygones.

L'angle S1S2S3 est donc supérieur à 180° et vaut S1S2S3 = 360° - b.

Le quadrilatère S1.T.S3.S2 est, par construction, convexe donc la somme de ses angles vaut 360° (démontré plus haut).
Or, puisque le quadrilatère S1.T.S3.S2 est non croisé on a donc aussi :
360° - b = S2S1T + S1TS3 + TS3S2. Donc :
S1S2S3 = S2S1T + S1TS3 + TS3S2 (2)

On calcule le membre gauche de l'égalité à démontrer (1) en utilisant (2) :

SnS1S2 + S1S2S3 + S2S3S4 = SnS1S2 + S2S1T + S1TS3 + TS3S2 + S2S3S4
Les termes soulignés vont ensemble :
SnS1S2 + S1S2S3 + S2S3S4 = SnS1T + S1TS3 + TS3S4

(1) est donc montré.

Ainsi : en prenant P'n un polygone non convexe quelconque à n côtés, il est toujours possible de montrer que la somme de ses angles est égale à celle d'un polygone convexe à n côtés (par transformations successives, en faisant intervenir plusieurs points T. Remarquez que les valeurs de SnS1S2 et S2S3S4 peuvent être quelconques, Pn aurait très bien pu être non convexe "en S1" ou "en S3").


Donc, pour tout polygone non croisé à n côtés, la somme de ses angles vaut toujours 180(n-2) degrés.


Ouf ! lol

Et pour les polygones croisés, on verra !

Alexein41

 #16 - 02-07-2013 19:28:00

Nombrilist
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Somme des angles d'un polyggône

Bonnes réponses de Cogito et de Dylasse. Réponse courte mais admissible de nodgim à la question 1.

Alexein, avec ton pavé, tu as réussi à me faire douter de ma réponse lol
Non, plus sérieusement, tu as tout à fait raison de pointer du doigt que les polygones peuvent être concave, convexe... ou croisés. Bon le cas croisé, on l'oublie lol
Pour le reste, pour le cas convexe, c'est bon, bien sur. Pour le cas non convexe, j'atteins ma limite, mais je suppose que c'est bon aussi. smile

 #17 - 02-07-2013 21:42:17

cogito
Expert de Prise2Tete
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somme dzs angles d'un polygône

Pardon, j'avais oublié le cas général smile :

Pour un polygone à n coté la somme des angles est (n - 2) * 180.
Pour s'en rendre compte on peut relié un sommet à tous les autres, et on voit apparaître (n - 2) triangles et la somme des angles de ces (n-2) triangles est
la somme des angles du polygone .


Il y a sûrement plus simple.

 #18 - 03-07-2013 15:26:25

Alexein41
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somme des angles d'yn polygône

Oui, j'ai une passion pour les pavés big_smile De toute façon, je m'attends à trouver plus court bien sûr.
Pour le cas non convexe, j'espère avoir été rigoureux, j'ai essayé du moins ! Mais c'était chouette à chercher ! smile

 #19 - 03-07-2013 15:41:00

Nombrilist
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Somm edes angles d'un polygône

Bonne réponse de Cogito !

 #20 - 03-07-2013 19:08:11

nodgim
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somme des angles d'un pilygône

Bon je complète mon 1er message plus que laconique.
Pour n cotés d'un polygone convexe, les angles intérieurs a1,a2..an mis tous bout à bout sont tels que
2Pi=(Pi-a1)+(Pi-a2)+.....(Pi-an)
Somme a(1 à n)=(n-2)Pi.

On peut aussi donner une solution pour les polygones non convexes, à condition de donner une valeur algébrique aux angles(+ quand on tourne dans un sens et - dans l'autre) mais ça n'a pas beaucoup d'intérêt.

 #21 - 04-07-2013 10:13:43

cogito
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Somme des anglees d'un polygône

Pour le cas des polygones croisés, on doit pouvoir faire par récurrence :

Pour un quadrilatère croisé on obtient une forme avec deux triangles (comme les deux ailes d'un papillon), donc la somme des angles est 2 * 180.

Si on a un polygone croisé à n côtés, alors aux croisement on peut "coupé" ce polygone pour obtenir deux polygones : un avec k côtés l'autre avec n - k + 2 côtés.

Comme ce sont des polygones avec un nombre plus petit que n de côtés, on peut appliquer l'hypothèse de récurrence sur chacun de ces polygones.

Donc la somme des angles du polygone à k côtés est (k-2) * 180 et la somme des angles de l'autre polygone est (n-k+2-2) * 180 = (n-k) * 180.

Ainsi la somme des angles du polygone à n côtés est :
(n - k) * 180 + (k - 2) * 180 = (n - 2) * 180.

Donc finalement le théorème est vrais aussi pour les polygones croisés.


Il y a sûrement plus simple.

 #22 - 04-07-2013 10:18:52

Nombrilist
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Smme des angles d'un polygône

Pour un quadrilatère croisé type noeud papillon, les 4 angles sont aigus. Donc, leur somme est inférieure à 360°. Donc, le théorème ne s'applique pas à ces quadrilatères. Sauf si j'ai loupé un truc lol

 #23 - 04-07-2013 10:25:52

Alexein41
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Sommme des angles d'un polygône

Sauf qu'il y a une ambiguïté dans la définition d'un angle d'un polygone croisé !

Par exemple, si je prends le quadrilatère croisé suivant :

http://www.prise2tete.fr/upload/Alexein41-Poly_croise.png

Faut-il comprendre par "somme des angles" la somme des angles en rouge ou la somme des angles en rouge ET en vert ?

Un angle d'un polygone étant délimité par deux côtés consécutifs, il me semblerait plus naturel de ne considérer que les angles en rouge...

EDIT : Nombrilist m'a devancé ! Enfin, les angles ne sont pas tous nécessairement aigus !

http://www.prise2tete.fr/upload/Alexein41-Poly_croise2.png

 #24 - 04-07-2013 10:28:50

cogito
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Sommme des angles d'un polygône

Oui !! Pardon, j'ai compté les angles à l'intersection comme étant des angles du polygone. big_smile

Donc finalement pour un polygone croisé c'est
(n-2) * 180 - (somme des angles aux croisements)

malheureusement on ne peut pas deviné cette dernière somme sad


Il y a sûrement plus simple.

 #25 - 04-07-2013 15:47:51

titoufred
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sommz des angles d'un polygône

shadock a écrit:

La somme des angles d'un triangle fait 180° :
Démonstration :
Dans le triangle ABC, on a les angles orientés suivant :

(CA;CB) (AB;AC) et (BC;BA)
Donc d'après la relation de Chasles on a:
(CA;CB) + (AB;AC) + (BC;BA) = (AB;BA)
Les vecteurs AB et BA sont colinéaires et de sens opposés, donc  (AB;BA) = 180°

Cette démonstration n'est pas complète, car en raisonnant avec des angles orientés et non des angles géométriques, le résultat obtenu l'est modulo 360°.

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(2) — Calcul d`un polygone quelconque (2) — (2) — Pourquoi la somme des mesures des quatres angles d un quadrilatere est toujours egale a 360 degre (2) — Comment justifier que trois triangle sont egal a 180 degres (2) — Montrer total angle de tringle egale 180 degree (2) — Polygone a 22 cotes (2) — Angles d un quadrilatere quelconque (2) — (2) — (2) — Somme des angles polygone chasles (2) — Prouver que la somme des angles triangle vaut pi (2) — Somme angle polygone (2) — Demonstration par recurrence somme des angles (2) — (2) — (1) — (n-2)angles plats (1) — La somme des angles du triangle vaut 180 degres et l angle plat vaut egalement 180 (1) — (1) — Dans un triangle la somme des angles ne peut etre superieur a 180 (1) — Parallele coupe par une droite degre des angles (1) — Somme angles parallelogrames (1) — Enigme sur les angles (1) — Mesure des angles d un polygone a 20 cotes (1) — Somme des angles d un polygone a 2014 cotes (1) — Quadrilatere croise papillon cercle (1) — (1) — Somme des mesures des angles d un polygone a 2010 cotes (1) — Montrer par recurrence que la somme des angles dans un polygone convexe a n sommets (1) — Calculs angles orientes sur pentagone irregulier (1) — Prouver que la somme des angles d un quadrilatere vaut 360? (1) — Triangles croises mesure des angles (1) — Demontrer somme des angles du triangle fait 180 (1) — Demonstration pour calculer la somme des angles d un quadrilatere (1) — Quelle est la somme des mesures des angles d un polygone a 2010 cotes ? (1) — Pourquoi un triangle vaut toujour 180 degre? (1) — (n-2)&#928; poligone demonstration (1) — La somme des angles interieur d un triangle egale 25 droit.quel est l nom de ce polygone? (1) — Pourquoi la somme de 3 angles angles vaut 180 (1) — (1) — Demontrer somme angles pentagone 540 (1) — Comment demontrer que la somme des angles orientes dans un triangles donnent pie? (1) — 2 pi t pi 6 k2pi horloge (1) — Combien vaut la somme des mesures des angles d un polygone a 2014 cotes (1) — (1) — Demonstration somme des angles d un quadrilatere (1) — Demonstration que la somme des angles d un pentagone (1) — Montrer que la somme des 3 angles a+b+c d un triangle rectangle sont egale a pi (1) — Solution de l enigme somme des angles (1) — (n-1)pie somme des angles interieurs (1) — Demontrer un pentagone avec des triangles (1) — Somme d un pentagone convexe (1) — La somme des angles dun carre vaut (1) — Vous pouvez faire une recherche sur la somme des angles d un quadrilatere non croise (1) — (1) — Comment calculer la somme de plusieurs angles (1) — (1) — Demonstration somme des angles pentagone (1) — Mesure d un angle a 2010 cotes (1) — Demontrer que la somme des angles de vecteurs dans le triangle abc = pi modulo 2 pi (1) — (1) — Calculer angle quadrilatere regulier (1) — Somme des angles interieurs d un polygone regulier a n cotes preuve (1) — Justifier que la somme des angles d un pentagone est egal a 540 degres (1) — Exercices somme d angles interieurs de polygones (1) — Prouver que les angles d un pentagone (1) — Quel est la somme des mesures des angles d un polygone a 2010 (1) — Demontrer par recurrence que la somme en degres des angles d un polygone convexe a n cotes est egale a 180(n-2) (1) — (1) — Quel est la somme des mesures des angle d un polygone a 4 cotes (1) — Comment calculer les angles d un quadrilatere papillon (1) — Somme des somme d un polygone demonstration (1) — Comment prouver qu un angle 32 degres (1) — Formule pour les angles internes orientes d un polygone croise (1) — Que vaut la somme des angles d un parallelogramme (1) — Que vaut la somme des mesures des 4 angles d?un quadrilatere (1) — Donner en fonction de n la somme des angles d un polygone non croise a n cotes (1) — Quadrilatere croise propriete (1) — Demonstration sur la propriete que la sommets des 3 angles interieurs est 180degre (1) — Montrons que dans un triangle rectangle la somme des angles est egale a pi (1) — La somme de la mesure des angles interieur d un pentagone est toujours de (1) — La somme des angles dans un triangle vaut toujours 180 degres (1) — Combien d angle obtus a un pentagone (1) — Quel est la somme des angles dun polygone a 2010 cotes (1) — Savoir la somme des angles d un polygone de tete (1) — Montre que la mesure en degres de ses angles est 180 (1) — Angles egaux d un quadrilatere croise (1) — Appelation d angle qui egale 270 degre (1) — (1) — Trouver la fonction polygonne avec un sommet s(3 (1) — Existe t il une logique pour tout les polygone (1) — Expliquer pourquoi la somme des angles vaut 180 degres (1) — Nom de deux angles dont la somme des mesures est 180degres (1) — (1) — Demontrez par recurrence que la somme des mesures des angles d un polygone convexe de n cotes(n>3) est egale a (n-2) rafians (1) — Somme des angles de forme quelconque (1) — (1) — Somme troangle enigme (1) — Demontrer que la somme des mesures des angles d un polygone (1) — Demontrer que la somme des angles est pi dans un triangle (1) — Demontrer que la somme des angles d un polygone est 540 (1) — Montrer somme des angles pentagone 540 (1) — (n-2) 180 est de quelle theoreme (1) — La somme des angles d un quadrilatere est elle toujours la meme? (1) — Cote heptagone (1) — Polygone convexe (n-2)pi (1) — Somme angles quadrilatere croise? (1) — Quelle est la somme des 1000 angles d un polugone a 1000 cotes (1) — Comment trouver la somme des angles interieure d un polygone (1) — Je sais qu un hexagone (1) — Somme des angles d un quadrilatere croise (1) — Demontrer que la mesure d un angle n est pas bonne (1) — Je vous la somme des angles d un quadrilatere quelconque (1) — En utilisant la proprite sur la somme des angles d un triangle demontrer que la somme des angles d un quadrilatere vaut 360 (1) — Demontre que la somme des mesures des angles orientes d un triangle est egale a 1 (1) — Est ce que dans un octogone la somme des angle interiei-ur font toujour 360 (1) — Calculer la somme des angles d un polygone avec 1000 cotes (1) — Pk les angle d un quadrilatere vaut 360 (1) — Justification somme des angles pentagone (1) — Demontrer la somme des mesures des angles d un triangle (1) — Enigmes polygone (1) — Mesure en degres de la somme des angles d un triangle (1) — Comment calculer un angle dans un triangle en noeud papillon (1) — Prouver que la somme des angles d un pentagone est de 540 degres (1) — Demonstration de la propriete suivante la somme des angles d un triangle est egale a 180 degre (1) — La somme des mesures des angles d un polygone a 2010 (1) — (1) — Somme des angles par rapport au cote (1) — Demontrer la somme des angles d un pentagone convexe est egale a 540 (1) — Je suis un quadrilatere. j ai trois angles aigus et un angle obtus (1) — Preuve pare recurrence de la somme des mesures des angles d un polygones convexes (1) — Triangle rectangle avec cotes polygone regulier (1) — Quel est la somme d4un polygone a 2014 cotes (1) — Puisque la somme des angles d un triangle est de 180 degres et que la somme des angles d un quadrilatere est de 360 existe-t il un rapport ou une logique avec les autres polygone regulier (1) — Somme des angles d un hexagone (1) — Pentagone regulier somme des angles (1) — Je suis un polygone j ai 3 angles aigus (1) — Existe t il un triangle abc non aplati tel que ( ab;ac) = (ba;bc) + k2pi ? justifier. (1) — Preuve somme des angles triangle180 (1) — Demontrer que les angles d un triangle egale pi (1) — La somme des angles d un quadrilatere croise (1) — Calculer angle triangle croise (1) — Que vaut la somme des mesure des 4 angle d un quadrilatere? (1) — Comment calculer la somme des mesures des angle d un hexagone? (1) — Demonstration angle polygone (1) — Monter que un pentagone a 540 degre (1) — Somme des mesures des angles orientes et quadrilatere (1) — Pourquoi (n-2) x 180 = somme des angles interieurs (1) — Somme angle polygone convexe (1) — Prouve que la somme d un pentagone fait 540 (1) — Comment calculer la somme des mesures des angle d in hexagone? (1) — Polygone n cotes recurrence somme des angles (1) — Calcul des angles d un polygone de 2010 cote (1) — La somme des angles orientes d un quadrilatere (1) — Pourquoi mesure des angles vaut (n-2)pi (1) — La somme des hexagones convexe est egale a 270 degre (1) — Comment meusurer les angles alternes internes d un pentagone (1) — Somme des angles d un pentagone convexe (1) — Calculer les angles d un quadrilatere convexe (1) — Propriete sommes des angles d un polygone (1) — Mesure des angles d un quadrilatere quelconque (1) — Un angle plat n est-il pas une ligne? (1) — La somme des angles d un quadrilatere est (n-2) est (1) — Demontrer que la somme des angles d un triangle vaut pi (1) — Demonstration somme des angles d un triangle egal ? (1) — Totol somme angle pentagone (1) — (n-2)x180 justification (1) — (1) — Pourquoi on enleve la somme des angles de 2 triangles dans le calcul de la somme des angles d un pentagone (1) — Le total des degres d un septagone (1) — (1) — (1) — Enigme 1) existe t-il un angle aigu (1) — (1) — Geometrie figure polygone (1) — La somme de tous les angles d un triangle d un carre (1) — Triangle la somme des trois angles fait plus de 180 degres (1) — Recherche d angle dans un polygone (1) — Polygone enigmes (1) — Quel est la somme des angles d un polygone a 2010 cote (1) — Les angles alternes internes et les anglees correspondants (1) — Demontrer somme des angles d un hexagone (1) — Expliquer que la somme des angle d un pentagone est egal a 540? (1) — Mesures des angles d un polygone egale a 180 - (360/n) (1) — Comment demontrer la somme des anggles dun polygone egale a 360 (1) — Angle parallelogramme pi (1) — Existe t il un triangle abc non aplati tel que ( ab;ac) = (ba;bc) + k2pi ? (1) — Enigme angle d -horloge (1) — Demontrer que la somme des angles d&#39;un triangle vaut pi (1) — Somme des amplitudes qes angles interieurs d un pentagone (1) — (1) — Amplitude quadrilatere concave (1) — Formule pour tourner un polygone en degres (1) — Comment construire un polygone non croise (1) — Retablissez les rapport des angles dont la somme 270 vaux 270. (1) — Demonstration angles oriente quadrilatere (1) — Figure d un polygone (1) — Determiner la somme des mesures des angles d un quadrilatere (1) — Justification somme des angles d un triangle 180degres (1) — Pourquoi les anles internes d un pentagone font 360 (1) — Polygone quelconque ou irregulier (1) — (1) — Quelque soit le triangle la somme de ses angles est egale a (1) — Calcul des angles dans un triangle papillon (1) — (1) — Somme des angle de chaque polygone regulier (1) — (1) — Poligone 5 a 12 cotes (1) — Propriete des quadrilatere croise (1) — Polygone non croise angle de (1) — S=(n-2)*180 demonstration (1) — Justifier que dans un pentagone la.somme totale des 5 angles vaut 540 degre (1) — Quadrilatere noeud papillon (1) — Demontrer la prpriete sur la somme des angles d un triangle (1) — La somme des angles interieures d un quadrilatere vaut combien de degres? (1) — Somme des angles d un triangle couper (1) — Pentagone convexe quelconque (1) — Angles orientes dans un pentagone (1) —

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