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 #1 - 15-02-2010 10:00:30

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Une petite smme

Quels sont les 2 derniers chiffres de ces sommes
1) [latex]1^2+2^2+3^2+4^2+.....+2008^2+2009^2+2010^2[/latex]
2) [latex]1^2-2^2+3^2-4^2+.....-2008^2+2009^2-2010^2[/latex]
3) [latex]1^3+2^3+3^3+4^3+.....+2008^3+2009^3+2010^3[/latex]



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 #2 - 15-02-2010 10:46:22

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 172

unr petite somme

85 pour la première,
55 pour la deuxième,
25 pour la troisième.

 #3 - 15-02-2010 12:33:19

ganimah
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 94

Une petite ssomme

pour le 1, les deux dernier chiffres de la somme des 2010emes premiers carrés sont 85. facile en connaissant la formule de la somme des n premiers carrés
n*(n+1)*(2n+1)/6

Pour le 3 c'est 25 car la somme des n premiers cubes est (n*(n+1)/2)²
big_smile
Mais pour le 2, alors là, aucune idée pour le moment

ça y est, j'ai trouvé smile ça revient au même que de calculer la somme des n premiers carrés impairs moin la somme de n premiers carrés pairs
Soit (n*(2n-1)*(2n+1)/3)-(2n*(n+1)*(2n+1)/3)
Les deux derniers chiffres sont donc 55

 #4 - 15-02-2010 13:04:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

une petite somle

Première somme : je constate que [latex](10x+a)^2 = 100x^2 + 20 a x + a^2[/latex]. Si je somme sur dix termes consécutifs :
[TeX]\begin{align} \sum_{a=1}^{10} (10x+a)^2 &= 1000x^2 + 20 x \sum_{a=1}^{10} a + \sum_{a=1}^{10} a^2 \\
&= 100 \times \left( 10x^2 + 11 x \right) + \sum_{a=1}^{10} a^2
\end{align}[/TeX]
Je peux appliquer ça à [latex](11+12+13+...+20)[/latex], à [latex](21+22+...+30)[/latex], etc. jusqu'à [latex](2001+...+2010)[/latex], et en déduire que les deux derniers chiffres de la grande somme sont les deux derniers chiffres de [latex]201 \times \sum_{a=1}^{10} a^2[/latex].
[TeX]\sum_{a=1}^{10} a^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385[/latex] donc [latex]201 \times \sum_{a=1}^{10} a^2 = 8085[/latex] donc la somme que tu nous proposes se termine par les deux chiffres 85.



Deuxième somme : selon le même principe :

[latex]\begin{align} \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} (10x+a)^2 &= \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} 20 ax + \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} a^2 \\
&= -100 x + \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} a^2
\end{align}[/TeX]
Pour la simplification de la formule : [latex]\sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} a = (1 - 2) + (3 - 4) + ... + (9 - 10) = - 5[/latex]

Donc la somme se termine par les mêmes chiffres que [latex]201 \times \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} a^2[/latex] et on calcule cette somme à la main pour conclure : [latex]201 \times (-55) = - 11055[/latex] donc la somme se termine par les chiffres 55.



Troisième somme : [latex](10x+a)^3 = 1000x^3 + 300 a x^2 + 30 a^2 x + a^3[/latex] donc :
[TeX]\begin{align} \sum_{a=1}^{10} (10x+a)^3 &= 10000x^3 + 300 x^2 \sum_{a=1}^{10} a + 30 x \sum_{a=1}^{10} a^2 + \sum_{a=1}^{10} a^3 \\
&= 10000x^3 + 16500 x^2 + 11550 x + 3025
\end{align}[/TeX]
Donc cette "petite somme" se termine comme [latex]50 x + 25[/latex] (vu qu'on ne regarde que les deux derniers chiffres). Quand on fera la grande somme, x vaudra 0, 1, 2, 3, ... , 200 successivement, et la somme des entiers de 0 à 200 est un nombre pair, donc la somme des [latex]50x[/latex] sera divisible par 100, donc la somme (3) se termine comme [latex]201 \times 25 = 5025[/latex]. Donc la somme se termine par 25.



Je résume :

Les deux derniers chiffres de la somme (1) sont 85.
Les deux derniers chiffres de la somme (2) sont 55.
Les deux derniers chiffres de la somme (3) sont 25.

Si mes calculs sont bons... Je veux bien un MP pour confirmer ou infirmer roll


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 15-02-2010 13:13:18

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

une petitz somme

1) [latex]\sum_{i=1}^{n}{i^2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/latex]
Donc 2010*2011*4021 / 6 = 2708887385 => finit par 5


2)[latex] i^2 - (i+1)^2 = -i -(i+1)[/latex]
Donc, pour n pair, on a, en groupant les termes 2 à 2:
[TeX]\sum_{i=1}^{n}{(-1)^{i+1}i^2} = \frac{-n(n+1)}{2}[/TeX]
Donc -2010*2011/2 = -2021055 => finit par 5



3) [latex]\sum_{i=1}^{n}{i^3} = (\frac{n(n+1)}{2})^2[/latex]
Donc 2021055*2021055 = 4084663313025 => finit par 5

 #6 - 15-02-2010 13:29:06

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Une petite ssomme

1) on peut decomposer cette series en 201 series de 10 sommes:
la premiere serie etant: 1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=385
la deuxieme serie est
(10+1)^2+(10+2)^2..... = premiere serie plus 1000+55*2*100 = 385+2100.
(121+144+169+196+225+256+289+324+361+400=2485)
chaque somme suivante est egal a la precedente plus 2100.
On a donc 201 series de sommes qui finissent par 85.
je conclus que la premiere suite se finit par 201*85 soit se finit par 85.

2) de meme on a 201 series de suites dont la somme est negative et  se terminent par 55.. donc la somme est negative et se termine par 55.

3) pas le temps de faire de calculs...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 15-02-2010 14:25:04

gelule
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 778

Une pteite somme

si je ne me suis pas trompé ça doit donner ça:(j'ai pas le temps de vérifier)
1- 85
2- 55
3- 25
remarque: il fut un temps ou on apprenait à rechercher le résultat avec un papier et un crayon,c'était du niveau 1ere ou terminale, à présent ça va plus vite de rechercher les formules sur google et c'est moins p2t

 #8 - 15-02-2010 15:22:16

lefredj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 115

Une petite some

1) Ce qui compte, c'est les 2 derniers chiffre de la somme
[TeX]
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2 = 385
[/TeX]
car
[TeX]
(n*10 + x)^2 = 100*n^2 + 20*n*x + x^2
[/TeX]
et quand on fait la somme pour x allant de 0 à 9, on trouve
[TeX]
100*(une certaine somme) +
n*20*(1+2+3+4+5+6+7+8+9) +
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2
[/TeX]
avec  [latex]20*(1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 900[/latex]


Les deux derniers chiffres de la somme proposée sont donc les deux derniers chiffres de 85*201 (car ça va de 000x,..., 200x)
soit:

85

Pour les autres questions, à quelques subtilités près, c'est la même chose:
2) 45
3) 25

 #9 - 16-02-2010 03:30:31

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

Une peitte somme

Bonjour,

Je suppose que les termes de la somme 1) doivent plutôt se lire à la puissance 1


S1 =  somme des entiers de 1 à 2010
Soit S1' = somme des entiers de 1 à 10
Les deux derniers chiffres de S1 correspondent à ceux de 201 fois S1', et seront donc les mêmes.

La somme des entiers de 1 à n est n*(n+1)/2
S1' = 55
Les deux derniers chiffres de S1 sont 55
Mode "bourrin on" : S1 = 2021055


S2 =  somme des carrés des termes de 1 à 2010
Soit S2' =  somme des carrés des termes de 1 à 10

La somme des carrés des termes de 1 à n est n(n+1)(2n+1)/6
S2' = 385
Les deux derniers chiffres de S2 seront 85
Mode "bourrin on" : S2 = 2708887385

S3 =  somme des 2010 premiers cubes
S3' =  somme des 10 premiers cubes
La somme des cubes des termes de 1 à n est n²(n+1)²/4
(et aussi (1+2+....+n)²)

S3' = 3025
Les deux derniers chiffres de S3 sont 25
Mode "bourrin on" : On trouve S3=4084663313025

19 février :

Après avoir vu les solutions et mieux regardé l'énoncé, je n'avais pas vu la subtilité de l'alternance de + et de - pour la ligne 2.
Donc proposition S2 ci-dessus valait pour la réponse 1
Réponse 2 = loupé !
S3 valait pour réponse 3
je vais chercher des lunettes !


Bonne journée
Nicolas


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #10 - 17-02-2010 09:55:50

MM
Visiteur

Une petitte somme

On décompose chaque carré ou cube de la sorte (par exemple pour 1256) :
1256 *1256 = (1000 + 200 + 50 + 6) * (1000 + 200 + 50 + 6)
Dans cette multiplication les seuls termes qui produisent des chiffres en unité et dizaine sont : 2 * 50 * 6 et 6 *6
Or dans la somme totale on retrouve 200 fois 6*6 et 20 fois 2 * 50 * 6, donc les chiffres en unité et dizaine qu'ils produisent sont transformés en centaine et millier.
Il reste donc comme termes qui produisent des unités et dizaines :
a) 8*8 + 9*9 = 145 => 45
b) - 8*8 + 9*9 = 17 => 17
c) 8*8*8 + 9*9*9 = 1241 => 41
Bon c'est peut-être complétement faux, mais ça me parait plausible. C'est ma première égnime sur le site. Bravo à vous tous pour vos réponses et les égnimes sympas que vous proposez ici.

 #11 - 17-02-2010 10:23:11

JohnMatrix
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

Une petie somme

Ma réponse est celle de MM, je me suis inscrit depuis.
a) 45
b) 17
c) 41

 #12 - 17-02-2010 13:28:32

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Une pette somme

la somme des n premiers entiers au carré est donnée par la formule:         [latex]\sum_{i=1}^n i^2=\frac{(n(n+1)(2n+1))}{6}[/latex]
ce qui donne pour la première somme: S=2708887385 je fais encore mieux je te donne le résultat!big_smile

pour la somme des n premiers entier au cube la formule est:
[TeX]\sum_{i=1}^n i^3=\[\frac{((n(n+1))}{2}\]^2[/TeX]
ca qui donne pour la troisième somme: S=4084663313025 et pour la dernière je ne sais pas comment faire j'ai pas encore fait les suites!


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 18-02-2010 06:07:14

beabi37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 69

Une peite somme

00


« Qui triomphe de lui-même possède la force.  » (Lao-Tseu)

 #14 - 18-02-2010 10:42:49

JohnMatrix
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

unr petite somme

J'suis un âne, ma méthode me semblait correcte mais je n'avais pas les bons résultats. En fait je l'ai mal appliquée, j'ai oublié d'inclure 2001 à 2007 dans les euls termes qui produisent des dizaines et des unités.
Les seuls termes qui produisent des unités et des dizaines sont donc :
2001*2001, 2002*2002, ..., 2009*2009
On a donc :
1) 1*1 + 2*2 + ... + 9*9 = 285 => 85
2) 1*1 - 2*2 + ... - 8*8 + 9*9 = 45 => 45
3) 1*1*1 + 2*2*2 + ... + 9*9*9 = 2025 => 25

 #15 - 18-02-2010 12:04:06

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Une petite osmme

Je suis stupéfait de voir que certains ont calculé le résultat de ces sommes pour donner la réponse, alors que visiblement l'énigme ne pouvait pas être là... (Utiliser WolframAlpha n'est pas une résolution d'énigme.)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #16 - 18-02-2010 18:39:59

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Une petiet somme

bravo a tous ceux qui ont trouve
lareponse de Mths MllndN est celle que j'avais fait

 #17 - 19-02-2010 01:01:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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unz petite somme

Tu peux m'appeler Mathias lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #18 - 19-02-2010 11:53:00

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Une petite ssomme

big_smilebig_smilebig_smilebig_smilebig_smile je le ferai.big_smilebig_smilebig_smilebig_smilelollollollollol

 #19 - 19-02-2010 12:06:32

kosmogol
Banni
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Messages : 11,928E+3

Une petite omme

Et toi tu préfères gabrielduflot, GDF ou Gaby ?


http://enigmusique.blogspot.com/

 #20 - 19-02-2010 13:42:44

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Une petite ssomme

Ou Gaga ?
http://www.lmame-bug.com/media/capute-cocci-fou2.gif
http://www.gossipgirlinsider.com/files/lady-gaga-picture.png


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #21 - 20-02-2010 14:23:28

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Une petite omme

gaby gabriel c'est comme tu veux mais gaga pas vraiment:mad:mad

 

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(2) — Latex petite somme (1) — Enigme calculer la somme 1+3+5+7... +2007+2009+2011 (1) — Calculer la somme suivante un peu de reflexion s = 1 + i + i + i^2007 (1) — Calcul de somme 1/(2k+1)^2 (1) — Enigmes sur entiers negatifs (1) — Unite de la somme des cubes de 1 a 2001 (1) — Somme des termes entiers negatif (1) — La somme mathe (1) — Les cinq plus grands negatifs impaires (1) — Enigme 32 avec 5 chiffres impaires (1) — Calculer la somme de 712 termes egaux a moins1 (1) — Formule somme de puissance (1) — Plus grand nombre et calcul simple 1 2 0 enigme (1) — Trouver 5 entiers pairs dont la somme est 305 (1) — Formule pour calculer somme de chiffre 1 a 100 (1) — Comment calculer la somme des 100 premiers nombres pairs (1) — Comment calculer la somme des nombre 15 3285 (1) — Calcule somme de (2k-1) (1) — Calculer la somme des cinq plus grands entiers negatifs (1) — Decomposition en somme de carres de 2011 (1) — Sommes des cinq plus grands entiers n?gatifs impairs (1) — (1) — 1 a 15 somme carre (1) — Enigme somme 6 impair 25 (1) — Somme des carre des ages egal leur produit (1) — Somme de 200 termes egaux a (-1) (1) — Produit de leurs ages (1) — La somme de 2010 nombres entiers negatifs est egale a - 2011 (1) — Calculer la somme des plus grands entiers negatifs (1) — Trouver cinq entiers consecutifs dont la somme soit egale a 1305 (1) — Calcul de 712 termes (1) — Chiffre de unites de 4 puissance 2011 (1) — Je suis la somme des cinq plus grands entier (1) — Calculer une somme latex (1) — Somme des plus grands nombres entiers negatifs (1) — Somme de 8 sur 15 (1) — Shadok multiplication (1) — Somme de 1000 termes egaux (1) — 5 plus grands entiers negatifs impair (1) — Les cinqs plus grands nombres entiers negatifs impairs (1) — D un calcul simple lasomme des 2011 premiers nombres entiers (1) — Somme 2k+1 =n^2 (1) — 32 avec chiffre impaire (1) — Calculer somme de cinq plus grand entiers negatif impairs (1) — Comment resoudre l enigme : trouver le plus petit nombre de 19 chiffres dont la somme des chiffre est egale a 85 (1) — Math la petite somme (1) — Resolution enigme produit des 3 ages egal a la somme des carre (1) — Determiner les 3 nombres entiers consecutifs dont la somme est 2001 (1) — Grand entier negatif impairs (1) — Entier egal somme de cind carres (1) — La somme des cinq plus grands entiers negatifs impaires (1) — Calcul de somme de termes egaux (1) — Puissance d un nombre dont la somme des chiffres est egale a 3 (1) — Calculer somme entiers impairs 1 2007 (1) — Les plus grands nombres entiers negatifs impairs (1) — 1000= somme de cinq entiers consecutifs (1) — Somme (2k+1)^2/n (1) — Calcluler la somme suivante : 1000+.. enigme (1) — Somme 0 a 200 (1) — Comment calculer les cinq plus grand entier negatif impaire (1) — Ts cours somme de termes consecutifs trouver s1 s2 (1) — Somme des 5 plus grands entiers negatifs (1) — Somme+de+1%2f+(2k%2b1)%c2%b2 (1) — Addition des entiers plus petit que 100 (1) — Photos de chauve fou (1) — Calculer la somme de 4 et (1) — Calculer la somme des 200 premiers nombres paires (1) — Calculer la somme : a=2010*(1+2+3+....+2011) (1) — Somme des entiers plus grand que 100 et plus petit que 1000 (1) — Determine la somme de 712 termes egaux a (-1) (1) — Somme des entiers consecutifs = 1000 (1) — Calculer la somme des cinq plus grands entiers negatif impairs (1) — 712 terme egaux a (-1) (1) — Calculer la somme de 25 (1) — Calculer la somme des cinq plus grand nombre entiers negatifs impair (1) — Comment calculer la somme des carres (1) — Cinq entiers consecutif dont la somme est egale a 1305 (1) — La somme du plus petit et du plus grand (1) — Quelle est la somme de 712 termes egaux a (-1) ? 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(1) — Serier decomposer 1000 (1) — Methode pour calculer les milles premiers entiers (1) — La somme de leur age est egal a 34 (1) — Wolframalpha comment entrer racine cubique (1) — Enigme serie somme (1) — Somme des ages pris deux a deux (1) — Calculer termes egaux (1) — Formule latex somme (1) — Une petite somme exercice maths (1) — La somme de la serie des nombres 1 -4-9+16+25 (1) — Enigme calculer la somme (1) — Quels sont les nombres entiers consecutifs dont la somme est egale a 1000 (1) — Trouver le plus petit nombre de 19 chiffres dont la somme est egale a 85 ? (1) — Somme des entiers des entiers pairs de 2 a 200 (1) — Programme quatrieme maths calculer la somme des 5 plus grands entiers negatifs impaires (1) — Serie somme de carre (1) — La somme de 2011 nombres entiers tous negatifs est egale a -2012 (1) — Serie somme cubes (1) — Nombre entier consecutifs dont la somme est 200 (1) — Latex+petit+somme (1) — Les cinq plus grand negatif impaire (1) — Somme negatif latex (1) — Qu est ce que somme d un nombre (1) — Somme de 8/15 (1) — La somme des entiers de 100 a 200 (1) — Calculer a=15+2*5 cube-2 au carre (1) — Calculer la somme de 4 (1) — Somme termes carres negatifs (1) — Qu est ce que la somme maths (1) — Calculer la somme des entiers de 100 a 200 (1) — Comment calculer la somme des chiffres d une puissance (1) — Somme des carres de termes consecutifs (1) — Enigme mathematique somme termes consecutifs (1) — Calculer la somme de 712 termes egaux a (-1) la reponse est (1) — Entiers negatifs impairs (1) — Somme de 0 a 200 (1) — Comment peut on 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(1) — Calculez la somme des 5 plus grands entiers negatifs impairs (1) — 2011 somme de carres (1) — Nombre entier negatif impair (1) — Aide pour calculer une somme de 2010 termes (1) — La somme des 5 de 85 impair (1) — Calculer une somme puissance 25 (1) — Reponse la somme de 712 terme egaux a (-1) (1) — Enigme suite chiffre papier 2 4 8 16 32 64 (1) — Carr?des ?s (1) — Je la suis somme des cinq plus grand entiers negatifs impaires?qui suis je (1) — Calculer la somme de 18 et du produit de 33 par 21 (1) — Somme cubes premiers impairs (1) — Calculer la somme de termes egaux a (-1) (1) — Calculer la somme des cinq plus grands nombres entiers impairs negatifs (1) — Somme des carres nombres pairs (1) — Calculer la somme des cinq plus grands entiers negatifs impairs (1) — Cinqs grands entiers negatifs impairs (1) — Calculer la somme des 2010 termes (1) — Les cinq plus grands entiers negatifs (1) — Calculer la sommes des cinq plus grand entiers negatifs impairs (1) — Somme n carre sur 2 puissance n (1) — Calculer la somme de 712 termes ?gaux ? 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