85 pour la première,
55 pour la deuxième,
25 pour la troisième.

Première somme : je constate que [latex](10x+a)^2 = 100x^2 + 20 a x + a^2[/latex]. Si je somme sur dix termes consécutifs :
[TeX]\begin{align} \sum_{a=1}^{10} (10x+a)^2 &= 1000x^2 + 20 x \sum_{a=1}^{10} a + \sum_{a=1}^{10} a^2 \\
&= 100 \times \left( 10x^2 + 11 x \right) + \sum_{a=1}^{10} a^2
\end{align}[/TeX]
Je peux appliquer ça à [latex](11+12+13+...+20)[/latex], à [latex](21+22+...+30)[/latex], etc. jusqu'à [latex](2001+...+2010)[/latex], et en déduire que les deux derniers chiffres de la grande somme sont les deux derniers chiffres de [latex]201 \times \sum_{a=1}^{10} a^2[/latex].
[TeX]\sum_{a=1}^{10} a^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385[/latex] donc [latex]201 \times \sum_{a=1}^{10} a^2 = 8085[/latex] donc la somme que tu nous proposes se termine par les deux chiffres 85.



Deuxième somme : selon le même principe :

[latex]\begin{align} \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} (10x+a)^2 &= \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} 20 ax + \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} a^2 \\
&= -100 x + \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} a^2
\end{align}[/TeX]
Pour la simplification de la formule : [latex]\sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} a = (1 - 2) + (3 - 4) + ... + (9 - 10) = - 5[/latex]

Donc la somme se termine par les mêmes chiffres que [latex]201 \times \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} a^2[/latex] et on calcule cette somme à la main pour conclure : [latex]201 \times (-55) = - 11055[/latex] donc la somme se termine par les chiffres 55.



Troisième somme : [latex](10x+a)^3 = 1000x^3 + 300 a x^2 + 30 a^2 x + a^3[/latex] donc :
[TeX]\begin{align} \sum_{a=1}^{10} (10x+a)^3 &= 10000x^3 + 300 x^2 \sum_{a=1}^{10} a + 30 x \sum_{a=1}^{10} a^2 + \sum_{a=1}^{10} a^3 \\
&= 10000x^3 + 16500 x^2 + 11550 x + 3025
\end{align}[/TeX]
Donc cette "petite somme" se termine comme [latex]50 x + 25[/latex] (vu qu'on ne regarde que les deux derniers chiffres). Quand on fera la grande somme, x vaudra 0, 1, 2, 3, ... , 200 successivement, et la somme des entiers de 0 à 200 est un nombre pair, donc la somme des [latex]50x[/latex] sera divisible par 100, donc la somme (3) se termine comme [latex]201 \times 25 = 5025[/latex]. Donc la somme se termine par 25.



Je résume :

Les deux derniers chiffres de la somme (1) sont 85.
Les deux derniers chiffres de la somme (2) sont 55.
Les deux derniers chiffres de la somme (3) sont 25.

Si mes calculs sont bons... Je veux bien un MP pour confirmer ou infirmer

1) on peut decomposer cette series en 201 series de 10 sommes:
la premiere serie etant: 1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=385
la deuxieme serie est
(10+1)^2+(10+2)^2..... = premiere serie plus 1000+55*2*100 = 385+2100.
(121+144+169+196+225+256+289+324+361+400=2485)
chaque somme suivante est egal a la precedente plus 2100.
On a donc 201 series de sommes qui finissent par 85.
je conclus que la premiere suite se finit par 201*85 soit se finit par 85.

2) de meme on a 201 series de suites dont la somme est negative et  se terminent par 55.. donc la somme est negative et se termine par 55.

3) pas le temps de faire de calculs...

1) Ce qui compte, c'est les 2 derniers chiffre de la somme
[TeX]
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2 = 385
[/TeX]
car
[TeX]
(n*10 + x)^2 = 100*n^2 + 20*n*x + x^2
[/TeX]
et quand on fait la somme pour x allant de 0 à 9, on trouve
[TeX]
100*(une certaine somme) +
n*20*(1+2+3+4+5+6+7+8+9) +
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2
[/TeX]
avec  [latex]20*(1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 900[/latex]


Les deux derniers chiffres de la somme proposée sont donc les deux derniers chiffres de 85*201 (car ça va de 000x,..., 200x)
soit:

85

Pour les autres questions, à quelques subtilités près, c'est la même chose:
2) 45
3) 25

On décompose chaque carré ou cube de la sorte (par exemple pour 1256) :
1256 *1256 = (1000 + 200 + 50 + 6) * (1000 + 200 + 50 + 6)
Dans cette multiplication les seuls termes qui produisent des chiffres en unité et dizaine sont : 2 * 50 * 6 et 6 *6
Or dans la somme totale on retrouve 200 fois 6*6 et 20 fois 2 * 50 * 6, donc les chiffres en unité et dizaine qu'ils produisent sont transformés en centaine et millier.
Il reste donc comme termes qui produisent des unités et dizaines :
a) 8*8 + 9*9 = 145 => 45
b) - 8*8 + 9*9 = 17 => 17
c) 8*8*8 + 9*9*9 = 1241 => 41
Bon c'est peut-être complétement faux, mais ça me parait plausible. C'est ma première égnime sur le site. Bravo à vous tous pour vos réponses et les égnimes sympas que vous proposez ici.

la somme des n premiers entiers au carré est donnée par la formule:         [latex]\sum_{i=1}^n i^2=\frac{(n(n+1)(2n+1))}{6}[/latex]
ce qui donne pour la première somme: S=2708887385 je fais encore mieux je te donne le résultat!

pour la somme des n premiers entier au cube la formule est:
[TeX]\sum_{i=1}^n i^3=\[\frac{((n(n+1))}{2}\]^2[/TeX]
ca qui donne pour la troisième somme: S=4084663313025 et pour la dernière je ne sais pas comment faire j'ai pas encore fait les suites!

J'suis un âne, ma méthode me semblait correcte mais je n'avais pas les bons résultats. En fait je l'ai mal appliquée, j'ai oublié d'inclure 2001 à 2007 dans les euls termes qui produisent des dizaines et des unités.
Les seuls termes qui produisent des unités et des dizaines sont donc :
2001*2001, 2002*2002, ..., 2009*2009
On a donc :
1) 1*1 + 2*2 + ... + 9*9 = 285 => 85
2) 1*1 - 2*2 + ... - 8*8 + 9*9 = 45 => 45
3) 1*1*1 + 2*2*2 + ... + 9*9*9 = 2025 => 25

bravo a tous ceux qui ont trouve
lareponse de Mths MllndN est celle que j'avais fait

je le ferai.

Ou Gaga ?