Première somme : je constate que (10x+a)2=100x2+20ax+a2. Si je somme sur dix termes consécutifs :
10∑a=1(10x+a)2=1000x2+20x10∑a=1a+10∑a=1a2=100×(10x2+11x)+10∑a=1a2
Je peux appliquer ça à (11+12+13+...+20), à (21+22+...+30), etc. jusqu'à (2001+...+2010), et en déduire que les deux derniers chiffres de la grande somme sont les deux derniers chiffres de 201×∑10a=1a2.
[TeX]\sum_{a=1}^{10} a^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385[/latex] donc [latex]201 \times \sum_{a=1}^{10} a^2 = 8085[/latex] donc la somme que tu nous proposes se termine par les deux chiffres 85.
Deuxième somme : selon le même principe :
10∑a=1(−1)a−1(10x+a)2=10∑a=1(−1)a−120ax+10∑a=1(−1)a−1a2=−100x+10∑a=1(−1)a−1a2[/TeX]Pourlasimplificationdelaformule:[latex]∑10a=1(−1)a−1a=(1−2)+(3−4)+...+(9−10)=−5
Donc la somme se termine par les mêmes chiffres que 201×∑10a=1(−1)a−1a2 et on calcule cette somme à la main pour conclure : 201×(−55)=−11055 donc la somme se termine par les chiffres 55.
Troisième somme : (10x+a)3=1000x3+300ax2+30a2x+a3 donc :
10∑a=1(10x+a)3=10000x3+300x210∑a=1a+30x10∑a=1a2+10∑a=1a3=10000x3+16500x2+11550x+3025
Donc cette "petite somme" se termine comme 50x+25 (vu qu'on ne regarde que les deux derniers chiffres). Quand on fera la grande somme, x vaudra 0, 1, 2, 3, ... , 200 successivement, et la somme des entiers de 0 à 200 est un nombre pair, donc la somme des 50x sera divisible par 100, donc la somme (3) se termine comme 201×25=5025. Donc la somme se termine par 25.
Je résume :
Les deux derniers chiffres de la somme (1) sont 85.
Les deux derniers chiffres de la somme (2) sont 55.
Les deux derniers chiffres de la somme (3) sont 25.
Si mes calculs sont bons... Je veux bien un MP pour confirmer ou infirmer 