Première somme : je constate que [latex](10x+a)^2 = 100x^2 + 20 a x + a^2[/latex]. Si je somme sur dix termes consécutifs :
[TeX]\begin{align} \sum_{a=1}^{10} (10x+a)^2 &= 1000x^2 + 20 x \sum_{a=1}^{10} a + \sum_{a=1}^{10} a^2 \\
&= 100 \times \left( 10x^2 + 11 x \right) + \sum_{a=1}^{10} a^2
\end{align}[/TeX]
Je peux appliquer ça à [latex](11+12+13+...+20)[/latex], à [latex](21+22+...+30)[/latex], etc. jusqu'à [latex](2001+...+2010)[/latex], et en déduire que les deux derniers chiffres de la grande somme sont les deux derniers chiffres de [latex]201 \times \sum_{a=1}^{10} a^2[/latex].
[TeX]\sum_{a=1}^{10} a^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385[/latex] donc [latex]201 \times \sum_{a=1}^{10} a^2 = 8085[/latex] donc la somme que tu nous proposes se termine par les deux chiffres 85.
Deuxième somme : selon le même principe :
[latex]\begin{align} \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} (10x+a)^2 &= \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} 20 ax + \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} a^2 \\
&= -100 x + \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} a^2
\end{align}[/TeX]
Pour la simplification de la formule : [latex]\sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} a = (1 - 2) + (3 - 4) + ... + (9 - 10) = - 5[/latex]
Donc la somme se termine par les mêmes chiffres que [latex]201 \times \sum_{a=1}^{10} (-1)^{a-1} a^2[/latex] et on calcule cette somme à la main pour conclure : [latex]201 \times (-55) = - 11055[/latex] donc la somme se termine par les chiffres 55.
Troisième somme : [latex](10x+a)^3 = 1000x^3 + 300 a x^2 + 30 a^2 x + a^3[/latex] donc :
[TeX]\begin{align} \sum_{a=1}^{10} (10x+a)^3 &= 10000x^3 + 300 x^2 \sum_{a=1}^{10} a + 30 x \sum_{a=1}^{10} a^2 + \sum_{a=1}^{10} a^3 \\
&= 10000x^3 + 16500 x^2 + 11550 x + 3025
\end{align}[/TeX]
Donc cette "petite somme" se termine comme [latex]50 x + 25[/latex] (vu qu'on ne regarde que les deux derniers chiffres). Quand on fera la grande somme, x vaudra 0, 1, 2, 3, ... , 200 successivement, et la somme des entiers de 0 à 200 est un nombre pair, donc la somme des [latex]50x[/latex] sera divisible par 100, donc la somme (3) se termine comme [latex]201 \times 25 = 5025[/latex]. Donc la somme se termine par 25.
Je résume :
Les deux derniers chiffres de la somme (1) sont 85.
Les deux derniers chiffres de la somme (2) sont 55.
Les deux derniers chiffres de la somme (3) sont 25.
Si mes calculs sont bons... Je veux bien un MP pour confirmer ou infirmer 
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ça revient au même que de calculer la somme des n premiers carrés impairs moin la somme de n premiers carrés pairs
