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 #1 - 05-05-2008 22:28:34

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Carrés e tcube

Pouvez-vous décrire la série de paires d'entiers dont la différence des carrés est égale au cube de la différence?


Spoiler : [Afficher le message] Ca, c'est un énoncé bref.
Et sans exemple. 



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 #2 - 05-05-2008 22:33:16

nipon
Pro de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 816

Carrés et cbue

Ma réponse est toute aussi brève:lol
Spoiler : [Afficher le message] NON!

 #3 - 06-05-2008 00:56:37

JustineF
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 789

carrés zt cube

J'ai une mise en équation, et quelques cas concrets, mais je ne sais pas comment déterminer TOUS les cas (si c'est possible)

Spoiler : [Afficher le message] L'énoncé du problème s'écrit :
avec a et b entiers (supposons a >= b)
a²-b² = (a-b)^3
C'est à dire : (a-b)*(a+b) = (a-b)^3.
=> premier groupe de réponse : a=b (a²-b² = (a-b)^3 = 0)
Sinon, on peut diviser par (a-b), et il reste
a+b = (a-b)²
On développe, on fait tout passer du même côté, on obtient :
a² - a*(2b+1) + (b²-b) = 0
bla bla programme de 3ème (voire 4ème, je ne sais plus)
a = (2b + 1 +/- RACINE(8b+1) )/2

Pour avoir des solutions entières, il faut que RACINE(8b+1) soit un entier impair.
Je ne sais pas (plus ?) mettre en équation cette condition.

En tout cas, pour b=1, on obtient a = (2+1+RACINE(9))/2 = 3
----- 3² - 1² = 8 = (3-1)^3
Pour b=3 (RACINE(8*3+1)=5), on obtient a = 6
----- 6² -3² = 27 = (6-3)^3
Pour b=6 (la racine vaut 7), on obtient a = 10
Pour b=10 (la racine vaut 9), et a = 15
Pour b=15 (la racine vaut 11), et a = 21
Pour b=21 (la racine vaut 13), a = 28

Bon, je n'avais fait fait que les deux premiers exemples quand j'ai commencé à écrire cette réponse, mais il semblerait que tous les nombres impairs élevés au carré soit de la forme 8b+1 ??
et qu'avec le bouple (a0=1 ; b0=1)
la suite soit définie par
a(n+1) = an + n + 2
b(n+1) = bn + n = an

Mais je n'arrive pas à faire un raisonnement par récurrence qui tienne la route...
Fiuu, il est tard, et c'est vieux, tout ça... wink


Et je me rends compte que je n'ai regardé que ce qu'il se passait avec le + de mon +/- (dans la solution de mon équation du second degré) hmm


Can we show a little discipline?

 #4 - 06-05-2008 00:58:06

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1612

Carrrés et cube

Alors, on a a et b tels que
[TeX]
a^2-b^2 = (a-b)^3\\
(a+b)(a-b) = (a-b)^3
[/TeX]
Deux cas:
1/ Trivial si a=b
2/ Sinon
[TeX]
a+b = (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab\\
b^2 - b(2a+1) + (a^2-a)
[/TeX]
a étant fixé, on trouve b en résolvant l'équation du second degré en b:
[TeX]
\Delta = (2a+1)^2 - 4(a^2-a)\\
\Delta = 8a+1
[/TeX]
Un carré est congru à 1 modulo 8 ssi sa racine est congrue à 1 ou -1.
Soit n un entier quelconque.
Cas 2.a/
[TeX]
(8n+1)^2 = 64n^2+16n+1\\
= 8a+1\ ssi\ a=8n^2+2n=2n(4n+1)\\
b = (16n^2+4n+1 + 8n+1)/2 = 8n^2+6n+1=(2n+1)(4n+1)\\
ou\ b=(16n^2+4n+1 -8n-1)/2=8n^2-2n=2n(4n-1)
[/TeX]
Cas 2.b/
[TeX]
(8n-1)^2 = 64n^2-16n+1\\
= 8a+1\ ssi\ a=8n^2-2n=2n(4n-1)\\
b = (16n^2-4n+1 + 8n-1)/2 = 8n^2+2n=2n(4n+1)\\
ou\ b=(16n^2-4n+1 -8n+1)/2=8n^2-6n+1=(4n-1)(2n-1)
[/TeX]
On a donc l'ensemble des paires suivants:
{(a,a)} U {(2n(4n+1),(2n+1)(4n+1)) pour tout n} U {(2n(4n+1),2n(4n-1)) pour tout n} U {(2n(4n-1),(2n-1)(4n-1)) pour tout n}

 #5 - 06-05-2008 04:22:35

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

carrés et vube

Spoiler : [Afficher le message]
1,3
3,6
6,10
10,15
15,21
21,28
et ainsi de suite...
j'ai deja utilisé cette suite dans une de mes enigmes...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 06-05-2008 09:42:16

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 724
Lieu: 37

Carrés et cub

on a pour solutions evidentes tous les couples. exemple a=b (0,0) ; (1,1) ; (2,2)....
et les couples moins evidents [latex](\sum_{i=0}^{n}{i},\sum_{i=0}^{n+1}{i})[/latex] ou [latex] (\frac{n(n+1)}{2},\frac{(n+1)(n+2)}{2})[/latex] et leurs symetriques
soit pour les premiers termes (0,1)  ; (1,3) ; (3,6) ; (6,10) ; (10,15) ; (15,21) ....

ebauche de preuve :
[TeX](\sum_{i=0}^{n}{i})^2-(\sum_{i=0}^{n+1}{i})^2[/TeX]
=[latex] (\sum_{i=0}^{n}{i}-\sum_{i=0}^{n+1}{i}) (\sum_{i=0}^{n}{i}+\sum_{i=0}^{n+1}{i}) [/latex]
[TeX]=-(n+1)(\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}) [/TeX]
[TeX]=-(n+1)^3[/TeX]
=[latex](\sum_{i=0}^{n}{i}-\sum_{i=0}^{n+1}{i})^3[/latex]


idem pour les symetriques avec le signe - en moins


When i was a child i was a jedi

 #7 - 07-05-2008 21:32:17

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Carrrés et cube

Pour une fois, nous avons des réponses variées. big_smile

@Nipon: irréprochable d'un point de vue logique.
@dhrm77: exact, peut-être un peu auto-référent.
Pas très documenté, en relisant certains posts précédents, je vois que celle-là ne t'a pas inspiré.
And, so what... Pas grave.
@JustineF: tu as presque tout, mais, pas totalement rangé.
@perceval: perso, je ferai la différence entre le plus grand et le plus petit pour ne pas me battre avec les signes. C'est tout bon, mais est-on sûr que ce sont les seules?
@scarta: en lisant vite la réponse, je me suis dit qu'est-ce qu'il a vu encore ce coup-là? 
Fortuitement, tu n'as pas recopié un ensemble, et donc pas unifié les 4 derniers ensembles.

Je suis de nature paresseuse, et donc le coup du discriminant ne me va pas.

Je prends le problème comme ça:

a+b et a sont les entiers satisfaisant à la question.
[TeX](a+b)^2 - a^2 = b ^3[/TeX]
[TeX]b(2*a + b) = b^3[/TeX]
Cas n°1
b= 0.  La solution triviale; les suites d'entiers égaux conviennent.

Cas n°2
[TeX]a = \frac{b*(b-1)}{2}[/TeX]
[TeX]a +b = \frac{b*(b+1)}{2}[/TeX]
Et là je me rappelle cette histoire qu'en écrivant les nombres de 1 à n de gauche à droite et de droite à gauche et qu'en les additionnant par colonne j'ai toujours une somme égale à (n+1), donc que la série vaut:
[TeX] \frac{n*(n+1)}{2}[/TeX]
Et là, je prends la solution de perceval.


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(2) — Enigme somme des carrees des entiers naturels (2) — Demontrer que tout entier naturel impair peut s ecrire comme une differe (2) — Demontrer que tout entier impairs peut s ecrire comm la difference des carres de deux entier naturels consecutifs (2) — Trouver un nombre entier telle que la somme de son carre et son cube soit egale a 9 (2) — Nombres egaux au carre de leur double (2) — Demontrer que la somme d un nombre entier et son carre est egale a la difference du carre de son suivant et de ce suivant (2) — Comment faire un cube avec 6 carres (2) — La somme de deux nombre vaut 2 et leurs carre 34 (2) — Au cube le signe (2) — Tout entier naturel impair difference de deux carres (2) — Trouver deux entiers dont la difference est egale a 2 (2) — Jeu cube carre (2) — Produit des trois ages vaut la somme du carres des ages (2) — Difference entre son cube et le nombre 1 (2) — 1 metre cube est egale a combien de metre carre (2) — Le carre d un nombre relatif etson cube est ne (2) — Nombre a la fois carre et cubes (2) — Combien fait 2 au cube (2) — Demonstration a+b au cube (2) — Cube entier naturel difference de deux carre (2) — La difference des carres de deux nombres entiers consecutifs quelconques est un nombre impair (2) — Montrer que tout entier naturel impair s ecrit comme une difference de de (2) — Demontrer que tout impair est la difference des carres de deux nombres entiers consecutifs (2) — Le cube d une somme (2) — Nombre au carre ou au cube (2) — La difference de deux entier est egale a 7 la somme de leurs carre est egale a 29 (2) — Racine au cube (2) — Demonstration racine carre (2) — Montrer par recurrence que la somme des cubes des n premiers entiers naturels (2) — Math placer un nombre entre deux (2) — Combien egale (a-b)^2 (2) — Cube de nombres (2) — Je suis un nombres deferent de 0 je suis le carre d un nombres entier mon double et le cube d un nombre entier (2) — Trouver deux nombres entiers naturels dont la difference des carres est a (2) — Reponse jeux nombre de carre (2) — Trouver deux entiers dont la difference est 2 et la somme des carres est (2) — On cherche un nombre dont son double est egal a son carre (2) — Difference de deux carres egale un cube (2) — Cubique signe (2) — Comment faire signe cube (2) — Pourquoi la difference entre deux carre est toujours un nombre impair (2) — Comment resoudre un carre magique avec equation (2) — Tout nombre entier impair peut s ecrire comme la difference de deux entiers natuels consecutifs (2) — Signes mathematiques cube (2) — Racine cubique 27+6 racine(21) montrer que entier (2) — Somme des carres des ages et produit des ages (2) — Demontrer que la somme de deux nombres consecutifs quelconques donne toujours un nombre impair? (2) — Un nombre dont le carre est egale a son cube (2) — Le cube de la difference de deux nombres (2) — Enigme mathematique somme face carre (2) — Deux nombres dont le carre est 9 (2) — Cube egal a leur double (2) — Nombre a la fois cube et carre (2) — Resoudre moins racine carre de 2 au cube (2) — Jeux cube carre (2) — Ecrire 9 comme une difference de deux carres. demontrer que tout entier natuel impair peut s ecrire comme une difference de deux carres (2) — Demontrons que tout entier impair = difference des carrees de 2 entiers naturels consecutifs (2) — Equation carre cube (2) — Solution math somme cube (2) — Comment faire la difference d un cube (2) — Nombres egaux a la somme des chiffres de leur cube (2) — Combien vaut la racine carree d un carre (2) — Trouver deux entiers dont la difference est egale a 2 et dont la somme des carres est egale a 100 (2) — Formule de la difference de 2 cube (2) — Cube magique mathematique (2) — Au carre au cube (2) — Racine carre de 2 egal combien (2) — Demontrer que tout entier impair est la difference des carrees de deux nombres entiers consecutifs (2) — Cubes et recurrence (2) — La somme de deux entiers est de 2 et la somme de leurs carres est 34. trouvez ces deux nombres (2) — La somme du carre des ages est egale au produit (2) — 2 metre carre zero huit egale en m3 (2) — Quels sont les entiers naturels que l on peut ecrire comme somme d entiers consecutifs (2) — Montrer que tout nombre impair est la difference de deux carres entiers (2) — Demontre que tout entier impair peut s ecrire comme la difference des carre de 2 entier naturel consecutif (2) — Difference entre le carre d un nombre relatif et son cube (2) — La difference entre 12 et le cube de a (2) — La difference du cube de deux et de un (2) — Ecrire 27 comme au cube (2) — Du pied carre egale a combien de metres (2) — Existe t-il des series de 5 entiers naturels consecutifs tels que la somme des carres des deux plus grands soit egales a la somme des carres des deux plus petits (2) — Difference de cres consecutifs cubes (2) — Difference entre nombres carres consecutifs (2) — Deux entiers naturels dont la difference est 2 et dont la somme des carres est 100 (2) — Demonstration de la somme des carres egal la somme au cube (2) — Liste des nombres carre plus petit que 100 (2) — Deduire que tout nombre impair est une difference de deux carres consecutif (2) — Demonstration que tout nombre impair est une difference de deux carres consecutifs (2) — Je cherche deux carres dont la difference est 9 (2) — Enigme je suis le carr? un nombre entier mon double (2) — Entier relatif telle que somme cune et carre egale a 16 fois (2) — Faire le cube de la somme de tous les nombres (2) — Trouver les nombres tels que leur cube est egal a leur double (2) — Carre de la difference (2) — Demontrer que la somme d un nombre et de son carre est egale a la difference du carre de son suivant et de ce suivant (2) — Ecrire 9 comme une difference (2) — Montre que tout nombre entier impair est la difference de 2 nombres consecutifs eleve au carre (2) — Qu est ce que le cube d un entier (2) — La difference du carre de deux nombres (2) — Peut on dire que le cube de 2 est egal au carre de 3 (2) — Trois nombres entiers naturels cons?cutif dont le quotient du produit par la somme est ?gal ? 16 (2) — Je suis un produit de 2 nombres entiers consecutifs (2) — Expliquer pourquoi la difference entre deux carres d entiers consecutifs est un nombre impair (2) — Signe du chiffre cube (2) — La difference de la somme de 34 et du double de 72 et du produit de 23 par 4 (2) — Combien fait 1au cube (2) — Soit 3 carres = 1 cube (2) — Somme metre cube (2) — Demontrer que tout carre impair est somme de deux carre (2) — Cube d une somme (2) — Somme des premiers entiers naturels au cube (2) — *demontrer que quel que soit le nombre entier n n(n+1)(n-1)+n est le cube d un nombre entier (2) — Tout entier naturel impair s ecrit comme la difference de deux carre (2) — Somme des carres des n premiers nombres naturels (2) — Pour demontrer que tout entier est impair est la difference des carres de nombres entier consecutif (2) — Resoudre la difference de deux entiers est 7 et la somme de leurs carees est 29 (2) — Difference de deux cubes (2) — La somme de 2 entiers est 2 et la somme de leurs carre est 34 (2) — Montrer par recurrence que la somme des cubes des n premiers (2) — Demontrer que tout entier impair est la difference des carres de deux nombres entiers consecutif (2) — Effectuer le produit de la difference du double du nombre et de 8 par la somme du nombre et de trois (2) — Difference des carres deux nombres entier consecutif somme deux nombres (2) — Comment montrer que la somme a+b+c est un nombre entier (2) — Le cube d un entier naturel peut s ecrire en difference de deux carres (2) — Enigme des six cubes (2) — Difference carre et cube (2) — Somme de nombres consecutifs eleves au carre egale a la somme des cubes (2) — Demonter que tout entier impair est la difference des carres de deux nombres entiers (2) — Son carre est egal a son double (2) — Nombre consecutif carre somme difference (2) — On multiplie par 3 la difference d un nombre et de 10 et on obtient alors le double de ce nombre . quel est ce nombre ? (2) — 3m cube egale a combien de m carre (2) — A moins b au cube (2) — Combien de carre vois tu (2) — Je suis un produit de deux nombres entiers consecutif la somme de mes deux nombres est 11 qui suis je ? (2) — Difference de 2 carre egale a 0 (2) — Enigmes racines carrees 3e avec a et b (2) — La somme de deux nombre est egal a sa difference (2) — Le premier nombre est egal au cube de la somme des chiffres du deuxieme nombre le deuxieme nombre est egal au cube de la somme des chiffres du premier nombre (2) — Trouver 2 entiers dont la difference est egale a 2 donc la somme des carres est egale a 100 (2) — La difference est 7 et la somme de leurs carres 29 (2) — Enigme des 3 cube (2) — (a+b) au cube egale? (2) — Je suis un nombre different de zero je suis le carre d un nombre entier mon double est le cube d un nombr entier (2) — La difference du carre entre deux nombres (2) — 9 fois son carre et son cube math (2) — Nombres egaux carre double (2) — Le produit des ages est egal a la somme des carre des ages (2) — Carre et cubes de nombres entiers (2) — Au carre au cube signe (2) — Somme de nombre au cube = somme au carres (2) — Trouver des nombres qui sont a la fois un carre et un cube (2) — Demonstration (a+b) au cube (2) — Comment faire carre de 6/6 au meme nonbre egal (2) — 1metre cube egale combien de metre carre (2) — Trouver trois nombres entiers consecutifs tels que la difference entre le carre du (2) — Nombres tels que leur cube est egal a leur double (2) — Demontrer que la difference des carres de deux nombres entier consecutifs quelconque est un nombre impair (2) — Demontrer somme des carres par recurrence (2) — Enigme mathematique on cherche un nombre a 4 chiffre carre d un entier et qui a 2 chiffres identiques a gauche (2) — Suite impair de cuble (2) — Cube somme carres (2) — Effectuer le produit de la difference du double du nombre et de 5 par la somme du nombre (2) — Enigme somme carre de 2 nombres (2) — Nombre cube egal a son cube (2) — La difference de deux entiers est 7 et la somme de leurs carres est 29. trouver ces nombres (2) — Somme et difference des cubes (2) — Trouvez un nombre entier tel que la somme de son carre et de son cube soit (2) — Demonstration somme d un nombre entier et de son carre est egale a la dfference du carre de son suivant et de ce suivant (2) — B) est-il vrai que (racine cubique de (27+6*racine carre de 21)) + (racine cubique de (27-6*racien carre de 21)) est entier ? (2) — +difference entre metres carre et mettre cube (2) — Enigme carres (2) — La difference de deux nombre est de 15 math probleme (2) — Le cube de 2 est ?gal au carr? de 3 (2) — Solution n premiers entier au cube (2) — La somme de 2 entiers est 2 et la somme de leurs carrees est 34 trouvez ces deux nombres (2) — Un entier naturel qui est a la fois un carre et un cube est le carre dun cube (2) — Comment mettre un nombre au cube (2) — Demontrer que la difference des carres de 2 nombres entiers consecutifs est egale a la somme de ces 2nombres (2) — Comment demontrer la difference des carres de deux nombres consecutifs eale a la somme de ces deux nombres (2) — Carres et cubes des nombres entiers (2) — Carre et cube de nombre entier (2) — Nombre entre un carre et un cube (2) — Demontrer que tout nombre entier impair est la difference de deux carres consecutifs (2) — Difference des carres de 2 nombres entier consecutifs egale au cube d un entier relatif (2) — Nomre egaux a leur cube (2) — 6 au carre egale (2) — Je suis un nombre different de zero. je suis le carre d un nombre entier. mon double est le cube d un nombre entier. qui suis je ? (2) — Le cube dun nombre (2) — Trouver un entier naturel tel que la somme de son carre et de son cube soit egale a seize fois le nombre entier suivant (2) — Demonstration somme des premiers cube recurrence (2) — Comment trouver le cube d un nombre (2) — Probleme de la somme des cubes (2) — Demontrer que tout entier impair est la difference des carres de deux nombres consecutifs (2) — Carre egal (2) — Combien de cube peut on mettre dans un rectangle (2) — Cube difference carres (2) — Determiner 2 nombres entiers relatifs dont la somme est egale a 1 et la diiference est egale a 3 (2) — Quel sont les nombres dont le carre est egal a 13 (2) — Deduire pourquoi la difference entre deux carres d entiers consecutifs est toujours un nombre impair (2) — Differentes facon de faire un cube (2) — Difference entre deux carres consecutifs (2) — Nombre dont le double est egal au carre du double (2) — Chercher les nombres dont le carre est egale au cube grace a une equation (2) — Comment demontrer un carre dans un cube (2) —

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