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 #1 - 05-05-2008 22:28:34

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Carrés et cubee

Pouvez-vous décrire la série de paires d'entiers dont la différence des carrés est égale au cube de la différence?


Spoiler : [Afficher le message] Ca, c'est un énoncé bref.
Et sans exemple. 



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 #2 - 05-05-2008 22:33:16

nipon
Pro de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 816

carrés et cune

Ma réponse est toute aussi brève:lol
Spoiler : [Afficher le message] NON!

 #3 - 06-05-2008 00:56:37

JustineF
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 789

carrés et xube

J'ai une mise en équation, et quelques cas concrets, mais je ne sais pas comment déterminer TOUS les cas (si c'est possible)

Spoiler : [Afficher le message] L'énoncé du problème s'écrit :
avec a et b entiers (supposons a >= b)
a²-b² = (a-b)^3
C'est à dire : (a-b)*(a+b) = (a-b)^3.
=> premier groupe de réponse : a=b (a²-b² = (a-b)^3 = 0)
Sinon, on peut diviser par (a-b), et il reste
a+b = (a-b)²
On développe, on fait tout passer du même côté, on obtient :
a² - a*(2b+1) + (b²-b) = 0
bla bla programme de 3ème (voire 4ème, je ne sais plus)
a = (2b + 1 +/- RACINE(8b+1) )/2

Pour avoir des solutions entières, il faut que RACINE(8b+1) soit un entier impair.
Je ne sais pas (plus ?) mettre en équation cette condition.

En tout cas, pour b=1, on obtient a = (2+1+RACINE(9))/2 = 3
----- 3² - 1² = 8 = (3-1)^3
Pour b=3 (RACINE(8*3+1)=5), on obtient a = 6
----- 6² -3² = 27 = (6-3)^3
Pour b=6 (la racine vaut 7), on obtient a = 10
Pour b=10 (la racine vaut 9), et a = 15
Pour b=15 (la racine vaut 11), et a = 21
Pour b=21 (la racine vaut 13), a = 28

Bon, je n'avais fait fait que les deux premiers exemples quand j'ai commencé à écrire cette réponse, mais il semblerait que tous les nombres impairs élevés au carré soit de la forme 8b+1 ??
et qu'avec le bouple (a0=1 ; b0=1)
la suite soit définie par
a(n+1) = an + n + 2
b(n+1) = bn + n = an

Mais je n'arrive pas à faire un raisonnement par récurrence qui tienne la route...
Fiuu, il est tard, et c'est vieux, tout ça... wink


Et je me rends compte que je n'ai regardé que ce qu'il se passait avec le + de mon +/- (dans la solution de mon équation du second degré) hmm


Can we show a little discipline?

 #4 - 06-05-2008 00:58:06

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

carrés et cune

Alors, on a a et b tels que
[TeX]
a^2-b^2 = (a-b)^3\\
(a+b)(a-b) = (a-b)^3
[/TeX]
Deux cas:
1/ Trivial si a=b
2/ Sinon
[TeX]
a+b = (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab\\
b^2 - b(2a+1) + (a^2-a)
[/TeX]
a étant fixé, on trouve b en résolvant l'équation du second degré en b:
[TeX]
\Delta = (2a+1)^2 - 4(a^2-a)\\
\Delta = 8a+1
[/TeX]
Un carré est congru à 1 modulo 8 ssi sa racine est congrue à 1 ou -1.
Soit n un entier quelconque.
Cas 2.a/
[TeX]
(8n+1)^2 = 64n^2+16n+1\\
= 8a+1\ ssi\ a=8n^2+2n=2n(4n+1)\\
b = (16n^2+4n+1 + 8n+1)/2 = 8n^2+6n+1=(2n+1)(4n+1)\\
ou\ b=(16n^2+4n+1 -8n-1)/2=8n^2-2n=2n(4n-1)
[/TeX]
Cas 2.b/
[TeX]
(8n-1)^2 = 64n^2-16n+1\\
= 8a+1\ ssi\ a=8n^2-2n=2n(4n-1)\\
b = (16n^2-4n+1 + 8n-1)/2 = 8n^2+2n=2n(4n+1)\\
ou\ b=(16n^2-4n+1 -8n+1)/2=8n^2-6n+1=(4n-1)(2n-1)
[/TeX]
On a donc l'ensemble des paires suivants:
{(a,a)} U {(2n(4n+1),(2n+1)(4n+1)) pour tout n} U {(2n(4n+1),2n(4n-1)) pour tout n} U {(2n(4n-1),(2n-1)(4n-1)) pour tout n}

 #5 - 06-05-2008 04:22:35

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

carréq et cube

Spoiler : [Afficher le message]
1,3
3,6
6,10
10,15
15,21
21,28
et ainsi de suite...
j'ai deja utilisé cette suite dans une de mes enigmes...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 06-05-2008 09:42:16

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

careés et cube

on a pour solutions evidentes tous les couples. exemple a=b (0,0) ; (1,1) ; (2,2)....
et les couples moins evidents [latex](\sum_{i=0}^{n}{i},\sum_{i=0}^{n+1}{i})[/latex] ou [latex] (\frac{n(n+1)}{2},\frac{(n+1)(n+2)}{2})[/latex] et leurs symetriques
soit pour les premiers termes (0,1)  ; (1,3) ; (3,6) ; (6,10) ; (10,15) ; (15,21) ....

ebauche de preuve :
[TeX](\sum_{i=0}^{n}{i})^2-(\sum_{i=0}^{n+1}{i})^2[/TeX]
=[latex] (\sum_{i=0}^{n}{i}-\sum_{i=0}^{n+1}{i}) (\sum_{i=0}^{n}{i}+\sum_{i=0}^{n+1}{i}) [/latex]
[TeX]=-(n+1)(\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}) [/TeX]
[TeX]=-(n+1)^3[/TeX]
=[latex](\sum_{i=0}^{n}{i}-\sum_{i=0}^{n+1}{i})^3[/latex]


idem pour les symetriques avec le signe - en moins


When i was a child i was a jedi

 #7 - 07-05-2008 21:32:17

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

varrés et cube

Pour une fois, nous avons des réponses variées. big_smile

@Nipon: irréprochable d'un point de vue logique.
@dhrm77: exact, peut-être un peu auto-référent.
Pas très documenté, en relisant certains posts précédents, je vois que celle-là ne t'a pas inspiré.
And, so what... Pas grave.
@JustineF: tu as presque tout, mais, pas totalement rangé.
@perceval: perso, je ferai la différence entre le plus grand et le plus petit pour ne pas me battre avec les signes. C'est tout bon, mais est-on sûr que ce sont les seules?
@scarta: en lisant vite la réponse, je me suis dit qu'est-ce qu'il a vu encore ce coup-là? 
Fortuitement, tu n'as pas recopié un ensemble, et donc pas unifié les 4 derniers ensembles.

Je suis de nature paresseuse, et donc le coup du discriminant ne me va pas.

Je prends le problème comme ça:

a+b et a sont les entiers satisfaisant à la question.
[TeX](a+b)^2 - a^2 = b ^3[/TeX]
[TeX]b(2*a + b) = b^3[/TeX]
Cas n°1
b= 0.  La solution triviale; les suites d'entiers égaux conviennent.

Cas n°2
[TeX]a = \frac{b*(b-1)}{2}[/TeX]
[TeX]a +b = \frac{b*(b+1)}{2}[/TeX]
Et là je me rappelle cette histoire qu'en écrivant les nombres de 1 à n de gauche à droite et de droite à gauche et qu'en les additionnant par colonne j'ai toujours une somme égale à (n+1), donc que la série vaut:
[TeX] \frac{n*(n+1)}{2}[/TeX]
Et là, je prends la solution de perceval.


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(2) — La difference de deux entiers est egale a 7 et la somme de leurs carres est egale a 29 (2) — Double carre cube entier (2) — (a+b) au cube egale? (2) — Demontrer que tout entier impairs peut s ecrire comm la difference des carres de deux entier naturels consecutifs (2) — Entier naturel cube (2) — Difference entre 2 cubes consecutif (2) — Trouver trois nombres entiers consecutifs tels que la difference entre le carre (2) — Somme de deux cubes consecutifs (2) — Raisonnement par recurrence nombre impair (2) — Le produit des trois ages est egal a la somme des carres des ages (2) — Difference entre le cube de 5 et carre de 4 (2) — Montrer que le cube de tout entier naturel peut s ecrire comme la somme de deuc xarres (2) — Je suis un nombre. mon double est egale a mon carre. qui suis-je (2) — Enigme nombre de carre (2) — Produit des ages et somme carre des ages (2) — Le cube de 2 est egal au carre de 3 (2) — Maths carre cube (2) — Cube difference deux carres (2) — Le produit des ages est egale a la somme des carres de (2) — Tous le nombres dont le cube est egale a leur double (2) — Nombre cubique somme de deux nombres carres (2) — Trouver un nombre entier tel que la somme de son carre et son cube soit egale a 9 fois le nombre entier suivant (2) — Somme de carres ages egale aux produits des ages (2) — Suite cube nombre impair recurrence (2) — Quesque c est un carre pont d un carre pont (2) — Nombres tels que la somme de leurs carres et de leurs double=15 (2) — Cube avec nombre relatifs (2) — La difference de deux entiers naturels est 45 (2) — Nombre dont carre est egale cube (2) — Carres et cubes (2) — Les differentes facons de faire un cube (2) — Demontrer entiers impair peut s ecrire comme la difference des carre de deux netier naturels consecutifs (2) — Un entier naturel a est dit somme de deux carres (2) — En deduire que tout nombre impair est une difference de deux carres consecutifs (2) — Cube d un entier (2) — Jeux carre cube (2) — Cubes de nombres entiers (2) — Carre est egal a combien? (2) — Racine cubique 27+6 racine(21) montrer que entier (2) — Demontrer que tout impair est la difference des carres de deux nombres entiers consecutifs (2) — Somme des carres des ages et produit des ages (2) — On multiplie par 3 la difference d un nombre et de 10 et on obtient le double de ce nombre (2) — Trouver tous les nombres entiers naturels tels que la difference de leurs carres soit egale (2) — Demontrer que la somme d un nombre entier et son carre est egale a la difference du carre de son suivant et de ce suivant (2) — Combien de carres pouvez-vous compter ? (2) — Montrer par recurrence que la somme des cubes des n premiers entiers naturels (2) — Comment faire un cube avec 6 carres (2) — Enigme somme des carrees des entiers naturels (2) — Trouver un nombre entier telle que la somme de son carre et son cube soit egale a 9 (2) — Nombres egaux au carre de leur double (2) — Somme des carres d entiers consecutifs. (2) — Demontrer que tout entier naturel impair peut s ecrire comme une differe (2) — Tout entier naturel impair difference de deux carres (2) — La somme de deux nombre vaut 2 et leurs carre 34 (2) — Au cube le signe (2) — Trouver deux entiers dont la difference est egale a 2 (2) — Ecrire 27 comme au cube (2) — Jeu cube carre (2) — Le carre d un nombre relatif etson cube est ne (2) — Existe t-il des series de 5 entiers naturels consecutifs tels que la somme des carres des deux plus grands soit egales a la somme des carres des deux plus petits (2) — Difference entre son cube et le nombre 1 (2) — Nombre a la fois carre et cubes (2) — Combien fait 2 au cube (2) — Produit des trois ages vaut la somme du carres des ages (2) — Combien de carres sur 3/6 sur 6 carres (2) — Cubes somme de 2 carres (2) — Trouver un nombre entier tel que la somme de son carre et de son cube soit egale a 9 fois le nombre entier suivant. (2) — Montrer que tout entier naturel impair s ecrit comme une difference de de (2) — Le cube d une somme (2) — Cube de nombres (2) — Nombre au carre ou au cube (2) — Cube entier naturel difference de deux carre (2) — Je suis un nombres deferent de 0 je suis le carre d un nombres entier mon double et le cube d un nombre entier (2) — Racine au cube (2) — Math placer un nombre entre deux (2) — Combien egale (a-b)^2 (2) — La difference de deux entier est egale a 7 la somme de leurs carre est egale a 29 (2) — Demonstration racine carre (2) — Trouver deux entiers dont la difference est 2 et la somme des carres est (2) — Trouver deux nombres entiers naturels dont la difference des carres est a (2) — Reponse jeux nombre de carre (2) — On cherche un nombre dont son double est egal a son carre (2) — 1 metre cube est egale a combien de metre carre (2) — Difference de deux carres egale un cube (2) — Comment resoudre un carre magique avec equation (2) — La difference des carres de deux nombres entiers consecutifs quelconques est un nombre impair (2) — Comment faire signe cube (2) — Tout nombre entier impair peut s ecrire comme la difference de deux entiers natuels consecutifs (2) — Signes mathematiques cube (2) — Cubique signe (2) — Demonstration a+b au cube (2) — La difference du carre entre deux nombres (2) — Enigme mathematique somme face carre (2) — Nombres egaux carre double (2) — N premier entier au cube (2) — Un nombre dont le carre est egale a son cube (2) — Cube egal a leur double (2) — Racine carre de 2 egal combien (2) — Le cube de la difference de deux nombres (2) — 2 metre carre zero huit egale en m3 (2) — Nombre a la fois cube et carre (2) — Ecrire 9 comme une difference de deux carres. demontrer que tout entier natuel impair peut s ecrire comme une difference de deux carres (2) — Demontrons que tout entier impair = difference des carrees de 2 entiers naturels consecutifs (2) — Equation carre cube (2) — Resoudre moins racine carre de 2 au cube (2) — Demontrer que tout entier impair est la difference des carrees de deux nombres entiers consecutifs (2) — Comment faire la difference d un cube (2) — Nombres egaux a la somme des chiffres de leur cube (2) — Formule de la difference de 2 cube (2) — Trouver deux entiers dont la difference est egale a 2 et dont la somme des carres est egale a 100 (2) — Montre que tout nombre entier impair est la difference de 2 nombres consecutifs eleve au carre (2) — Cube magique mathematique (2) — Combien vaut la racine carree d un carre (2) — Au carre au cube (2) — Cubes et recurrence (2) — La somme de deux entiers est de 2 et la somme de leurs carres est 34. trouvez ces deux nombres (2) — La somme du carre des ages est egale au produit (2) — Trouver les nombres tels que leur cube est egal a leur double (2) — La difference du cube de deux et de un (2) — Jeux cube carre (2) — Demontrer que la somme d un nombre et de son carre est egale a la difference du carre de son suivant et de ce suivant (2) — Du pied carre egale a combien de metres (2) — Demontre que tout entier impair peut s ecrire comme la difference des carre de 2 entier naturel consecutif (2) — Difference entre le carre d un nombre relatif et son cube (2) — Deux entiers naturels dont la difference est 2 et dont la somme des carres est 100 (2) — Difference de cres consecutifs cubes (2) — Difference entre nombres carres consecutifs (2) — Montrer que tout nombre impair est la difference de deux carres entiers (2) — Liste des nombres carre plus petit que 100 (2) — Demonstration que tout nombre impair est une difference de deux carres consecutifs (2) — Deduire que tout nombre impair est une difference de deux carres consecutif (2) — Je cherche deux carres dont la difference est 9 (2) — Enigme je suis le carr? un nombre entier mon double (2) — Quels sont les entiers naturels que l on peut ecrire comme somme d entiers consecutifs (2) — La difference entre 12 et le cube de a (2) — Demonstration de la somme des carres egal la somme au cube (2) — Ecrire 9 comme une difference (2) — Faire le cube de la somme de tous les nombres (2) — Carre de la difference (2) — Entier relatif telle que somme cune et carre egale a 16 fois (2) — Solution math somme cube (2) — 3m cube egale a combien de m carre (2) — Trois nombres entiers naturels cons?cutif dont le quotient du produit par la somme est ?gal ? 16 (2) — La difference du carre de deux nombres (2) — Je suis un produit de 2 nombres entiers consecutifs (2) — Expliquer pourquoi la difference entre deux carres d entiers consecutifs est un nombre impair (2) — Cube d une somme (2) — Peut on dire que le cube de 2 est egal au carre de 3 (2) — Signe du chiffre cube (2) — Soit 3 carres = 1 cube (2) — Somme metre cube (2) — Demontrer que tout carre impair est somme de deux carre (2) — La difference de la somme de 34 et du double de 72 et du produit de 23 par 4 (2) — Somme des premiers entiers naturels au cube (2) — Montrer par recurrence que la somme des cubes des n premiers (2) — Somme des carres des n premiers nombres naturels (2) — *demontrer que quel que soit le nombre entier n n(n+1)(n-1)+n est le cube d un nombre entier (2) — Pour demontrer que tout entier est impair est la difference des carres de nombres entier consecutif (2) — Resoudre la difference de deux entiers est 7 et la somme de leurs carees est 29 (2) — Le produit des ages est egal a la somme des carre des ages (2) — Tout entier naturel impair s ecrit comme la difference de deux carre (2) — Difference de deux cubes (2) — Demontrer que tout entier impair est la difference des carres de deux nombres entiers consecutif (2) — Effectuer le produit de la difference du double du nombre et de 8 par la somme du nombre et de trois (2) — Difference des carres deux nombres entier consecutif somme deux nombres (2) — La somme de 2 entiers est 2 et la somme de leurs carre est 34 (2) — Combien fait 1au cube (2) — Comment montrer que la somme a+b+c est un nombre entier (2) — Somme de nombres consecutifs eleves au carre egale a la somme des cubes (2) — Enigme des six cubes (2) — Demonter que tout entier impair est la difference des carres de deux nombres entiers (2) — Son carre est egal a son double (2) — Difference de 2 carre egale a 0 (2) — Difference carre et cube (2) — Nombre consecutif carre somme difference (2) — A moins b au cube (2) — Combien de carre vois tu (2) — Je suis un produit de deux nombres entiers consecutif la somme de mes deux nombres est 11 qui suis je ? (2) — On multiplie par 3 la difference d un nombre et de 10 et on obtient alors le double de ce nombre . quel est ce nombre ? (2) — Enigmes racines carrees 3e avec a et b (2) — Je suis un nombre different de zero je suis le carre d un nombre entier mon double est le cube d un nombr entier (2) — Le premier nombre est egal au cube de la somme des chiffres du deuxieme nombre le deuxieme nombre est egal au cube de la somme des chiffres du premier nombre (2) — Trouver 2 entiers dont la difference est egale a 2 donc la somme des carres est egale a 100 (2) — Deux nombres dont le carre est 9 (2) — Qu est ce que le cube d un entier (2) — Pourquoi la difference entre deux carre est toujours un nombre impair (2) — La difference est 7 et la somme de leurs carres 29 (2) — Le cube d un entier naturel peut s ecrire en difference de deux carres (2) — Demontrer que la somme de deux nombres consecutifs quelconques donne toujours un nombre impair? (2) — La somme de deux nombre est egal a sa difference (2) — Enigme des 3 cube (2) — 9 fois son carre et son cube math (2) — Cube d un nombre premier (2) — Determiner les nombres egaux a leur cube (2) — Trouver deux entiers dont la difference est egale a 2 et dont la somme des (2) — Trouver des nombres qui sont a la fois un carre et un cube (2) — Demonstration (a+b) au cube (2) — Trouver trois nombres entiers consecutifs tels que la difference entre le carre du (2) — Suite impair de cuble (2) — Au carre au cube signe (2) — Comment faire carre de 6/6 au meme nonbre egal (2) — Demontrer que la difference des carres de deux nombres entier consecutifs quelconque est un nombre impair (2) — Demontrer somme des carres par recurrence (2) — Enigme mathematique on cherche un nombre a 4 chiffre carre d un entier et qui a 2 chiffres identiques a gauche (2) — Somme de nombre au cube = somme au carres (2) — Cube somme carres (2) — Trouvez un nombre entier tel que la somme de son carre et de son cube soit (2) — B) est-il vrai que (racine cubique de (27+6*racine carre de 21)) + (racine cubique de (27-6*racien carre de 21)) est entier ? (2) — Nombre cube egal a son cube (2) — La difference de deux entiers est 7 et la somme de leurs carres est 29. trouver ces nombres (2) — Carre egal (2) — Deduire pourquoi la difference entre deux carres d entiers consecutifs est toujours un nombre impair (2) — Effectuer le produit de la difference du double du nombre et de 5 par la somme du nombre (2) — Somme et difference des cubes (2) — +difference entre metres carre et mettre cube (2) — Enigme carres (2) — La difference de deux nombre est de 15 math probleme (2) — Nombre entre un carre et un cube (2) — 1metre cube egale combien de metre carre (2) — Differentes facon de faire un cube (2) — Le cube de 2 est ?gal au carr? de 3 (2) — Comment mettre un nombre au cube (2) — Demontrer que la difference des carres de 2 nombres entiers consecutifs est egale a la somme de ces 2nombres (2) — Carre et cube de nombre entier (2) — 6 au carre egale (2) — La somme de 2 entiers est 2 et la somme de leurs carrees est 34 trouvez ces deux nombres (2) — Comment demontrer la difference des carres de deux nombres consecutifs eale a la somme de ces deux nombres (2) — Demontrer que tout nombre entier impair est la difference de deux carres consecutifs (2) — Difference des carres de 2 nombres entier consecutifs egale au cube d un entier relatif (2) — Nomre egaux a leur cube (2) — Un entier naturel qui est a la fois un carre et un cube est le carre dun cube (2) — Je suis un nombre different de zero. je suis le carre d un nombre entier. mon double est le cube d un nombre entier. qui suis je ? (2) — Demontrer que tout entier impair est la difference des carres de deux nombres consecutifs (2) — Combien de cube peut on mettre dans un rectangle (2) — Demonstration somme des premiers cube recurrence (2) — Comment trouver le cube d un nombre (2) — Nombres tels que leur cube est egal a leur double (2) — Solution n premiers entier au cube (2) — Le cube dun nombre (2) — Probleme de la somme des cubes (2) — Cube difference carres (2) — Determiner 2 nombres entiers relatifs dont la somme est egale a 1 et la diiference est egale a 3 (2) — Quel sont les nombres dont le carre est egal a 13 (2) — Trouver un entier naturel tel que la somme de son carre et de son cube soit egale a seize fois le nombre entier suivant (2) — Carres et cubes des nombres entiers (2) — Deux nombres entiers consecutifs dont la difference des carres vaut (2) — Passe de carre au cube (2) — Chercher les nombres dont le carre est egale au cube grace a une equation (2) — Comment demontrer un carre dans un cube (2) — Trouver 3 entiers consecutif dont le produit est egal a 5 fois la somme (2) —

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