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 #1 - 05-05-2008 22:28:34

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Carrs et cube

Pouvez-vous décrire la série de paires d'entiers dont la différence des carrés est égale au cube de la différence?


Spoiler : [Afficher le message] Ca, c'est un énoncé bref.
Et sans exemple. 



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 #2 - 05-05-2008 22:33:16

nipon
Pro de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 816

Carréss et cube

Ma réponse est toute aussi brève:lol
Spoiler : [Afficher le message] NON!

 #3 - 06-05-2008 00:56:37

JustineF
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 789

Carrés ett cube

J'ai une mise en équation, et quelques cas concrets, mais je ne sais pas comment déterminer TOUS les cas (si c'est possible)

Spoiler : [Afficher le message] L'énoncé du problème s'écrit :
avec a et b entiers (supposons a >= b)
a²-b² = (a-b)^3
C'est à dire : (a-b)*(a+b) = (a-b)^3.
=> premier groupe de réponse : a=b (a²-b² = (a-b)^3 = 0)
Sinon, on peut diviser par (a-b), et il reste
a+b = (a-b)²
On développe, on fait tout passer du même côté, on obtient :
a² - a*(2b+1) + (b²-b) = 0
bla bla programme de 3ème (voire 4ème, je ne sais plus)
a = (2b + 1 +/- RACINE(8b+1) )/2

Pour avoir des solutions entières, il faut que RACINE(8b+1) soit un entier impair.
Je ne sais pas (plus ?) mettre en équation cette condition.

En tout cas, pour b=1, on obtient a = (2+1+RACINE(9))/2 = 3
----- 3² - 1² = 8 = (3-1)^3
Pour b=3 (RACINE(8*3+1)=5), on obtient a = 6
----- 6² -3² = 27 = (6-3)^3
Pour b=6 (la racine vaut 7), on obtient a = 10
Pour b=10 (la racine vaut 9), et a = 15
Pour b=15 (la racine vaut 11), et a = 21
Pour b=21 (la racine vaut 13), a = 28

Bon, je n'avais fait fait que les deux premiers exemples quand j'ai commencé à écrire cette réponse, mais il semblerait que tous les nombres impairs élevés au carré soit de la forme 8b+1 ??
et qu'avec le bouple (a0=1 ; b0=1)
la suite soit définie par
a(n+1) = an + n + 2
b(n+1) = bn + n = an

Mais je n'arrive pas à faire un raisonnement par récurrence qui tienne la route...
Fiuu, il est tard, et c'est vieux, tout ça... wink


Et je me rends compte que je n'ai regardé que ce qu'il se passait avec le + de mon +/- (dans la solution de mon équation du second degré) hmm


Can we show a little discipline?

 #4 - 06-05-2008 00:58:06

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1567

carrés et cubz

Alors, on a a et b tels que
[TeX]
a^2-b^2 = (a-b)^3\\
(a+b)(a-b) = (a-b)^3
[/TeX]
Deux cas:
1/ Trivial si a=b
2/ Sinon
[TeX]
a+b = (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab\\
b^2 - b(2a+1) + (a^2-a)
[/TeX]
a étant fixé, on trouve b en résolvant l'équation du second degré en b:
[TeX]
\Delta = (2a+1)^2 - 4(a^2-a)\\
\Delta = 8a+1
[/TeX]
Un carré est congru à 1 modulo 8 ssi sa racine est congrue à 1 ou -1.
Soit n un entier quelconque.
Cas 2.a/
[TeX]
(8n+1)^2 = 64n^2+16n+1\\
= 8a+1\ ssi\ a=8n^2+2n=2n(4n+1)\\
b = (16n^2+4n+1 + 8n+1)/2 = 8n^2+6n+1=(2n+1)(4n+1)\\
ou\ b=(16n^2+4n+1 -8n-1)/2=8n^2-2n=2n(4n-1)
[/TeX]
Cas 2.b/
[TeX]
(8n-1)^2 = 64n^2-16n+1\\
= 8a+1\ ssi\ a=8n^2-2n=2n(4n-1)\\
b = (16n^2-4n+1 + 8n-1)/2 = 8n^2+2n=2n(4n+1)\\
ou\ b=(16n^2-4n+1 -8n+1)/2=8n^2-6n+1=(4n-1)(2n-1)
[/TeX]
On a donc l'ensemble des paires suivants:
{(a,a)} U {(2n(4n+1),(2n+1)(4n+1)) pour tout n} U {(2n(4n+1),2n(4n-1)) pour tout n} U {(2n(4n-1),(2n-1)(4n-1)) pour tout n}

 #5 - 06-05-2008 04:22:35

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Carrés e cube

Spoiler : [Afficher le message]
1,3
3,6
6,10
10,15
15,21
21,28
et ainsi de suite...
j'ai deja utilisé cette suite dans une de mes enigmes...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 06-05-2008 09:42:16

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

Carrés et cueb

on a pour solutions evidentes tous les couples. exemple a=b (0,0) ; (1,1) ; (2,2)....
et les couples moins evidents [latex](\sum_{i=0}^{n}{i},\sum_{i=0}^{n+1}{i})[/latex] ou [latex] (\frac{n(n+1)}{2},\frac{(n+1)(n+2)}{2})[/latex] et leurs symetriques
soit pour les premiers termes (0,1)  ; (1,3) ; (3,6) ; (6,10) ; (10,15) ; (15,21) ....

ebauche de preuve :
[TeX](\sum_{i=0}^{n}{i})^2-(\sum_{i=0}^{n+1}{i})^2[/TeX]
=[latex] (\sum_{i=0}^{n}{i}-\sum_{i=0}^{n+1}{i}) (\sum_{i=0}^{n}{i}+\sum_{i=0}^{n+1}{i}) [/latex]
[TeX]=-(n+1)(\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}) [/TeX]
[TeX]=-(n+1)^3[/TeX]
=[latex](\sum_{i=0}^{n}{i}-\sum_{i=0}^{n+1}{i})^3[/latex]


idem pour les symetriques avec le signe - en moins


When i was a child i was a jedi

 #7 - 07-05-2008 21:32:17

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Carrés et cub

Pour une fois, nous avons des réponses variées. big_smile

@Nipon: irréprochable d'un point de vue logique.
@dhrm77: exact, peut-être un peu auto-référent.
Pas très documenté, en relisant certains posts précédents, je vois que celle-là ne t'a pas inspiré.
And, so what... Pas grave.
@JustineF: tu as presque tout, mais, pas totalement rangé.
@perceval: perso, je ferai la différence entre le plus grand et le plus petit pour ne pas me battre avec les signes. C'est tout bon, mais est-on sûr que ce sont les seules?
@scarta: en lisant vite la réponse, je me suis dit qu'est-ce qu'il a vu encore ce coup-là? 
Fortuitement, tu n'as pas recopié un ensemble, et donc pas unifié les 4 derniers ensembles.

Je suis de nature paresseuse, et donc le coup du discriminant ne me va pas.

Je prends le problème comme ça:

a+b et a sont les entiers satisfaisant à la question.
[TeX](a+b)^2 - a^2 = b ^3[/TeX]
[TeX]b(2*a + b) = b^3[/TeX]
Cas n°1
b= 0.  La solution triviale; les suites d'entiers égaux conviennent.

Cas n°2
[TeX]a = \frac{b*(b-1)}{2}[/TeX]
[TeX]a +b = \frac{b*(b+1)}{2}[/TeX]
Et là je me rappelle cette histoire qu'en écrivant les nombres de 1 à n de gauche à droite et de droite à gauche et qu'en les additionnant par colonne j'ai toujours une somme égale à (n+1), donc que la série vaut:
[TeX] \frac{n*(n+1)}{2}[/TeX]
Et là, je prends la solution de perceval.


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(2) — Raisonnement par recurrence nombre impair (2) — Difference entre le cube de 5 et carre de 4 (2) — Carre et cubes de nombres entiers (2) — Cube avec nombre relatifs (2) — Produit des ages et somme carre des ages (2) — Tous le nombres dont le cube est egale a leur double (2) — Le cube de 2 est egal au carre de 3 (2) — Maths carre cube (2) — Le produit des ages est egale a la somme des carres de (2) — Nombre cubique somme de deux nombres carres (2) — Quesque c est un carre pont d un carre pont (2) — Trouver un nombre entier tel que la somme de son carre et son cube soit egale a 9 fois le nombre entier suivant (2) — Entier naturel cube (2) — Somme de carres ages egale aux produits des ages (2) — Suite cube nombre impair recurrence (2) — Cube difference deux carres (2) — Nombres tels que la somme de leurs carres et de leurs double=15 (2) — La difference de deux entiers naturels est 45 (2) — Nombre dont carre est egale cube (2) — Carres et cubes (2) — Demontrer entiers impair peut s ecrire comme la difference des carre de deux netier naturels consecutifs (2) — Un entier naturel a est dit somme de deux carres (2) — En deduire que tout nombre impair est une difference de deux carres consecutifs (2) — Cube d un entier (2) — Jeux carre cube (2) — Cubes de nombres entiers (2) — Carre est egal a combien? (2) — Les differentes facons de faire un cube (2) — Cubes somme de 2 carres (2) — Somme des carres des ages et produit des ages (2) — Montrer par recurrence que la somme des cubes des n premiers entiers naturels (2) — On multiplie par 3 la difference d un nombre et de 10 et on obtient le double de ce nombre (2) — Trouver tous les nombres entiers naturels tels que la difference de leurs carres soit egale (2) — Combien de carres pouvez-vous compter ? (2) — Comment faire un cube avec 6 carres (2) — Somme des carres d entiers consecutifs. (2) — Combien de carres sur 3/6 sur 6 carres (2) — Enigme somme des carrees des entiers naturels (2) — Trouver un nombre entier telle que la somme de son carre et son cube soit egale a 9 (2) — Nombres egaux au carre de leur double (2) — Demontrer que la somme d un nombre entier et son carre est egale a la difference du carre de son suivant et de ce suivant (2) — Demontrer que tout entier naturel impair peut s ecrire comme une differe (2) — La somme de deux nombre vaut 2 et leurs carre 34 (2) — Le carre d un nombre relatif etson cube est ne (2) — Au cube le signe (2) — Trouver deux entiers dont la difference est egale a 2 (2) — Jeu cube carre (2) — Existe t-il des series de 5 entiers naturels consecutifs tels que la somme des carres des deux plus grands soit egales a la somme des carres des deux plus petits (2) — Produit des trois ages vaut la somme du carres des ages (2) — Tout entier naturel impair difference de deux carres (2) — Difference entre son cube et le nombre 1 (2) — Nombre a la fois carre et cubes (2) — Combien fait 2 au cube (2) — Demonstration a+b au cube (2) — 1 metre cube est egale a combien de metre carre (2) — Trouver un nombre entier tel que la somme de son carre et de son cube soit egale a 9 fois le nombre entier suivant. (2) — Cube entier naturel difference de deux carre (2) — Montrer que tout entier naturel impair s ecrit comme une difference de de (2) — Le cube d une somme (2) — Nombre au carre ou au cube (2) — Je suis un nombres deferent de 0 je suis le carre d un nombres entier mon double et le cube d un nombre entier (2) — La difference de deux entier est egale a 7 la somme de leurs carre est egale a 29 (2) — Demontrer que tout impair est la difference des carres de deux nombres entiers consecutifs (2) — Racine au cube (2) — Math placer un nombre entre deux (2) — Combien egale (a-b)^2 (2) — Cube de nombres (2) — Demonstration racine carre (2) — Trouver deux nombres entiers naturels dont la difference des carres est a (2) — Comment resoudre un carre magique avec equation (2) — Reponse jeux nombre de carre (2) — On cherche un nombre dont son double est egal a son carre (2) — Difference de deux carres egale un cube (2) — La difference des carres de deux nombres entiers consecutifs quelconques est un nombre impair (2) — Cubique signe (2) — Trouver deux entiers dont la difference est 2 et la somme des carres est (2) — Comment faire signe cube (2) — Tout nombre entier impair peut s ecrire comme la difference de deux entiers natuels consecutifs (2) — Signes mathematiques cube (2) — Racine cubique 27+6 racine(21) montrer que entier (2) — Pourquoi la difference entre deux carre est toujours un nombre impair (2) — N premier entier au cube (2) — Nombres egaux carre double (2) — Solution math somme cube (2) — Un nombre dont le carre est egale a son cube (2) — Enigme mathematique somme face carre (2) — Cube egal a leur double (2) — Le cube de la difference de deux nombres (2) — 2 metre carre zero huit egale en m3 (2) — Nombre a la fois cube et carre (2) — Ecrire 9 comme une difference de deux carres. demontrer que tout entier natuel impair peut s ecrire comme une difference de deux carres (2) — Demontrons que tout entier impair = difference des carrees de 2 entiers naturels consecutifs (2) — Equation carre cube (2) — Resoudre moins racine carre de 2 au cube (2) — Comment faire la difference d un cube (2) — Demontrer que tout entier impair est la difference des carrees de deux nombres entiers consecutifs (2) — Nombres egaux a la somme des chiffres de leur cube (2) — Trouver deux entiers dont la difference est egale a 2 et dont la somme des carres est egale a 100 (2) — Formule de la difference de 2 cube (2) — Montre que tout nombre entier impair est la difference de 2 nombres consecutifs eleve au carre (2) — Cube magique mathematique (2) — Combien vaut la racine carree d un carre (2) — Au carre au cube (2) — Cubes et recurrence (2) — La somme de deux entiers est de 2 et la somme de leurs carres est 34. trouvez ces deux nombres (2) — La somme du carre des ages est egale au produit (2) — Racine carre de 2 egal combien (2) — Jeux cube carre (2) — Demontrer que la somme d un nombre et de son carre est egale a la difference du carre de son suivant et de ce suivant (2) — Du pied carre egale a combien de metres (2) — Montrer que tout nombre impair est la difference de deux carres entiers (2) — Demontre que tout entier impair peut s ecrire comme la difference des carre de 2 entier naturel consecutif (2) — Difference entre le carre d un nombre relatif et son cube (2) — La difference du cube de deux et de un (2) — Ecrire 27 comme au cube (2) — Difference entre nombres carres consecutifs (2) — Deux entiers naturels dont la difference est 2 et dont la somme des carres est 100 (2) — Difference de cres consecutifs cubes (2) — La difference entre 12 et le cube de a (2) — Liste des nombres carre plus petit que 100 (2) — Deduire que tout nombre impair est une difference de deux carres consecutif (2) — Demonstration que tout nombre impair est une difference de deux carres consecutifs (2) — Je cherche deux carres dont la difference est 9 (2) — Quels sont les entiers naturels que l on peut ecrire comme somme d entiers consecutifs (2) — Enigme je suis le carr? un nombre entier mon double (2) — Demonstration de la somme des carres egal la somme au cube (2) — Entier relatif telle que somme cune et carre egale a 16 fois (2) — Carre de la difference (2) — Ecrire 9 comme une difference (2) — Trouver les nombres tels que leur cube est egal a leur double (2) — Faire le cube de la somme de tous les nombres (2) — Deux nombres dont le carre est 9 (2) — 3m cube egale a combien de m carre (2) — La difference du carre de deux nombres (2) — Trois nombres entiers naturels cons?cutif dont le quotient du produit par la somme est ?gal ? 16 (2) — Je suis un produit de 2 nombres entiers consecutifs (2) — Cube d une somme (2) — Expliquer pourquoi la difference entre deux carres d entiers consecutifs est un nombre impair (2) — Peut on dire que le cube de 2 est egal au carre de 3 (2) — Signe du chiffre cube (2) — Soit 3 carres = 1 cube (2) — Somme metre cube (2) — Demontrer que tout carre impair est somme de deux carre (2) — La difference de la somme de 34 et du double de 72 et du produit de 23 par 4 (2) — Somme des premiers entiers naturels au cube (2) — Montrer par recurrence que la somme des cubes des n premiers (2) — *demontrer que quel que soit le nombre entier n n(n+1)(n-1)+n est le cube d un nombre entier (2) — Somme des carres des n premiers nombres naturels (2) — Pour demontrer que tout entier est impair est la difference des carres de nombres entier consecutif (2) — Le produit des ages est egal a la somme des carre des ages (2) — Resoudre la difference de deux entiers est 7 et la somme de leurs carees est 29 (2) — Tout entier naturel impair s ecrit comme la difference de deux carre (2) — Difference de deux cubes (2) — Demontrer que tout entier impair est la difference des carres de deux nombres entiers consecutif (2) — Effectuer le produit de la difference du double du nombre et de 8 par la somme du nombre et de trois (2) — Difference des carres deux nombres entier consecutif somme deux nombres (2) — La somme de 2 entiers est 2 et la somme de leurs carre est 34 (2) — Combien fait 1au cube (2) — Comment montrer que la somme a+b+c est un nombre entier (2) — Enigme des six cubes (2) — Somme de nombres consecutifs eleves au carre egale a la somme des cubes (2) — Demonter que tout entier impair est la difference des carres de deux nombres entiers (2) — Difference de 2 carre egale a 0 (2) — Son carre est egal a son double (2) — Difference carre et cube (2) — Nombre consecutif carre somme difference (2) — A moins b au cube (2) — Combien de carre vois tu (2) — Je suis un produit de deux nombres entiers consecutif la somme de mes deux nombres est 11 qui suis je ? (2) — On multiplie par 3 la difference d un nombre et de 10 et on obtient alors le double de ce nombre . quel est ce nombre ? (2) — Enigmes racines carrees 3e avec a et b (2) — Je suis un nombre different de zero je suis le carre d un nombre entier mon double est le cube d un nombr entier (2) — Le premier nombre est egal au cube de la somme des chiffres du deuxieme nombre le deuxieme nombre est egal au cube de la somme des chiffres du premier nombre (2) — Trouver 2 entiers dont la difference est egale a 2 donc la somme des carres est egale a 100 (2) — Qu est ce que le cube d un entier (2) — La difference est 7 et la somme de leurs carres 29 (2) — Le cube d un entier naturel peut s ecrire en difference de deux carres (2) — Demontrer que la somme de deux nombres consecutifs quelconques donne toujours un nombre impair? (2) — La somme de deux nombre est egal a sa difference (2) — Enigme des 3 cube (2) — La difference du carre entre deux nombres (2) — 9 fois son carre et son cube math (2) — (a+b) au cube egale? (2) — Montrer que le cube de tout entier naturel peut s ecrire comme la somme de deuc xarres (2) — Trouver deux entiers dont la difference est egale a 2 et dont la somme des (2) — Au carre au cube signe (2) — Trouver des nombres qui sont a la fois un carre et un cube (2) — Demonstration (a+b) au cube (2) — Suite impair de cuble (2) — Comment faire carre de 6/6 au meme nonbre egal (2) — Somme de nombre au cube = somme au carres (2) — 1metre cube egale combien de metre carre (2) — Demontrer que la difference des carres de deux nombres entier consecutifs quelconque est un nombre impair (2) — Demontrer somme des carres par recurrence (2) — Enigme mathematique on cherche un nombre a 4 chiffre carre d un entier et qui a 2 chiffres identiques a gauche (2) — Trouver trois nombres entiers consecutifs tels que la difference entre le carre du (2) — Cube somme carres (2) — B) est-il vrai que (racine cubique de (27+6*racine carre de 21)) + (racine cubique de (27-6*racien carre de 21)) est entier ? (2) — Effectuer le produit de la difference du double du nombre et de 5 par la somme du nombre (2) — Nombre cube egal a son cube (2) — La difference de deux entiers est 7 et la somme de leurs carres est 29. trouver ces nombres (2) — Deduire pourquoi la difference entre deux carres d entiers consecutifs est toujours un nombre impair (2) — Somme et difference des cubes (2) — Enigme somme carre de 2 nombres (2) — Trouvez un nombre entier tel que la somme de son carre et de son cube soit (2) — +difference entre metres carre et mettre cube (2) — Enigme carres (2) — La difference de deux nombre est de 15 math probleme (2) — Differentes facon de faire un cube (2) — Nombres tels que leur cube est egal a leur double (2) — Le cube de 2 est ?gal au carr? de 3 (2) — La somme de 2 entiers est 2 et la somme de leurs carrees est 34 trouvez ces deux nombres (2) — Comment mettre un nombre au cube (2) — Demontrer que la difference des carres de 2 nombres entiers consecutifs est egale a la somme de ces 2nombres (2) — 6 au carre egale (2) — Comment demontrer la difference des carres de deux nombres consecutifs eale a la somme de ces deux nombres (2) — Un entier naturel qui est a la fois un carre et un cube est le carre dun cube (2) — Carres et cubes des nombres entiers (2) — Demontrer que tout nombre entier impair est la difference de deux carres consecutifs (2) — Difference des carres de 2 nombres entier consecutifs egale au cube d un entier relatif (2) — Nomre egaux a leur cube (2) — Carre et cube de nombre entier (2) — Je suis un nombre different de zero. je suis le carre d un nombre entier. mon double est le cube d un nombre entier. qui suis je ? (2) — Combien de cube peut on mettre dans un rectangle (2) — Le cube dun nombre (2) — Demonstration somme des premiers cube recurrence (2) — Comment trouver le cube d un nombre (2) — Solution n premiers entier au cube (2) — Probleme de la somme des cubes (2) — Trouver un entier naturel tel que la somme de son carre et de son cube soit egale a seize fois le nombre entier suivant (2) — Demontrer que tout entier impair est la difference des carres de deux nombres consecutifs (2) — Cube difference carres (2) — Determiner 2 nombres entiers relatifs dont la somme est egale a 1 et la diiference est egale a 3 (2) — Quel sont les nombres dont le carre est egal a 13 (2) — Carre egal (2) — Nombre entre un carre et un cube (2) — Passe de carre au cube (2) — Difference entre deux carres consecutifs (2) — Chercher les nombres dont le carre est egale au cube grace a une equation (2) — Trouver 3 entiers consecutif dont le produit est egal a 5 fois la somme (2) —

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