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 #1 - 05-05-2008 22:28:34

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Carrs et cube

Pouvez-vous décrire la série de paires d'entiers dont la différence des carrés est égale au cube de la différence?


Spoiler : [Afficher le message] Ca, c'est un énoncé bref.
Et sans exemple. 



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 #2 - 05-05-2008 22:33:16

nipon
Pro de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 816

czrrés et cube

Ma réponse est toute aussi brève:lol
Spoiler : [Afficher le message] NON!

 #3 - 06-05-2008 00:56:37

JustineF
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 789

Carrés et ucbe

J'ai une mise en équation, et quelques cas concrets, mais je ne sais pas comment déterminer TOUS les cas (si c'est possible)

Spoiler : [Afficher le message] L'énoncé du problème s'écrit :
avec a et b entiers (supposons a >= b)
a²-b² = (a-b)^3
C'est à dire : (a-b)*(a+b) = (a-b)^3.
=> premier groupe de réponse : a=b (a²-b² = (a-b)^3 = 0)
Sinon, on peut diviser par (a-b), et il reste
a+b = (a-b)²
On développe, on fait tout passer du même côté, on obtient :
a² - a*(2b+1) + (b²-b) = 0
bla bla programme de 3ème (voire 4ème, je ne sais plus)
a = (2b + 1 +/- RACINE(8b+1) )/2

Pour avoir des solutions entières, il faut que RACINE(8b+1) soit un entier impair.
Je ne sais pas (plus ?) mettre en équation cette condition.

En tout cas, pour b=1, on obtient a = (2+1+RACINE(9))/2 = 3
----- 3² - 1² = 8 = (3-1)^3
Pour b=3 (RACINE(8*3+1)=5), on obtient a = 6
----- 6² -3² = 27 = (6-3)^3
Pour b=6 (la racine vaut 7), on obtient a = 10
Pour b=10 (la racine vaut 9), et a = 15
Pour b=15 (la racine vaut 11), et a = 21
Pour b=21 (la racine vaut 13), a = 28

Bon, je n'avais fait fait que les deux premiers exemples quand j'ai commencé à écrire cette réponse, mais il semblerait que tous les nombres impairs élevés au carré soit de la forme 8b+1 ??
et qu'avec le bouple (a0=1 ; b0=1)
la suite soit définie par
a(n+1) = an + n + 2
b(n+1) = bn + n = an

Mais je n'arrive pas à faire un raisonnement par récurrence qui tienne la route...
Fiuu, il est tard, et c'est vieux, tout ça... wink


Et je me rends compte que je n'ai regardé que ce qu'il se passait avec le + de mon +/- (dans la solution de mon équation du second degré) hmm


Can we show a little discipline?

 #4 - 06-05-2008 00:58:06

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

Carrés et cubbe

Alors, on a a et b tels que
[TeX]
a^2-b^2 = (a-b)^3\\
(a+b)(a-b) = (a-b)^3
[/TeX]
Deux cas:
1/ Trivial si a=b
2/ Sinon
[TeX]
a+b = (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab\\
b^2 - b(2a+1) + (a^2-a)
[/TeX]
a étant fixé, on trouve b en résolvant l'équation du second degré en b:
[TeX]
\Delta = (2a+1)^2 - 4(a^2-a)\\
\Delta = 8a+1
[/TeX]
Un carré est congru à 1 modulo 8 ssi sa racine est congrue à 1 ou -1.
Soit n un entier quelconque.
Cas 2.a/
[TeX]
(8n+1)^2 = 64n^2+16n+1\\
= 8a+1\ ssi\ a=8n^2+2n=2n(4n+1)\\
b = (16n^2+4n+1 + 8n+1)/2 = 8n^2+6n+1=(2n+1)(4n+1)\\
ou\ b=(16n^2+4n+1 -8n-1)/2=8n^2-2n=2n(4n-1)
[/TeX]
Cas 2.b/
[TeX]
(8n-1)^2 = 64n^2-16n+1\\
= 8a+1\ ssi\ a=8n^2-2n=2n(4n-1)\\
b = (16n^2-4n+1 + 8n-1)/2 = 8n^2+2n=2n(4n+1)\\
ou\ b=(16n^2-4n+1 -8n+1)/2=8n^2-6n+1=(4n-1)(2n-1)
[/TeX]
On a donc l'ensemble des paires suivants:
{(a,a)} U {(2n(4n+1),(2n+1)(4n+1)) pour tout n} U {(2n(4n+1),2n(4n-1)) pour tout n} U {(2n(4n-1),(2n-1)(4n-1)) pour tout n}

 #5 - 06-05-2008 04:22:35

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Carrrés et cube

Spoiler : [Afficher le message]
1,3
3,6
6,10
10,15
15,21
21,28
et ainsi de suite...
j'ai deja utilisé cette suite dans une de mes enigmes...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 06-05-2008 09:42:16

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

Carrrés et cube

on a pour solutions evidentes tous les couples. exemple a=b (0,0) ; (1,1) ; (2,2)....
et les couples moins evidents [latex](\sum_{i=0}^{n}{i},\sum_{i=0}^{n+1}{i})[/latex] ou [latex] (\frac{n(n+1)}{2},\frac{(n+1)(n+2)}{2})[/latex] et leurs symetriques
soit pour les premiers termes (0,1)  ; (1,3) ; (3,6) ; (6,10) ; (10,15) ; (15,21) ....

ebauche de preuve :
[TeX](\sum_{i=0}^{n}{i})^2-(\sum_{i=0}^{n+1}{i})^2[/TeX]
=[latex] (\sum_{i=0}^{n}{i}-\sum_{i=0}^{n+1}{i}) (\sum_{i=0}^{n}{i}+\sum_{i=0}^{n+1}{i}) [/latex]
[TeX]=-(n+1)(\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}) [/TeX]
[TeX]=-(n+1)^3[/TeX]
=[latex](\sum_{i=0}^{n}{i}-\sum_{i=0}^{n+1}{i})^3[/latex]


idem pour les symetriques avec le signe - en moins


When i was a child i was a jedi

 #7 - 07-05-2008 21:32:17

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Carrés et ube

Pour une fois, nous avons des réponses variées. big_smile

@Nipon: irréprochable d'un point de vue logique.
@dhrm77: exact, peut-être un peu auto-référent.
Pas très documenté, en relisant certains posts précédents, je vois que celle-là ne t'a pas inspiré.
And, so what... Pas grave.
@JustineF: tu as presque tout, mais, pas totalement rangé.
@perceval: perso, je ferai la différence entre le plus grand et le plus petit pour ne pas me battre avec les signes. C'est tout bon, mais est-on sûr que ce sont les seules?
@scarta: en lisant vite la réponse, je me suis dit qu'est-ce qu'il a vu encore ce coup-là? 
Fortuitement, tu n'as pas recopié un ensemble, et donc pas unifié les 4 derniers ensembles.

Je suis de nature paresseuse, et donc le coup du discriminant ne me va pas.

Je prends le problème comme ça:

a+b et a sont les entiers satisfaisant à la question.
[TeX](a+b)^2 - a^2 = b ^3[/TeX]
[TeX]b(2*a + b) = b^3[/TeX]
Cas n°1
b= 0.  La solution triviale; les suites d'entiers égaux conviennent.

Cas n°2
[TeX]a = \frac{b*(b-1)}{2}[/TeX]
[TeX]a +b = \frac{b*(b+1)}{2}[/TeX]
Et là je me rappelle cette histoire qu'en écrivant les nombres de 1 à n de gauche à droite et de droite à gauche et qu'en les additionnant par colonne j'ai toujours une somme égale à (n+1), donc que la série vaut:
[TeX] \frac{n*(n+1)}{2}[/TeX]
Et là, je prends la solution de perceval.


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(2) — Signe cube math (2) — 6 au carre est egale a (2) — Entier naturel tel que la somme de son carre et de son cube soit egal a quatre fois l entier suivant (2) — Somme des n premier terme cube demontrer par recurrence (2) — Demonstration somme d un carre magique (2) — Montrer que pour tout n de n bn=an+2(n-1) pyramide (2) — Demontrer que la difference des carres de deux nombres entiers consecutif est egale a la somme de ces deux nombres (2) — Trouver deux nombres dont la somme est 12 et la difference est 2 (2) — Comment demontrer que a au carre moins b au carre est egal a a+b si a aet b sont deux entiers consecutifs et a plus grand que b? (2) — Trouver un nombre entier tel que la somme de son carre et de son cube soit egal a 9 fois son suivant (2) — Demontrer que tout entier impair est la differences des carres de deux nombres entiers consecutifs (2) — Deux nombres entiers consecutifs dont la difference des carres vaut (2) — La difference des carres de deux nombres entiers consecutifs (2) — Somme carres cube (2) — Somme et difference de deux entiers cubiques (2) — La somme du carre d un nombre et de son double (2) — Nombre premier cube (2) — Determiner deux nombres entiers relatifs dont la somme est egale a 1 et la difference a 3 (2) — Qu est ce que les carres de nombres entiers ? (2) — Montrer que quel que soit l entier n la somme des cubes des n premiers (2) — La difference du carre de 3 et du double de 3 est egale a 3 (2) — Coment ecrire 27 en cube (2) — Le cube de la somme de deux nombres (2) — Comment faire le lien entre le carre et le cube ? (2) — Demontre que tout nombre entier impair est la difference de deux carres consecutifs (2) — Montrer que quel que soit l entier n la somme des cubes des n premiers entiers naturel est egale au carre de leur somme (2) — La somme de deux entier est 2 et la somme de leurs carre est 34 (2) — Solution carre (2) — Nombre entre un carre et un cube (2) — Carre egal (2) — Deduire pourquoi la difference entre deux carres d entiers consecutifs est toujours un nombre impair (2) — La difference de deux entiers est 7 et la somme de leurs carres est 29. trouver ces nombres (2) — Nombre cube egal a son cube (2) — B) est-il vrai que (racine cubique de (27+6*racine carre de 21)) + (racine cubique de (27-6*racien carre de 21)) est entier ? (2) — Effectuer le produit de la difference du double du nombre et de 5 par la somme du nombre (2) — Somme et difference des cubes (2) — Enigme somme carre de 2 nombres (2) — La difference de deux nombre est de 15 math probleme (2) — Enigme carres (2) — +difference entre metres carre et mettre cube (2) — Trouvez un nombre entier tel que la somme de son carre et de son cube soit (2) — Cube somme carres (2) — Trouver trois nombres entiers consecutifs tels que la difference entre le carre du (2) — Suite impair de cuble (2) — Demonstration (a+b) au cube (2) — Trouver des nombres qui sont a la fois un carre et un cube (2) — Trouver deux entiers dont la difference est egale a 2 et dont la somme des (2) — Au carre au cube signe (2) — Comment faire carre de 6/6 au meme nonbre egal (2) — Somme de nombre au cube = somme au carres (2) — Enigme mathematique on cherche un nombre a 4 chiffre carre d un entier et qui a 2 chiffres identiques a gauche (2) — Demontrer somme des carres par recurrence (2) — Demontrer que la difference des carres de deux nombres entier consecutifs quelconque est un nombre impair (2) — 1metre cube egale combien de metre carre (2) — Differentes facon de faire un cube (2) — Nombres tels que leur cube est egal a leur double (2) — Solution n premiers entier au cube (2) — Comment trouver le cube d un nombre (2) — Demonstration somme des premiers cube recurrence (2) — Combien de cube peut on mettre dans un rectangle (2) — Le cube dun nombre (2) — Probleme de la somme des cubes (2) — Trouver un entier naturel tel que la somme de son carre et de son cube soit egale a seize fois le nombre entier suivant (2) — Quel sont les nombres dont le carre est egal a 13 (2) — Determiner 2 nombres entiers relatifs dont la somme est egale a 1 et la diiference est egale a 3 (2) — Cube difference carres (2) — Demontrer que tout entier impair est la difference des carres de deux nombres consecutifs (2) — Je suis un nombre different de zero. je suis le carre d un nombre entier. mon double est le cube d un nombre entier. qui suis je ? (2) — Carre et cube de nombre entier (2) — 6 au carre egale (2) — Demontrer que la difference des carres de 2 nombres entiers consecutifs est egale a la somme de ces 2nombres (2) — Comment mettre un nombre au cube (2) — Le cube de 2 est ?gal au carr? de 3 (2) — La somme de 2 entiers est 2 et la somme de leurs carrees est 34 trouvez ces deux nombres (2) — Comment demontrer la difference des carres de deux nombres consecutifs eale a la somme de ces deux nombres (2) — Un entier naturel qui est a la fois un carre et un cube est le carre dun cube (2) — Nomre egaux a leur cube (2) — Difference des carres de 2 nombres entier consecutifs egale au cube d un entier relatif (2) — Demontrer que tout nombre entier impair est la difference de deux carres consecutifs (2) — Carres et cubes des nombres entiers (2) — Demontrer que la somme de deux nombres consecutifs est egale a la differences des carres de ces deux nombres (2) — Racine carre de deux=1+1/1+x (2) — Que vaut la difference de deux cubes (2) — Recurrence suite impair cube (2) — Deduire que le carre d un nombre impair et un nombre impair (2) — Difference entre son cube et 1 (2) — Somme des n premiers cube (2) — Comment ecrire un nombre au carre b au cube? (2) — somme de cubes demonstration (2) — Divise carre en deux (2) — 9 fois l entier consecutif (2) — Chiffre entre le carre et cube (2) — La difference des carres de deux nombres consecutifs (2) — Diviser la difference des carres de deux nombres (2) — Enigme a different de b et a au carre est egal a b au carre (2) — Produits impairs (4n+1)/(2n+1) (2) — Difference entre cube et le carre (2) — Trouver deux nombres dont le double est egal au cube (2) — Tout les carres egal a leur double (2) — Equation avec des cubes et des carres (2) — Carre egal au cube (2) — Effectuer le produit de la difference du double du nombre et de 6 par la somme du nombre et de 3 (2) — Carre cube signe (2) — Nombre entier naturel tel que la somme de son cube et de son carre soit e (2) — La somme de 2 entier est 2 et la somme de leur carres est 34 (2) — Tout entiers impair est la difference des deux carrees de deux nombres entiers consecutif (2) — Je suis un nombre different de zero. mon carre est un entier. mon double est le cube d un entier. qui suis-je ? (2) — 1 metre carre est egal a combien de metre cube (2) — On multiplie par 3 la difference d un nombre et de 10 et on obtient alors le double de ce nombre (2) — La difference de deux entiers est 7 et la somme de leurs carres est 29. a l aide d une equation de degre 2 determiner ces nombres (2) — Ecris le nombre -21comme difference de 2 carres (2) — Difference math egal 3 (2) — Solution de z au cube egale 1 (2) — 1 metre cube est egal a combien de metre carre (2) — Determiner les nombres egaux a leur cube (2) — Demontrer que tout entier impair est la difference (2) — Nombre entier relatif dont la somme est egale a 1 et la difference a 3 (2) — Expliquer pourquoi la difference entre deux carre (2) — Relation recurrence somme des termes au cube (2) — Determiner les 2 nombres entiers consecutifs dont le produit est egale a 42 (2) — Trouver un nombre entier tel que la somme son carre et de son cube soit (2) — Demontrer que tout entier naturel impair peut s ecrire comme une difference (2) — A+b au cube (2) — Cube difference de carre (2) — La difference entr 12 et le cube de a (2) — Nombres dont leur carre est egale a leur double (2) — Le carre et le cube d un nombre (2) — Quel est la difference entre un cube et un carre (2) — Relation nombre au carre au cube (2) — Montrer que le produit de 3 entier consecutifs n-1n et n+1 et de l entier n est le cube d un entier. (2) — Comment diviser un cube entier en huit (2) — Je suis un produit de 2 nombres entiers consecutifs ; a somme de mes 2 chiffres es 11 (2) — Demontrer que la difference des carres de deux nombres entiers consecutifs est egale a la somme de ces deux nombres (2) — En deduire que tout nombre impair peut s ecrire comme la difference des carres de deux entiers consecutifs (2) — Tout entier impair peut s ecrire comme la difference des carres de deux entiers naturels (2) — Je suis le produit de deux nombres entiers consecutifs la somme de mes deux chiffres et 11 (2) — Demontrer que tout nombre relatif et son cube ont le meme signe (2) — A carre moins b carre (2) — Montrer que quel que soit l entier n la somme des cubes des n premiers entiers natuerls est egale au carre de leur somme (2) — Nous sommes deux entiers la somme est 22 la difference 12 (2) — Un nombre est egal au double de la difference de 9 et de la moitie de 12 (2) — Logique et raisonnement + cube + chiffres 1 a 8 (2) — Difference des carres + nombre premier + nombres consecutifs (2) — Signe du metre carre (2) — Demonstation de la somme magique d un carre (2) — Trouver un entier naturel tel que la somme de son carre et de son cube soit egal a 16 fois le nombre entier suivant (2) — Difference de cube (2) — A au carre b au cube (2) — Combien carres pouvez vous compter (2) — Cube quatre nombre entier naturel consecutif (2) — Nombre au cube (2) — Nombre de carres avec 16 petits carres (2) — Nombre egal la somme des cube de ses chiffres (2) — Montrer que la somme du produit de trois entiers consecutif (n - 1) n et (n + 1) et de l entier n est le cube d un entier reponce (2) — Les nombres dont le carre est egale aux cubes (2) — Cube et carre differance entre les deux (2) — Somme d un nombre et de son cube vaut 1 (2) — Quelle est la difference entre le metre et le metrecarre mathematique (2) — Calcul la difference de 2 nombres a et b dont la somme est gale 468 (2) — Nombre de carre dans un cube (2) — Suite de 9 carres de difference toutes egales (2) — Cube d un nombre entier (2) — A*b = 42 et a-b=1 que vaut a2 - b2 (2) — Effecuer le produit de la difference du double du nombre (2) — La difference entre le carre d un nombre relatif et son cube est de quel signe (2) — Difference au carre egale au cube d un nombre (2) — Le cube d une somme de n termes (2) — Le cube s ecrit comme la difference de deux carres (2) — Cubes et carres (2) — La somme des n premiers entiers au cube : par recurrence (2) — Solution deux nombre entier consecutif n et n+1 (2) — La somme de deux entiers est 4 et la somme de leurs carres est 58 (2) — Demontrer que la difference des carees de deux nombres entiers (2) — Difference des carre vaut 15 (2) — Difference carres deux nombres consecutifs egale somme de ces deux nombres (2) — Nombre dont le double est egale au cube (2) — Demontrer que la difference des carres de 2 nombres consecutifs (2) — Demonstration du produit des racines carre (2) — (2) — La difference de deux entiers est 7 et la somme de leurs carres est 29. trouver ces deux nombres (2) — (2) — Somme des entiers au cube raisonnement par recurrence (2) — Trouver deux entiers dont la diff?nce est ?le a 2 et dont la somme des (2) — La somme de 2 d entiers est 2 et la somme de leurs carre 34 (2) — Ecrire 27 comme au cube (2) — Jeu cube carre (2) — Trouver deux entiers dont la difference est egale a 2 (2) — Au cube le signe (2) — La somme de deux nombre vaut 2 et leurs carre 34 (2) — Le carre d un nombre relatif etson cube est ne (2) — Existe t-il des series de 5 entiers naturels consecutifs tels que la somme des carres des deux plus grands soit egales a la somme des carres des deux plus petits (2) — Produit des trois ages vaut la somme du carres des ages (2) — Combien fait 2 au cube (2) — Nombre a la fois carre et cubes (2) — Difference entre son cube et le nombre 1 (2) — Tout entier naturel impair difference de deux carres (2) — Demontrer que tout entier naturel impair peut s ecrire comme une differe (2) — Demontrer que la somme d un nombre entier et son carre est egale a la difference du carre de son suivant et de ce suivant (2) — Combien de carres pouvez-vous compter ? (2) — Trouver tous les nombres entiers naturels tels que la difference de leurs carres soit egale (2) — On multiplie par 3 la difference d un nombre et de 10 et on obtient le double de ce nombre (2) — Somme des carres des ages et produit des ages (2) — Montrer par recurrence que la somme des cubes des n premiers entiers naturels (2) — Comment faire un cube avec 6 carres (2) — Somme des carres d entiers consecutifs. (2) — Nombres egaux au carre de leur double (2) — Trouver un nombre entier telle que la somme de son carre et son cube soit egale a 9 (2) — Enigme somme des carrees des entiers naturels (2) — Combien de carres sur 3/6 sur 6 carres (2) — Cubes somme de 2 carres (2) — 1 metre cube est egale a combien de metre carre (2) — Difference de deux carres egale un cube (2) — On cherche un nombre dont son double est egal a son carre (2) — Reponse jeux nombre de carre (2) — Trouver deux nombres entiers naturels dont la difference des carres est a (2) — Comment resoudre un carre magique avec equation (2) — La difference des carres de deux nombres entiers consecutifs quelconques est un nombre impair (2) — Cubique signe (2) — Signes mathematiques cube (2) — Tout nombre entier impair peut s ecrire comme la difference de deux entiers natuels consecutifs (2) — Comment faire signe cube (2) — Trouver deux entiers dont la difference est 2 et la somme des carres est (2) — Demonstration racine carre (2) — Cube de nombres (2) — Nombre au carre ou au cube (2) — Le cube d une somme (2) — Montrer que tout entier naturel impair s ecrit comme une difference de de (2) — Trouver un nombre entier tel que la somme de son carre et de son cube soit egale a 9 fois le nombre entier suivant. (2) — Cube entier naturel difference de deux carre (2) — Je suis un nombres deferent de 0 je suis le carre d un nombres entier mon double et le cube d un nombre entier (2) — La difference de deux entier est egale a 7 la somme de leurs carre est egale a 29 (2) — Combien egale (a-b)^2 (2) — Math placer un nombre entre deux (2) — Racine au cube (2) — Demontrer que tout impair est la difference des carres de deux nombres entiers consecutifs (2) — Racine cubique 27+6 racine(21) montrer que entier (2) — Entier naturel cube (2) — Difference entre 2 cubes consecutif (2) — Demontrer que tout entier impairs peut s ecrire comm la difference des carres de deux entier naturels consecutifs (2) — Double carre cube entier (2) —

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