Sauf erreur de calcul, $2^{1197}.3^{897}.5^{672}.7^{399}.11^{133}.13^{22}.17^{15}$ convient pour 2017, et $2^{336}.3^{112}.5^{75}.7^{25}.11^{4}.13^{3}.17.19$ convient pour 2018.

Tu es sûr de la coquille ? 25 concerne 2018 pourtant ?

OK. Je regarderai pour l'optimisation mais ce n'est pas une grosse affaire. Je suis plus intéressé par la question subsidiaire, pour l'instant j'ai bien une idée mais il me reste un cas qui pose problème. Je continue à réfléchir.

Soit N ce nombre.
Son écriture primaire est: N=Produit(pi^ni), et celle de son cube: N³=Produit(pi^3ni)
Le nombre de diviseurs de N est: Produit(ni+1), et celui de son cube: Produit(3ni+1)
On doit donc avoir: Produit(3ni+1) = 2017.Produit(ni+1)
Là je sèche un peu, mais je reviendrai: affaire à suivre.

Je Sais pas comment commencer.

Si $n=\Pi p_i^{a_i}$, alors le nombre de diviseurs de n est $\Pi(a_i+1)$, et celui de n³ est $\Pi(3a_i+1)$. On recherche donc des entiers $a_i$ tels que le coefficient multiplicateur CM soit égal à $\Pi \frac{3a_i+1}{a_i+1}$.

Si CM est multiple de 3, ce n'est pas possible car aucun des $(3a_i+1)$ n'est multiple de 3. Réciproquement, on va montrer que c'est possible si CM n'est pas multiple de 3, par récurrence sur CM : l'idée est que si on part par exemple de 2017, on trouve un certain nombre de $a_i$ qui permettent de se ramener à un CM strictement plus petit (et qui ne soit pas multiple de 3). Par exemple, en prenant $a_1=672$, on se ramène à CM=673 car 673*(3*672+1)/(672+1)=2017. En général, il sera parfois nécessaire de prendre plusieurs $a_i$ d'un coup pour se ramener au CM suivant.

Deux cas sont faciles : si CM=1 mod 9 ou si CM=4 mod 9, on prend $a_i=\frac{CM-1}{3}$. Par exemple, si CM=31, on prend $a_i=10$, et on se ramène à CM=11.

Ensuite, on va régler le cas où CM=2 ou 5 ou 8 mod 9. On écrit alors $CM+1=3^{k-1}.m$ où 3 ne divise par m, donc m=3j+1 ou 3j+2, et il vient $CM=3^{k}.j+(3^{k-1}-1)$ ou $CM=3^{k}.j+(2.3^{k-1}-1)$ avec k>1 et j>=0.

Dans le premier cas, on prend $a_i=5^i.3^{k-i}.j+(5^i.3^{k-1-i}-2)$ pour i entre 1 et k-2, puis $a_{k-1}=2.5^{k-2}.3.j+(2.5^{k-2}-1)$. Dans le deuxième cas, c'est pareil en rajoutant un facteur 2 devant le premier terme de la parenthèse. Je passe les calculs car c'est assez horrible, mais cela permet de se ramener à CM=3j+1 dans le premier cas, et CM=3j+2 dans le deuxième.

Par exemple, si CM=215, on a $CM=3^4.2+(2.3^3-1)$, donc on est dans le deuxième cas avec k=4, j=2. Les formules donnent $a_1=358$, $a_2=598$ et $a_3=399$ ce qui permet de se ramener à CM=8.

Il ne reste plus que le cas où CM=7 mod 9. On commence par prendre $a_1=\frac{4CM-1}{3}$, alors $\frac{3a_i+1}{a_i+1}=\frac{2.CM}{(2CM+1)/3}$. Ce n'est pas suffisant car le facteur 2 au numérateur est en trop.

On écrit alors CM=9j+7 : si j=0 ou 1 mod 3, on prend $a_2=\frac{a_1}{3}$ et on se ramène à CM=j+1. Par exemple, si CM=61, on a 61=9.6+7, donc j=6, on a $a_1=81$, $a_2=27$, et on se ramène à CM=7.

Si j=2 mod 3, cette méthode ne marche pas car alors $a_2+1$ est multiple de 3. On remarque alors que $\frac{2CM+1}{3}=6j+5$ est de la forme 18m-1, donc on reprend la méthode compliquée ci-dessus : on écrit $18m=3^{k-1}.(3j+(1\text{ ou }2))$ et comme 18m est pair, le facteur 3j+(1 ou 2) est pair. La méthode compliquée permet ainsi de se ramener à un CM pair, dont le facteur 2 se simplifiera avec celui qui était de trop.

Par exemple, si CM=79, on obtient d'abord $a_1=105$ ce qui donne $\frac{3a_1+1}{a_1+1}=\frac{2.79}{53}$. Puis on applique la méthode compliquée avec 53, ce qui donne $a_2=88$, $a_3=148$, $a_4=99$ et alors on retombe sur CM=1.

Bon, peu de réponses sur ce sujet. Peut être un peu trop académique ?

On peut lire la solution d'Ebichu qui donne plusieurs solutions possibles parmi les plus petites.

Pour la généralité, Ebichu a donné aussi une réponse, j'ajoute la mienne un peu plus synthétique, pas forcément plus abordable.

Bonne année 2018 @ tous !

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Le nombre de diviseurs d(n) de n est le produit des ( pi+1 ), i de 1 à k, si p1, p2.....pk sont les puissances des nombres premiers de 1 à k qui composent n.
Le nombre de diviseurs d(n^3) de n ^ 3  est le produit des (3pi+1).

Dans quel cas peut on avoir d ( n^3 ) = C d(n) ?

Si d(n) est un multiple de 3, d(n^3) ne peut pas l'être puisque il est +1 modulo 3. C ne doit pas être muliple de 3

Si C est une puissance de 2, alors il suffit que p1 = p2 = ...pk = 1 car dans ce cas, d(n) = 2^k et d (n ^3 ) = 4 ^ k = (2 ^k) * d(n).
Comme toutes les parités de C peuvent être assurées, on ne s'intéresse qu'à C impair.

On peut toujours trouver C dans les autres cas par l'algorithme suivant.

On dit que C = C0 et on le remplacera par C1, puis C2, puis C3.... en opérant ainsi :

1) On cherche le plus petit multiple aC0 ( a = 1, 2, 4 ou 8 ) tel que aC0-1 est divisible par 3 et (aC0-1) / 3 + 1 n'est pas divisible par 3.

2) On recommence l'opération 1) à partir de C1 =( aC0-1) / 3 + 1, ou plus exactement C1 auquel on a ôté ses parités.   

Il faut démontrer que Cx est plus petit que C0 au bout de x itérations, ce qui permettrait à terme d' aboutir à Cx = 1

Cas 1 : C0 = 2 * 3 ^ j * k + 3 ^ j - 2  avec k différent de 1 [3]
C0 non utilisable tel que car (C0-1) / 3 + 1 divisible par 3. Il faut 4*C0.
-Dans d(n^3) : 3 * ( 2^3 * 3^(j-1) k + 2² * 3^(j-1) - 3 ) + 1
-Dans d(n) C1 = 2^3 * 3^(j-1) k + 2² * 3^(j-1) - 2
De la même forme que C0 avec les puissances de 2 incrémentées de 2 points et les puissances de 3 diminuées de 1 point.

On réitère alors l'opération ci dessus jusqu'à la dernière puissance de 3 :
C(j-1) = 2^(2j-1) * 3 k + 2^(2j-2) * 3 - 2. Utilisable directement. 
-Dans d(n^3) : 3 ( 2^(2j-1) * k + 2^(2j-2) -1 ) + 1
-Dans d(n) : C(j) = 2^(2j-1) * k + 2^(2j-2) ---------> 2 k + 1.   
C(j) < C0 et les facteurs pairs utilisés dans les d(n^3) successifs compensés par le dernier d(n).

 
Cas 2 : C0 = 2 * 3^j * k - 1, avec k premier avec 3.
2*C0 amènerait un C1 divisible par 3. On doit donc prendre 8*C0.
8*C0 :
- dans d(n^3) : 3 ( 2^4 * 3 ^ ( j - 1 ) * k  - 3 ) + 1
- dans d(n) C1 = 2^4 * 3 ^ ( j - 1 ) * k - 2--------> 2^3 * 3 ^ ( j - 1 ) * k - 1   
C1 est de la même forme que C0, sauf que la puissance de 2 a été incrémentée de 2 unités, et la puissance de 3 diminuée d'une unité.

L'opération ci-dessus est réitérée jusqu'a épuisement des puissances de 3.
C(j-1) = 2^(2j+1) * 3 k - 1
On utilise alors 2*C(j-1) :
-dans d(n^3) : 3 ( 2^(2j+2) * k - 1 ) + 1
-dans d( n) : C(j) = 2^(2j+2) * k -----> k après suppression des parités.
C(j) < C0 et les facteurs pairs utilisés dans les d(n^3) successifs compensés par le dernier d(n).

Tu as raison, le " il faut " a été ajouté après une courte hésitation en cours de rédaction, sans vraiment de vérification, alors qu'il est inutile.
Je corrige.