Première démo (logique ?) :

Choisir n entiers dans [1 ; a+b] revient à choisir i entiers dans [1 ; a] et n-i entiers dans [a+1 ; a+b], avec i compris entre 0 et n.

Deuxième démo (formelle ?) :
$$(x+1)^a=\sum_{i=0}^a{a \choose i}x^i[/latex]  et de même [latex](x+1)^b=\sum_{j=0}^b{b \choose j}x^j$$
En effectuant le produit de ces deux expressions, on obtient :
$$(x+1)^{a+b}=\sum_{i,j}{{a \choose i}{b \choose j}}x^{i+j}$$
D'autre part, on peut également écrire $(x+1)^{a+b}=\sum_{k}{a+b \choose k}x^{k}$

En identifiant les coefficients en $x^n$ de ces polynômes, on obtient :
$$\sum_{i+j=n}{{a \choose i}{b \choose j}}={a+b \choose n}$$

Bonjour

En fait c'est assez évident si on se souvient que $C_n^p$ est le nombre de parties à $p$ éléments parmi $n$ . $C_{a+b}^n$ est le nombre de parties à $n$ éléments parmi $a+b$ . Or pour prendre n éléments de $A\cup B$ avec $|A|=a$ et $|B|=b$ il faut en prendre $0$ dans $A$ et $n$ dans $B$ ou $1$ dans A et $n-1$ dans $B$ , ... La formule découle directement de là .

Vasimolo

Je pense que l'on obtient cette égalité en identifiant le coefficient de $X^n$ dans l'égalité $(1+X)^a(1+X)^b=(1+X)^{a+b}$.

Le coefficient de $X^n$ dans le membre de gauche s'obtient multipliant 2 à 2 les coefficients des monômes dont la somme des puissances fait n, ce qui donne la somme de produits de gauche et dans le terme de droite, le coefficient de $X^n$ est évidemment $C_{a+b}^n$.

rivas a écrit:

Je pense que l'on obtient cette égalité en identifiant le coefficient de $X^n$ dans l'égalité $(1+X)^a(1+X)^b=(1+X)^{a+b}$.

Le coefficient de $X^n$ dans le membre de gauche s'obtient multipliant 2 à 2 les coefficients des monômes dont la somme des puissances fait n, ce qui donne la somme de produits de gauche et dans le terme de droite, le coefficient de $X^n$ est évidemment $C_{a+b}^n$.

Une démo parfaite comme j'aime. Simple, évidente quand on la voit.