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 #1 - 06-10-2010 22:32:43

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1431

produitq de carrés (difficile)

Comme il semble que les problèmes sur l'arithmétique et la théorie des nombres ont l'air d'avoir le vent en poupe sur le forum ces derniers temps, je vais essayer de vous proposer quelque chose qui va placer la barre assez haut, et vous présenter le PEN.
Il ne s'agit pas du personnage politique qui nous rabâche les oreilles en ce moment tout ça parce que chez lui il y a 15ans il avait un tapis big_smile Le PEN, ou Problems in Elementary Number Theory (personne ne sait où est passé le "T" ??) est une collection de problèmes, mais alors vachement hards
Le plus déconcertant, c'est que les énoncés font rarement plus d'une ligne et ont l'air bête comme chou big_smile

On commence avec le 1er:
Soient x, y et z des entiers positifs, soient a=xy+1, b=xz+1 et c=yz+1.
Montrer que abc est un carré si et seulement si a,b et c sont des carrés.



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 #2 - 07-10-2010 10:21:18

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Produits de carrés (Diffiile)

si a, b et c sont des carrés alors il existe k; k' et k'' tel que a=k²; b=k'² et c=k''² alors abc=(kk'k'')² qui est un carré

abc=(xy+1)(xz+1)(yz+1)=x²y²z²+x²(y+z)+y²(x+z)+z²(y+z)+xy+xz+yz+1

 #3 - 08-10-2010 14:14:50

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

rPoduits de carrés (Difficile)

Je ne vais pas résoudre ce problème difficile mais juste donner un exemple (ce qui n'est déjà pas si facile à trouver!)

Je modifie légèrement la notation proposer pour rendre l'illustration plus aisée
[TeX]x=8
y=6
z=28
\textrm xy+1=49=a^2 ~~~\Longrightarrow ~~a=7
xz+1=225=b^2 ~~\Longrightarrow ~~b=15
yz+1=169=c^2 ~~~\Longrightarrow ~~c=13

(xy+1)(xz+1)(yz+1)=(abc)^2=1365^2[/TeX]
un autre exemple avec x,y,z = (8,15,1)


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 08-10-2010 15:35:30

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1431

Prduits de carrés (Difficile)

@Franck9525: Interessant, tu as trouvé tes exemples comment ?
Surtout le second, c'est une progression arithmétique !

 #5 - 08-10-2010 16:14:19

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Produits de carréss (Difficile)

Comment trouver des exemples?:
C'est relativement simple sur Excel avec trois boutons 'spinner' pour x, y et z
+ un peu de patience et de chance (les exemples ne sont pas si rares)

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-PEN_A1.png

quelques autres exemples intéressants

Code:

x   y   z 
32  7   9
32  7  69
1   3   8
21  3   8
120 3   8

The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 09-10-2010 21:38:24

lolo5444
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 35
Messages : 1

profuits de carrés (difficile)

oui

 #7 - 09-10-2010 22:23:09

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

prodiits de carrés (difficile)

Si je me souviens bien:
"Montrer que abc est un carré si et seulement si a,b et c sont des carrés."
est equivalent a montrer que
1) si a, b, c sont des carrés alors abc est un carré
et
2) si abc est un carré, alors a, b, et c sont des carrés.

Le premier est simple..
si a est un carré, alors a=a1*a1
si b est un carré, alors b=b1*b1
si c est un carré, alors c=c1*c1
donc abc = a1*a1*b1*b1*c1*c1 = a1b1c1*a1b1c1= a1b1b1^2.
Le 2eme est bien moins simple... Je laisse les experts le faire...lol


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 09-10-2010 23:08:09

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1431

produits de carrés (sifficile)

Bravo à tous ceux qui ont tenté de résoudre ce problème (au moins dans un sens).

Voici une démonstration pour les deux sens:

On suppose qu'il existe des triplets x,y,z qui vérifient
* [latex]x \leq y \leq z[/latex].
* (1+xy)(1+yz)(1+xz) est un carré
* 1+xy, 1+yz, 1+xz ne sont pas tous des carrés

Première remarque, si x=0, (1+yz) est a la fois carré et non carré, donc [latex]0 \lt x \leq y \leq z[/latex]

On pose [latex]s = x+y+z+2.x.y.z - 2\sqrt{(1+xy)(1+yz)(1+xz)}[/latex]
s est un  entier puisque sous la racine on a un carré
On pose aussi[latex]s' = x+y+z+2.x.y.z + 2\sqrt{(1+xy)(1+yz)(1+xz)}[/latex]

s et s' sont 2 racines d'une équation du second degré, qu'on va déterminer
[TeX]N^2 -N (s+s') +ss' = 0\\
N^2 -2N(x+y+z+2xyz) + ((x+y+z+2xyz)^2-4(1+xy)(1+xz)(1+yz)) = 0\\
N^2 -2N(x+y+z+2xyz) + (x^2+y^2+z^2 - 2xy -2yz -2xz -4) = 0[/TeX]
S est solution de ce polynôme, qui peut aussi s’écrire de la manière suivante
[TeX]x^2 +y^2 +z^2 +s^2 -2(xy +yz +zx +sx +sy +sz) -4xyzs -4 = 0[/TeX]
On va s’intéresser à
[TeX](x+z-y-s)^2 = x^2 +y^2 +z^2 +s^2 +2xz -2xy -2xs -2yz -2zs +2ys[/TeX]
Du coup, notre polynôme devient
[TeX](x+z-y-s)^2 -4xz -4sy - 4xyzs -4 =0\\
(x+z-y-s)^2 = 4(xz+sy+xysz+1)\\
[/TeX]
Résultat (1.1):
[TeX](x+z-y-s)^2 = 4(xz+1)(sy+1)[/TeX]
De la même manière, on peut s’intéresser à (y+z-x-s) ou a (x+y-z-s) et notre polynôme devient
Résultats (1.2) et (1.3):
[TeX](y+z-x-s)^2 = (x+s-y-z)^2 = 4(yz+1)(sx+1)\\
(x+y-z-s)^2 = 4(xy+1)(zs+1)\\
[/TeX]
On va multiplier nos deux expressions (1.1) et (1.2) entre elles
[TeX](x+s-y-z)^2 (x+z-y-s)^2= 16(xz+1)(yz+1)(sx+1)(sy+1)\\
(xy+1)^2 (x+s-y-z)^2 (x+z-y-s)^2= 16(xz+1)(yz+1)(xy+1) . (xy+1)(sx+1)(sy+1)
[/TeX]
La partie de gauche est un carré, 16 est un carré et (xy+1)(xz+1)(yz+1) est un carré d'après notre hypothèse de départ, donc

Résultat (2):
(xy+1)(sy+1)(sx+1) est aussi un carré


D'après le résultat 1.1, si sy+1 est un carré, alors xz+1 aussi
D'après le résultat 1.2, si sx+1 est un carré, alors yz+1 aussi
D'après nos hypothèses de départ, si xz+1 et yz+1 sont des carrés, alors xy+1 n'en est pas un

Résultat (3):
Au moins un des termes du produit (xy+1)(sy+1)(sx+1) n'est pas un carré


D'apres le résultat 1.3, on a
[TeX](x+y-z-s)^2 = 4(xy+1)(zs+1)\\
zs+1 = \frac{(x+y-z-s)^2}{4(xy+1)}\\
zs+1 >= 0\\
s >= -\frac{1}{z}\\
[/TeX]
Si s=-1, alors x=y=z=1, ce qui est impossible, 8 n’étant pas un carré.
Si s=0, alors d’après les resultats 1.1, 1.2 et 1.3, les trois termes xy+1, yz+1 et xz+1 sont des carrés, ce qui est aussi impossible car contraire à nos hypothèses de départ

Résultat (4):
s>0

Par conséquent, d'après les résultats 2, 3 et 4
Résultat (5):
Si (x,y,z) est un triplet valide, (x,y,s) en est un autre (pas forcément dans cet ordre, puisque l'ordre est une de nos hypothèses, mais bon)

D'autre part, on a
[TeX]ss' = x^2+y^2+z^2 - 2xy -2yz -2xz -4 = \\
ss' = z^2 -x(2z-x) -y(2z-y)-4\\
ss' \lt z^2
[/TeX]
En effet, comme [latex]x \leq y \leq z[/latex], [latex]2z-x \gt 0[/latex] et [latex]2z-y \gt 0[/latex]
De plus, comme s < s', [latex]s^2 \lt z^2[/latex]
Résultat (6)
0<s<z

Du coup, on a quoi ? D'apres les résultats 5 et 6, si (x,y,z) est un triplet valide, (x,y,s) en est un autre, et x+y+z > x+y+s
Si pour un certain n, il existe un triplet x,y,z tel que x+y+z = n, alors il existe un n'<n qui possède aussi un triplet x,y,s tel que x+y+s = n'
D'apres l'argument de la descente infinie, c'est impossible et donc aucun triplet x,y,z de ce genre n'existe.

L'autre sens de la démonstration est trivial (un produit de carrés est un carré)
CQFD

Pour rappel:
la descente infinie est un argument qui dit:
Soit une propriété P sur les entiers naturels, si P(n) => P(n') avec n'<n, alors P est toujours fausse.
Présentée différemment: Si {n / P(n)} est non vide, il admet un plus petit élément p0. Si P(n) => P(n') avec n'<n, alors P(p0) => P(p0') avec p0' plus petit que le plus petit élément, ce qui est absurde.

Petite remarque 1: la grande différence entre les deux cas "1+xy, 1+yz, 1+xz sont / ne sont pas des carres" se situe dans le cas où on elimine s=0 dans cette démonstration
En effet, si on a 3 carrés, alors notre s est nul, et du coup (x,y,s) n'est pas un triplet, donc l'argument de la descente infinie ne peut pas s'appliquer dans ce cas là.

Petite remarque 2: Mais du chapeau de quel magicien ai-je sorti la formule de s ???
Tout simplement du chapeau du plus grands des "mathémagiciens": Euler.
En effet, il s'est un jour interessé au problème suivant:
soit un ensemble d'entiers tels que le produit de deux quelconques d'entre eux soit égal à un carré moins 1
Comment passer d'un ensemble de 3 éléments à 4 éléments? Tout simplement en construisant un tel s.

Petite remarque 3 (sources): Ce problème (tiré du PEN) a été posé et résolu par Kiran S. Kedlaya, du MIT, en 1998 dans Mathematic Magazine

 #9 - 10-10-2010 11:26:18

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

produits fe carrés (difficile)

Salut scarta,

Merci pour ce problème. Il est "passionant" mais trop difficile pour moi smile
J'avais cherché un moment. La condition suffisante (si ce sont 3 carrés, leur produit l'est aussi était évidente) la condition nécessaire était beaucoup plus difficile.

J'avais commencé à travailler sur l'écriture du produit, essayer de ré-écrire pour faire apparaitre des carrés et même tenté l'absurde mais il fallait aller trop loin pour ce qu'il me reste de maths smile

Merci aussi d'avoir pris le temps de tout rédiger.

 #10 - 10-10-2010 12:26:21

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Produits de caarrés (Difficile)

Superbe résolution, d'un problème sur lequel je me suis acharné sans résultat...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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