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 #1 - 10-06-2011 21:19:14

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Avec Les fonctionss ...

Soit [latex]f[/latex] une application de [latex]R[/latex] vers [latex]R[/latex] telle que :
Quelque soit [latex]x[/latex] appartient à [latex]R[/latex] :
[TeX]fofofof(x)=fofof(x)+2x[/TeX]
Déterminez [latex]f(x)[/latex] en fonction de [latex]x[/latex]



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 #2 - 10-06-2011 21:56:53

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Ave cLes fonctions ...

f(x) = a x   avec a^4 = a^3 +2 soit , a=-1 : f(x) = -x


Un doute , je teste donc  x^4= x^3+2  :
L'autre solution, je vous laisse traduire ( merci Wolfram, il ne pouvait pas y en avoir qu'une...):
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-lautresolution.jpg
Le s autres étant imaginaire, on laisse tomber.
PS : remplacer x par a, je me suis trompé dans les variables.

 #3 - 10-06-2011 22:11:46

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Ave cLes fonctions ...

Soit a une solution de l'équation a^4=a^3+2 (cette équation a deux solutions, l'une positive, l'autre négative).
Alors f définie par f(x)=a.x est une solution de ton problème.

Cela donne déjà deux solutions à ce problème. On peut en créer d'autres en "mixant" ces deux solutions.
Par exemple, si on nomme a1 et a2 sont les solutions de a^4=a^3+2. Je pose alors la fonction h:
- si x est un nombre algébrique, alors h(x)=a1.x ,
- si x est un nombre transcendant, alors h(x)=a2.x .

Avec cette méthode, on peut en fait créer une infinité de fonctions solutions à ton problème.

J'espère ne pas avoir été cherché trop compliqué... big_smile

 #4 - 10-06-2011 23:55:29

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

abec les fonctions ...

J'ai pensé à une fonction tout simplement linéaire, de la forme [latex]f(x) = kx[/latex] (qui est bien une application de [latex]\mathbb{R}[/latex] vers [latex]\mathbb{R}[/latex], avec k un réel. En remplaçant l'expression de la fonction dans [latex]fofofof(x)=fofof(x)+2x[/latex], on a :
[TeX]k^4x = k^3x + 2x[/TeX]
[TeX]k^4 - k^3 - 2 = 0[/TeX]
Une solution évidente de l'équation est [latex]-1[/latex]. En factorisant, par [latex](k+1)[/latex], on obtient : [latex]k^4 - k^3 - 2 = (k+1)(k^3 - 2k^2 + 2k - 2)[/latex], et ce ne serait pas étonnant que le polynôme du troisième degré en facteur ait une racine lui aussi. Il n'y a donc pas qu'une fonction qui satisfait à [latex]fofofof(x)=fofof(x)+2x[/latex] smile (et peut-être y a-t-il d'autres fonctions que des linéaires qui conviennent ici tongue).

Quant à moi, je propose [latex]f(x) = -x[/latex]. smile

Alexein41.

 #5 - 13-06-2011 09:48:43

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Avec eLs fonctions ...

On va faire simple : f(x) = -x est une solution smile
En effet, fofofof(x) = x et fofof(x) + 2x = -x + 2x = x

J'en ai une autre: f(x) = [latex]\frac{x.(\sqrt[3]{3\sqrt{33}+17}+2-\sqrt[3]{3\sqrt{33}-17})}{3}[/latex]
Les sceptiques vérifieront par eux-mêmes smile

 #6 - 13-06-2011 12:00:28

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Avec es fonctions ...

je proposerais bien :[latex]f(x)=-x[/latex]smile

La solution n'est pas unique, si on note [latex]\lambda[/latex] l'unique réel racine de [latex]P=X^3-2X^2+2X-2[/latex] alors [latex]f(x)=\lambda x[/latex] fonctionne aussi :
[TeX]fofofof(x)-fofof(x) = \lambda^4 x - \lambda^3 x[/TeX]
[TeX]=x(\lambda^4-\lambda^3)[/latex]   (*)

Par ailleurs, [latex]\lambda[/latex] vérifie :
                    [latex](\lambda+1)(\lambda^3-2\lambda^2+2\lambda-2)=0[/TeX]
donc (en développant) :
[TeX]\lambda^4-\lambda^3=2[/TeX]
En revenant à (*) il reste :
                  [latex]fofofof(x)-fofof(x) = 2x[/latex] lol

 

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