f(x) = a x   avec a^4 = a^3 +2 soit , a=-1 : f(x) = -x


Un doute , je teste donc  x^4= x^3+2  :
L'autre solution, je vous laisse traduire ( merci Wolfram, il ne pouvait pas y en avoir qu'une...):

Le s autres étant imaginaire, on laisse tomber.
PS : remplacer x par a, je me suis trompé dans les variables.

J'ai pensé à une fonction tout simplement linéaire, de la forme $f(x) = kx$ (qui est bien une application de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$, avec k un réel. En remplaçant l'expression de la fonction dans $fofofof(x)=fofof(x)+2x$, on a :
$$k^4x = k^3x + 2x$$
$$k^4 - k^3 - 2 = 0$$
Une solution évidente de l'équation est $-1$. En factorisant, par $(k+1)$, on obtient : $k^4 - k^3 - 2 = (k+1)(k^3 - 2k^2 + 2k - 2)$, et ce ne serait pas étonnant que le polynôme du troisième degré en facteur ait une racine lui aussi. Il n'y a donc pas qu'une fonction qui satisfait à $fofofof(x)=fofof(x)+2x$ (et peut-être y a-t-il d'autres fonctions que des linéaires qui conviennent ici ).

Quant à moi, je propose $f(x) = -x$.

Alexein41.

je proposerais bien :$f(x)=-x$

La solution n'est pas unique, si on note $\lambda$ l'unique réel racine de $P=X^3-2X^2+2X-2$ alors $f(x)=\lambda x$ fonctionne aussi :
$$fofofof(x)-fofof(x) = \lambda^4 x - \lambda^3 x$$
$$=x(\lambda^4-\lambda^3)[/latex]   (*) Par ailleurs, [latex]\lambda[/latex] vérifie :                     [latex](\lambda+1)(\lambda^3-2\lambda^2+2\lambda-2)=0$$
donc (en développant) :
$$\lambda^4-\lambda^3=2$$
En revenant à (*) il reste :
                  $fofofof(x)-fofof(x) = 2x$