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 #26 - 09-09-2013 23:17:12

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

[Analysee] Produits de fonctions trigo

Bon allez, ça ne mange pas de pain finalement après quelque simplification visuelle la démonstration est rapide :



Au passage je démontre de manière inutile certes mais c'est toujours sympas tant qu'on y est que [latex]\prod_{k=1}^{89} tan(k)=1[/latex]

En effet on remarque que [latex]sin(k°)=cos(90°-k°)[/latex] donc [latex]\prod_{k=1}^{89} sin(k)=\prod_{k=1}^{89} cos(k)[/latex] d'où le résultat.



Bref dans la suite pour que personne ne soit dérangé par le symbole degré ° tous les angles seront en degré sans le symbole. smile

On a [latex]sinx*sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=sinx*cosx=\frac{1}{2}sin2x[/latex] et
[TeX]sinx*sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\frac{1}{4}sin3x[/TeX]
On en déduit que :
[TeX]sin(1)sin(89)=\frac{1}{2}sin(2)[/TeX]
[TeX]sin(2)sin(88)=\frac{1}{2}sin(4)[/TeX]
[TeX]\vdots[/TeX]
[TeX]sin(44)sin(46)=\frac{1}{2}sin(88)[/TeX]
On fait le produit avec [latex]sin(45)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex]

On a [latex]p'=\frac{1}{2^{44}}\left(\prod_{k=1}^{44} sin(2k)\right)sin(45)=\frac{1}{2^{44.5}}\left(\prod_{k=1}^{44} sin(2k)\right)[/latex]



De même
[TeX]sin(2)sin(88)=\frac{1}{2}sin(4)[/TeX]
[TeX]\vdots[/TeX]
[TeX]sin(44)sin(46)=\frac{1}{2}sin(88)[/TeX]
Donc [latex]p'=\frac{1}{2^{66.5}}\left(\prod_{k=1}^{22} sin(4k)\right)[/latex]

La liste des angles de cette dernière expression est (4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,84,88)

On fait un tableau, (je ne sais pas les faire avec les codes, si un modo c'est faire je lui en serait très reconnaissant car ce serait alors bien mieux présentable big_smile )

x    60-x     60+x    | 3x
4     56        64       |12
8     52        68       |24
12   48        72       |36
16   44        76       |48
20   40        80       |60
24   36        84       |72
28   32        88       |84


D'où [latex]p'=\frac{1}{2^{80.5}}\left(\prod_{k=1}^{7} sin(12k)\right)sin(60)[/latex]

x    60-x     60+x    |3x
12   48        72       |36
24   36        84       |72


Donc [latex]p'=\frac{1}{2^{84.5}}sin(36)sin(72)sin(60)=\frac{3}{2^{86.5}}sin(36)sin(72)[/latex]

De plus [latex]sin\left(\frac{\pi}{5}\right)sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5}}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{4}[/latex]


D'où le résultat : [latex]\prod_{k=1}^{90} sin(k)=\frac{3\sqrt{5}}{2^{88.5}}[/latex]

Ce qui achève la démonstration.


Shadock big_smilebig_smilebig_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

#0 Pub

 #27 - 10-09-2013 01:21:59

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

[[Analyse] Produits de fonctions trigo

Joli ! smile

Ce que j'ai dit dans mon poste précédent c'est doublement n'importe quoi.
car si l'entier k est en degré, alors un moment donné on tombera sur [latex]\sin 180 = 0[/latex], et donc le produit sera nul sad .

Mais peut être qu'en faisant le produit en degré en supprimant les termes qui sont multiples de 180, pour la limite on arrive au même résultat qu'en radian ?

Je crois que je vais aller dormir avant de dire une autre bêtise.


Il y a sûrement plus simple.

 #28 - 10-09-2013 18:43:53

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

[Analyse] Produits de fonctios trigo

Merci, mais ça n'a rien d’extraordinaire avec le recul le plus dur c'est de ce dire qu'on peut exprimer ce produit à partir de relations "simples" entre les angles et leurs multiples de 2 et de 3, à une constante près. smile

Maintenant j'aimerai bien que lol37 poste la solution de son énigme parce que ça m’intéresse ! big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #29 - 10-09-2013 19:36:10

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

[[Analyse] Produits de fonctions trigo

Pour le produit de tangentes, fais attention quand même car [latex]\tan 90°[/latex] n'est pas défini !


Il y a sûrement plus simple.

 #30 - 10-09-2013 22:26:00

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

[nalyse] Produits de fonctions trigo

Oui c'est vrai, je ne l'avais même pas remarqué avec la notation. C'est assez "piégeux (orth ???)" même quand on sait s'en servir finalement.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #31 - 11-09-2013 09:55:05

lol37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 68

[analyse] produits de gonctions trigo

shadock : tu peux quand même regarder mon indice, je ne vais pas poster de solutions alors que d'autres certainement tentent d'en trouver une.

 #32 - 11-09-2013 20:15:55

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

[Analyse] Produits de foncitons trigo

Depuis le temps qu'ils cherchent ça m'étonnerai... ou rajoute des indices parce que c'est chaud ton truc... smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #33 - 12-09-2013 10:05:50

lol37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 68

[Analyse] Produits de fonctions trig

tu peux commencer à résoudre l'indice !

 #34 - 20-09-2013 20:05:23

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

[Analyse] Produits de fonctions trig

C'est reparti les mecs big_smile (et les filles aussi hein big_smile big_smile )


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #35 - 22-09-2013 14:11:25

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

[analyse] produits de fonctiond trigo

Pour la preuve de l'indice j'ai trouvé ça :

Indice pour prouver l'indice wink :
http://epsilon.2000.free.fr/Csup/ssgroupesdeR.pdf

Solution de l'indice :
www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analys … sin(n).pdf

Mais je ne vois pas comment ce résultat peut nous permettre d'avancer hmm

Ou si peut-être :
Si on pose [latex]V_n = \prod_{i=1}^n k\sin n[/latex],  et [latex]W_n = \sin n[/latex]
Alors l'indice nous dit que pour un [latex]a[/latex] tel que [latex]{1\over k}< a < 1[/latex], il existe une sous-suite [latex]W_{\phi(n)}[/latex] qui converge vers [latex]a[/latex].

Cela signifie qu'il existe un [latex]b>{1\over k}[/latex] tel que à partir d'un certain rang N on a [latex]b < W_{\phi(n)}[/latex]

Pour tout [latex]m > N[/latex] on a :
[TeX]V_{\phi(m)} = \prod_{i=1}^N kW_{\phi(i)} * \prod_{i=N+1}^m kW_{\phi(i)}[/TeX]
Donc si on pose [latex]K=\prod_{i=1}^N kW_{\phi(i)}[/latex] on a :
[TeX]V_{\phi(m)} = K * \prod_{i=N+1}^m kW_{\phi(i)} > K*\prod_{i=N+1}^m kb = K * (kb)^{m-N}[/TeX]
comme [latex]b > {1\over k}[/latex] cela veut dire que [latex]kb > 1[/latex] donc [latex](kb)^{m-N}[/latex] diverge quand m tend vers

l'infini et donc [latex]V_{\phi(m)}[/latex] aussi.

Ainsi la suite [latex]V_n[/latex] à une sous-suite divergente et donc diverge.

Ce raisonnement est-il correcte ??


Il y a sûrement plus simple.
 

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