SabanSuresh
non, ma spécialité  est génie électrique ;mais malgré ça j'aime la geométrie;
et si tu veux la répense je peut te la donner par un sms

Vous pouvez m'appeler Saban tout court. Je posais cette question car de nombreuses personnes viennent demander de l'aide pour leurs DM et partent dès que la solution ait été donnée et la plupart du temps, ce sont des nouveaux avec 0 énigmes résolues et quelques messages seulement. Je suis désolé si je vous ai offenser.

En ce qui concerne l'énigme, vous pouvez la modifier en fixant une période x (entre 1 et 255 h) durant laquelle les réponses seront cachées. Comme cela, plusieurs personnes peuvent répondre et vous serez le seul à voir les réponses.


Edit : Moi non plus, je n'ai pas compris la question.

Ca ressemble à un histoire de maximum. La longueur de l'ensemble des oeufs est une suite croissante. Cette suite admet-elle un maximum (auquel cas on aurait la plus courte longueur jamais atteinte)?

Si c'est cela. Il suffit d'étudier la série:

2a + a + a/2 + .... + a/2^n+..... =2a +a x (Somme n=1 à infini de (1/2)^n)

Cette série est bien convergente mais mes souvenirs de fac sont trop loin, je ne suis plus sûr  elle doit converger vers 2 il me semble ce qui donnerait une longueur minimale de 4a.

Fito11235 a écrit:

Ca ressemble à un histoire de maximum. La longueur de l'ensemble des oeufs est une suite croissante. Cette suite admet-elle un maximum (auquel cas on aurait la plus courte longueur jamais atteinte)?


Si c'est cela. Il suffit d'étudier la série:

2a + a + a/2 + .... + a/2^n+..... =2a +a x (Somme n=1 à infini de (1/2)^n)

Cette série est bien convergente mais mes souvenirs de fac sont trop loin, je ne suis plus sûr  elle doit converger vers 2 il me semble ce qui donnerait une longueur minimale de 4a.

Bienvenu:)
la langueur AB est un sup non max parce que le appartient à l'ensemble des langueurs atteintes (s'elle existe)."d'après  les premiers cours d'Analyse de 1er année".
La réponse est fausse.

Franky1103 a écrit:

Je pense avoir compris. On a une succession de N oeufs elliptiques. Quand N tend vers l'infini, les dimensions du N-ième oeuf tendent vers zéro, mais la valeur de la longueur totale du train d'oeufs tend vers une valeur finie. Laquelle ?

J'ai commencé par calculer la distance entre le centre du 1er oeuf et celui du 2ème, mais je me suis perdu dans de lourds calculs qui m'ont donné mal à la tête.
J'y reviendrai plus tard: affaire à suivre ...

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Oui c'est ça
tu as comprend le problème
mais le problème n'est pas trop compliqué il suffit un BON IMAGINATION

Je prend un repère centré sur la première ellipse avec l'axe Oy vers le bas (pour avoir des valeurs positives) et j'appelle m l'abscisse du centre de la seconde ellipse.
Equation première ellipse: (x/a)²+(y/b)²=1
Equation seconde ellipse: [(x-m)/(a/2)]²+[(y-b/2)/(b/2)]²=1
Par simplification je pose: X=x/a; Y=y/b et k=m/a
Equation première ellipse: X²+Y²=1, qui donne Y=V(1-X²)
Equation seconde ellipse: (X-k)²+(Y-1/2)²=1/4
Je cherche maintenant l'intersection de ces deux ellipses, ce qui va me donner m.
Je trouve: (4k²+1).X²-4k(k²+1).X+k²(k²+2)=0
Pour avoir une racine double en X, le discriminant D doit être nul:
D/4=4k²(k²+1)²-k²(k²+2)(4k²+1)=0, ce qui donne après développement:
D/4=-k²(k²-2), d'où: k=V2

AB/a=(V2)+(V2)/2+(V2)/4+(V2)/8+...+(V2)/(2^n)
soit: AB/a=(V2).[1/2+1/4+1/8+...+1/(2^n)]
dont la limite (pour n infini) est: AB/a=2V2, d'où: AB=2V2.a
Le train d'oeufs complet a une longueur de: a+AB=(1+2V2).a

Je pense que c'est [latex]AB=2\sqrt2 *a[/latex]

En effet, distordons verticalement pour avoir des cercles.
La distance horizontale entre les centres de deux cercles consécutifs
ayant pour rayons 2 et 1 est [latex]\frac{\sqrt{3²-1²}}1[/latex]

Le point limite B est le centre commun à toutes les homothéties.

Bonjour !

Par affinité orthogonale on se ramène à des cercles, ce qui ne change pas [latex]AB[/latex].
Notons [latex]c[/latex] la distance du centre du 1er cercle au point supérieur du second cercle.
Par Pythagore on a la relation
[TeX]c^2=\left(a+\frac{a}{2}\right)^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2[/TeX][TeX]c^2 = \left(\frac{9}{4}-\frac{1}{4}\right)a^2[/TeX][TeX]c^2 = 2a^2[/TeX][TeX]c = a\sqrt{2}[/TeX]
Alors on a
[TeX]AB=c+\frac{c}{2}+\frac{c}{4}+\cdots+ \frac{c}{2^n}+\cdots[/TeX]
[TeX]AB=2c[/TeX][TeX]AB=2a\sqrt{2}[/TeX]
Voilà !

la suite est  finie, c'est évident puisque la somme des (1/2)^n lorsque n tend vers l'infini tend vers 2 et que les centres des deux ellipses sont plus rapprochées que si leur centre se situait la meme droite.
Le probleme et je n'y arrive pas est le delta X deux ellipses!
tout ce que je peut dire c'est que d<2a, a etant le grand axe de la premiere ellipse.

Cette homothétie verticale qui transforme les ellipses en cercles est astucieuse. Je ne l'ai pas vue, mais j'aurais dû m'en douter, puisque le petit axe disparait rapidement dans mes lourds calculs.

On peut procéder ainsi pour prouver que les centres sont alignés avec B.
On note I le centre d'homothétie des 2 premiers cercles (c'est le point d'intersection des 2 tangentes communes aux cercles). On sait que la droite passant par les centres de ces 2 cercles passe aussi par I.
L'homothétie de centre I de de rapport 1/2 transforme le 1er cercle en le second cercle, et le second cercle en le 3ème cercle, etc
Par suite les 2 tangentes sont communes à tous les cercles.
Et de plus B=I.

Bien masab
et on peut aussi calculer AB "pour eviter la somme geometrique  " comme la suite:

soit O1 et D les centres des premiers cercles et p la projection de D sur AO
en connaissant la distance entre les premiers cercles = V2*AO
alors
tan(OA,OB)=PO/OP=AB/OA ==>AB=OA*PO/OP
PO=V2*AO
OP=AO-AO/2=AO/2
Donc : AB=2*V2*AO