Considérons d'abord le cas avec des droites.
Pour n droites, on sait déjà que le maximum de régions est [latex]\dfrac{n(n+1)}2+1[/latex]

Maintenant on va essayer de passer de droites à anti-segments en minimisant la perte de régions :
chaque passage provoque un trou qui va dans le meilleur des cas fusionner 2 régions en une seule. Ce meilleur des cas est très facile à obtenir, il suffit de mettre le segment entre 2 intersections.

Le maximum de régions pour n anti-segments est donc :
[TeX]\dfrac{n(n+1)}2+1-n=\dfrac{n(n-1)}2+1[/TeX]
Le résultat pour n=2011 est de :
[latex]\dfrac{2011(2011-1)}2+1=2021056[/latex]

Un peu moins impressionnante est la réponse à la question inverse : combien faut-il au d'anti-segments au minimum pour obtenir 2011 régions ?
Spoiler : [Afficher le message] La réponse est de 64.

Bonjour,

Si les anti-segments se coupent tous dans leur partie évidée, alors il n'y a qu'une seule région. C'est clairement le minimum.

Le maximum est atteint lorsque les parties évidées de chaque anti-segment se trouvent en dehors des points d'intersection. Dans cette configuration, si l'on compare avec le problème des N segments, alors chaque anti-segment enlève une région.

Pour N anti-segments la réponse est donc [ N(N+1)/2 + 1 ] - N
Soit N(N-1)/2 + 1

Application avec N=2011 : résultat = 2 021 056

Klim.

Je dirais n(n-1)/2 +1 secteurs avec n anti segments.
C'est simplement la même formule que pour les droites à laquelle on ôte n. Car quand on transforme une droite en un antisegment, on supprime un secteur, à la condition que le segment ne soit pas à l'intersection de 2 droites.