Arf, une infinité de réponses possibles, bien entendu, mais après le refus de 35-204, c'est 6-204 qui valide.

Comment j'ai procédé ? Facile

Il y a N participants dans la course junior (respectivement senior), et le fils (respectivement le père) est de numéro n. Alors la phrase "la somme des dossards en-dessous de n est la même que la somme des dossards au-dessus de n" se traduit :
[TeX]\sum_{i=1}^{n-1} i = \sum_{i=n+1}^N i[/TeX]
Je réécris la somme de droite :
[TeX]\sum_{i=1}^{n-1} i = \sum_{i=1}^N i - \sum_{i=1}^n i[/TeX]
Je passe la dernière somme à gauche du signe égal, et je développe ces sommes :
[TeX]\sum_{i=1}^{n-1} i + \sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^N i[/TeX][TeX]\frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} = \sum_{i=1}^N i[/TeX][TeX]n^2 = \sum_{i=1}^N i[/TeX]
Le nombre qui est de chaque côté de ce "égal" est donc à la fois un nombre carré et un nombre triangulaire. Ouais, un nombre carré triangulaire, en gros :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_car … iangulaire

Cette page explique comment trouver tous les carrés triangulaires, et on peut retrouver simplement les valeurs de n et N (notés respectivement s et t chez Wikiwiki) correspondantes. Il y a donc deux numéros de brassard possibles pour le fils, 6 sur 8 et 35 sur 49, et le plus petit possible pour le père est 204 sur 288.

Premier étage pour le fils: le 6 avec 8 concurrents.
Deuxième étage, je cherche.

Bonjour,
Soient N le numéro de dossard du fils (ou du père) et C le nombre de coureurs de la catégorie.
S1 = 1 + 2 + ... + (N-1) = N(N-1)/2
S2 = (N+1) + (N+2) + ... + (N+C-N) = N(C-N) + 1 + 2 + ... + (C-N)
soit S2 = N(C-N) + (C-N)(C-N+1)/2 = (C-N)(C+N+1)/2
On a S1 = S2 et je crois qu'on ne va pas éviter le développement:
N²-N = C²+CN+C-CN-N²-N d'où finalement N = V[C(C+1)/2]
Soit C est impair; C et (C+1)/2 doivent être des carrés parfaits et je trouve (N=35; C=49) comme unique solution, hormis le cas trivial de (N=1; C=1).
Soit C est pair; C/2 et C+1 doivent être des carrés parfaits et je trouve deux solutions (N=6; C=8) et (N=204; C=288).
En définitive, je trouve trois solutions, hormis le cas trivial unitaire.
Bonne journée.
Frank

Edit: La case-réponse valide "6-204" mais pas "35-204" pourtant correct aussi.

6/8 et 204/288

N^2 + N = 2n^2  et donc, on a déja 6 49 288 1681 ... je remarque que les termes suivants sont donnés par

(n2 - n1 )^2

ex : 49-8=41 41^2=1681
... il reste à le prouver.

La question demandée est ramenée aux solutions: 1+8n² est un carré parfait.
Or soient 2 nombres A et B et tels que 1+2A²=B²
C'est vrai pour A=2 et B=3
C'est facile de montrer par récurrence qu'il en est de même pour (3A+2B;4A+3B) et apparemment pas d'autres solutions.
La suite des (A, B) solutions est donc infinie. Il faut remarquer que A est tjs pair.
donc 1+2A²=1+8(A/2)² tjs entier.
La suite des (A,B) est: (2,3)(12;17)(70;99)(408;577)(2378;3363)......
Les numéros des dossards qui conviennent sont les A/2:
6, 35, 204, 1189,.....

rivas a écrit:

Encore des bonnes réponses mais pas encore de formule générale ni de démonstration complète (ce que j'ai appelé le deuxième étage).

A la recopie de Wikipedia près, j'ai donné la formule générale, non ?

On cherche les couples (X,N) tels que 1 <= X <= N et la somme des entiers de 1 à X-1 est égale à celle des entiers de X+1 à N

Autrement dit,
[TeX]\frac{N.(N+1)}{2} - \frac{X.(X+1)}{2} = \frac{X.(X-1)}{2}[/TeX]
[TeX]N.(N+1) = 2X^2[/TeX]
[TeX]N^2+N-2X^2 = 0[/TeX]
C'est un polynôme du second degré en N, on calcule son discriminant, qui doit valoir un carré parfait pour avoir des solutions entières, on le notera D²
D² = 1+8X²
8X² + 1 - D² = 0
C'est un polynôme du second degré en X cette fois; on va calculer son discriminant aussi, qu'on notera Y².
Y² = 32 D² - 32
Y² est donc un multiple de 32, et donc de 64 puisque c'est un carré, et du coup Y multiple de 8; on notera Z = Y/8
2Z² = D²-1
D² - 2 Z² = 1
C'est ce qu'on appelle une équation de Pell. Pour la résoudre, on cherche une solution triviale: ici c'est 3 et 2 car 9-2*4 = 1
Ensuite, on peut obtenir une formule pour trouver toutes les solutions grâce à ça:
[TeX]D = \frac{(3+2\sqrt{2})^n + (3-2\sqrt{2})^n}{2}[/TeX]
[TeX]Z = \frac{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}[/TeX]
pour tout n entier

A partir de là, on retrouve Y = 8Z, X = Y/16 = Z/2; et N=(D-1)/2
NB: il existe une formule de récurrence pour trouver les solutions de l'équation de Pell, et elle nous permet de nous assurer que D est toujours impair et Z toujours pair dans notre cas. Les premières solutions D0 et Z0 sont 3 et 2, impaires et paires; supposons que toutes les solutions le soient aussi jusqu'au rang k, la solution suivante pour D est Dk*D0 + 2*Zk*Z0 impair et pour Z=Dk*Z0+Zk*D0 qui est pair.

Conclusion: les numéros de dossards X pour des ensembles de N coureurs sont:
[TeX]X = \frac{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n}{4\sqrt{2}}[/TeX]
[TeX]D = \frac{(3+2\sqrt{2})^n + (3-2\sqrt{2})^n-2}{4}[/TeX]
Les 15 premières solutions sont:

X=1, N=1
X=6, N=8
X=35, N=49
X=204, N=288
X=1189, N=1681
X=6930, N=9800
X=40391, N=57121
X=235416, N=332928
X=1372105, N=1940449
X=7997214, N=11309768
X=46611179, N=65918161
X=271669860, N=384199200
X=1583407981, N=2239277041
X=9228778026, N=13051463048
X=53789260175, N=76069501249

Excellente et très complète réponse de scarta.
Bonne réponse numérique de NickoGecko aussi.

Bonjour,
Merci pour cette énigme (et sa solutuion).
J'en étais arrivé à: 2N² = C² + C
Et comme N=1 et C=1 sont solutions,
on a: 2N² - 2.1² = C² - 1² + C - 1
soit: 2(N-1)(N+1) = (C-1)(C+2)
mais je ne suis pas arrivé à conclure.
Quant aux équation de Pell, j'en étais loin.
Bonne soirée.
Frank