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 #1 - 13-12-2011 12:11:35

rivas
Elite de Prise2Tete
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jeu dr dossards

Voici encore un petit exercice amusant issu du magazine Tangente du bimestre dernier (et qui vient lui aussi d'un des nombreux concours).

C'est un exercice à 2 étages. A vous de choisir lequel dans lequel vous embarquez...

Un père et son fils participent à une course à pied, chacun dans sa catégorie.
Chaque coureur a un dossard de sa catégorie et dans chaque catégorie les dossards sont numérotés sans "trou" dans la numérotation et à partir de 1.
Le fils dit à son père: "C'est amusant, la somme des numéros des dossards plus petits que le mien est la même que celle des dossards plus grands que le mien".
"Bien observé" répond le père. "Vous n'êtes pas très nombreux dans ta catégorie, mais ce qui est amusant c'est que c'est exactement la même chose dans la mienne bien que nous soyons plus de 200".

Quels sont les numéros des dossards du fils et de son père?
La case réponse valide la réponse de la forme "X-Y" (sans guillemets).

Question subsidiaire: Combien de solutions existe-t-il? Comment les trouver toutes (autrement qu'avec excel ou un programme)?

Amusez-vous bien.



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 #2 - 13-12-2011 12:31:20

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Jeu de dosards

Arf, une infinité de réponses possibles, bien entendu, mais après le refus de 35-204, c'est 6-204 qui valide.

Comment j'ai procédé ? Facile big_smile

Il y a N participants dans la course junior (respectivement senior), et le fils (respectivement le père) est de numéro n. Alors la phrase "la somme des dossards en-dessous de n est la même que la somme des dossards au-dessus de n" se traduit :
[TeX]\sum_{i=1}^{n-1} i = \sum_{i=n+1}^N i[/TeX]
Je réécris la somme de droite :
[TeX]\sum_{i=1}^{n-1} i = \sum_{i=1}^N i - \sum_{i=1}^n i[/TeX]
Je passe la dernière somme à gauche du signe égal, et je développe ces sommes :
[TeX]\sum_{i=1}^{n-1} i + \sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^N i[/TeX][TeX]\frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} = \sum_{i=1}^N i[/TeX][TeX]n^2 = \sum_{i=1}^N i[/TeX]
Le nombre qui est de chaque côté de ce "égal" est donc à la fois un nombre carré et un nombre triangulaire. Ouais, un nombre carré triangulaire, en gros :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_car … iangulaire

Cette page explique comment trouver tous les carrés triangulaires, et on peut retrouver simplement les valeurs de n et N (notés respectivement s et t chez Wikiwiki) correspondantes. Il y a donc deux numéros de brassard possibles pour le fils, 6 sur 8 et 35 sur 49, et le plus petit possible pour le père est 204 sur 288.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 13-12-2011 12:50:36

rivas
Elite de Prise2Tete
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Jeu de dossrads

Bravo à Mathias en très grand forme. smile

 #4 - 13-12-2011 12:57:54

racine
Elite de Prise2Tete
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Jeu de odssards

Premier étage pour le fils: le 6 avec 8 concurrents.
Deuxième étage, je cherche.

 #5 - 13-12-2011 13:02:07

franck9525
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eu de dossards

Il y a une solution lorsque la somme des dossards est un carré.

N(N+1)=2C²

Ceci ce produit avec 8, 49, 288,... participants. Le dossard 'central' est alors 6, 35, 204,... Ici la réponse est 6-204.

Je ne vois pas a priori de maximum, le nombre de réponse pourrait être infini.


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 13-12-2011 13:48:51

Franky1103
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jeu de dossardq

Bonjour,
Soient N le numéro de dossard du fils (ou du père) et C le nombre de coureurs de la catégorie.
S1 = 1 + 2 + ... + (N-1) = N(N-1)/2
S2 = (N+1) + (N+2) + ... + (N+C-N) = N(C-N) + 1 + 2 + ... + (C-N)
soit S2 = N(C-N) + (C-N)(C-N+1)/2 = (C-N)(C+N+1)/2
On a S1 = S2 et je crois qu'on ne va pas éviter le développement:
N²-N = C²+CN+C-CN-N²-N d'où finalement N = V[C(C+1)/2]
Soit C est impair; C et (C+1)/2 doivent être des carrés parfaits et je trouve (N=35; C=49) comme unique solution, hormis le cas trivial de (N=1; C=1).
Soit C est pair; C/2 et C+1 doivent être des carrés parfaits et je trouve deux solutions (N=6; C=8) et (N=204; C=288).
En définitive, je trouve trois solutions, hormis le cas trivial unitaire.
Bonne journée.
Frank

Edit: La case-réponse valide "6-204" mais pas "35-204" pourtant correct aussi.

 #7 - 13-12-2011 14:26:21

rivas
Elite de Prise2Tete
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jey de dossards

Si vous trouvez 2 solutions pour le fils, vous pouvez interpreter: "Vous n'êtes pas très nombreux dans ta catégorie" comme signifiant que la réponse attendue est la plus petite des 2.
smile

 #8 - 13-12-2011 16:53:56

gwen27
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Jeu d edossards

6/8 et 204/288

N^2 + N = 2n^2  et donc, on a déja 6 49 288 1681 ... je remarque que les termes suivants sont donnés par

(n2 - n1 )^2

ex : 49-8=41 41^2=1681
... il reste à le prouver.

 #9 - 13-12-2011 18:40:51

halloduda
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jeu de dossatds

La case réponse valide 6-204.
La valeur 35 convient aussi (mais "vous n'êtes pas très nombreux").

Dossard D parmi N.
[TeX]\frac {D(D-1)}2=\frac {N(N+1)}2-\frac {D(D+1)}2[/TeX][TeX]N(N+1)=2D^2[/TeX]
[TeX]N^2+N-2D^2=0[/latex].

Le discriminant [latex]1+8D^2[/latex] de l'équation en N doit être un carré parfait.

Les premiers couples N, D sont
8,       6
49,    35
288,  204

Question subsidiaire :

Il ne semble pas y en avoir d'autres.
J'y reviendrai si je peux le démontrer.


EDIT
Ce problème a une infinité de solutions.
Le vecteur (D, A, 1) peut se calculer à partir du vecteur (0, 1, 1)
en le multipliant par les puissances successives d'une matrice
qui conserve la forme quadratique 8y²-y²+1=0.
[latex]\begin {pmatrix} D \\ A \\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&c \\d&e&f\\0&0&1\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}[/TeX]
Cela donne les valeurs successives de D :
8*D²+1=A²
8*0²+1=1²
8*1²+1=3²
8*6²+1=17²
8*35²+1=99²
8*204²+1=577²
etc...
J'ai oublié les détails pour obtenir cette matrice à partir des premières valeurs
de D et A.

 #10 - 13-12-2011 20:00:38

nodgim
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Jeu de ossards

La question demandée est ramenée aux solutions: 1+8n² est un carré parfait.
Or soient 2 nombres A et B et tels que 1+2A²=B²
C'est vrai pour A=2 et B=3
C'est facile de montrer par récurrence qu'il en est de même pour (3A+2B;4A+3B) et apparemment pas d'autres solutions.
La suite des (A, B) solutions est donc infinie. Il faut remarquer que A est tjs pair.
donc 1+2A²=1+8(A/2)² tjs entier.
La suite des (A,B) est: (2,3)(12;17)(70;99)(408;577)(2378;3363)......
Les numéros des dossards qui conviennent sont les A/2:
6, 35, 204, 1189,.....

 #11 - 14-12-2011 14:53:37

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

jeu de dossardd

Encore des bonnes réponses mais pas encore de formule générale ni de démonstration complète (ce que j'ai appelé le deuxième étage).
Spoiler : Indice Il faut chercher du coté des équations diophantiennes et d'un genre particulier de celles-ci

Je corrige mon commentaire ci-dessus, Mathias a donné un lien vers une page qui donne la formule générale des solutions.

 #12 - 14-12-2011 15:29:29

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

eu de dossards

rivas a écrit:

Encore des bonnes réponses mais pas encore de formule générale ni de démonstration complète (ce que j'ai appelé le deuxième étage).

A la recopie de Wikipedia près, j'ai donné la formule générale, non ? smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #13 - 15-12-2011 10:46:17

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

jeu de dossardd

Bonjour,

Soit n le numéro du dossard
Soit x le nombre de coureurs
n et x entiers, on peut même poser n>1 et de fait x>2


alors on veut [(n-1)n]/2 = [x(x+1)]/2 - [n(n+1)]/2
soit
2n² = x²+x

soit x²+x-2n²=0

Le discriminant de cette équation du second degré en x est 1+8n²
Il est strictement positif quelque soit n entier

L'équation admet des solutions positives de la forme [-1+racine(1+8n²)]/2
On veut de plus que ces solutions soient entières, ce qui s'obtient pour

dossard n=       6 et alors x=     8 coureurs
dossard n=     35 et         x=   49 coureurs
dossard n=   204 et         x=  288 coureurs
dossard n= 1189 et         x= 1681 coureurs
.....


La case réponse valide 6-204 ...


Comment trouver les solutions entières à partir de [-1+racine(1+8n²)]/2 autrement que par le calcul ?

On veut donc [-1+racine(1+8n²)] pair
soit racine(1+8n²) impair et entier


.....
A creuser de ce côté là ....

A bientôt,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #14 - 15-12-2011 11:18:56

scarta
Elite de Prise2Tete
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jeu de dosqards

On cherche les couples (X,N) tels que 1 <= X <= N et la somme des entiers de 1 à X-1 est égale à celle des entiers de X+1 à N

Autrement dit,
[TeX]\frac{N.(N+1)}{2} - \frac{X.(X+1)}{2} = \frac{X.(X-1)}{2}[/TeX]
[TeX]N.(N+1) = 2X^2[/TeX]
[TeX]N^2+N-2X^2 = 0[/TeX]
C'est un polynôme du second degré en N, on calcule son discriminant, qui doit valoir un carré parfait pour avoir des solutions entières, on le notera D²
D² = 1+8X²
8X² + 1 - D² = 0
C'est un polynôme du second degré en X cette fois; on va calculer son discriminant aussi, qu'on notera Y².
Y² = 32 D² - 32
Y² est donc un multiple de 32, et donc de 64 puisque c'est un carré, et du coup Y multiple de 8; on notera Z = Y/8
2Z² = D²-1
D² - 2 Z² = 1
C'est ce qu'on appelle une équation de Pell. Pour la résoudre, on cherche une solution triviale: ici c'est 3 et 2 car 9-2*4 = 1
Ensuite, on peut obtenir une formule pour trouver toutes les solutions grâce à ça:
[TeX]D = \frac{(3+2\sqrt{2})^n + (3-2\sqrt{2})^n}{2}[/TeX]
[TeX]Z = \frac{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}[/TeX]
pour tout n entier

A partir de là, on retrouve Y = 8Z, X = Y/16 = Z/2; et N=(D-1)/2
NB: il existe une formule de récurrence pour trouver les solutions de l'équation de Pell, et elle nous permet de nous assurer que D est toujours impair et Z toujours pair dans notre cas. Les premières solutions D0 et Z0 sont 3 et 2, impaires et paires; supposons que toutes les solutions le soient aussi jusqu'au rang k, la solution suivante pour D est Dk*D0 + 2*Zk*Z0 impair et pour Z=Dk*Z0+Zk*D0 qui est pair.

Conclusion: les numéros de dossards X pour des ensembles de N coureurs sont:
[TeX]X = \frac{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n}{4\sqrt{2}}[/TeX]
[TeX]D = \frac{(3+2\sqrt{2})^n + (3-2\sqrt{2})^n-2}{4}[/TeX]
Les 15 premières solutions sont:

X=1, N=1
X=6, N=8
X=35, N=49
X=204, N=288
X=1189, N=1681
X=6930, N=9800
X=40391, N=57121
X=235416, N=332928
X=1372105, N=1940449
X=7997214, N=11309768
X=46611179, N=65918161
X=271669860, N=384199200
X=1583407981, N=2239277041
X=9228778026, N=13051463048
X=53789260175, N=76069501249

 #15 - 15-12-2011 11:49:22

scarta
Elite de Prise2Tete
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Jeu de dossrds

En partant de la formule de récurrence des solutions de l'équation de Pell, on peut aussi définir des solutions (X,N) par récurrence; car même si la formule générale est quand même plus rapide pour trouver la n-ième solution, la formule de récurrence est plus simple à calculer pour trouver la solution suivante:
[TeX](X_0,N_0) = (1,1)[/TeX]
[TeX](X_{z+1},N_{z+1}) = (3X_z+2N_z+1,4X_z+3N_z+1)[/TeX]
On retrouve les couples précédents: (1,1); (6,8); (35,49); (204,288); etc...

 #16 - 15-12-2011 14:35:19

rivas
Elite de Prise2Tete
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jzu de dossards

Excellente et très complète réponse de scarta.
Bonne réponse numérique de NickoGecko aussi.

 #17 - 17-12-2011 17:00:16

rivas
Elite de Prise2Tete
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eJu de dossards

Il n'y a pas grand-chose à rajouter.
En raccourci, la solution consiste à trouver et résoudre [latex]2D^2=N(N+1)[/latex] en entiers avec 1<D<N.
Pour cela, on peut se ramener à une équation de Pell-Fermat pour laquelle on peut trouver une formule donnant toutes les solutions (et il y en a donc une infinité).

Cela a été très bien fait ci-dessus.

Pour le passage de l'équation ci-dessus à celle de Pell-Fermat, j'ai utilisé une approche légèrement différente et plus arithmétique. Puisqu'il m'a semblé qu'il y a des amateurs ici, je vous la livre.

Soit p un facteur premier de D différent de 2. Ce facteur figure à une puissance paire dans D^2 et ne peut être présent que dans N ou dans N+1 mais pas dans les 2 car N et N+1 sont premiers entre eux. Il se retrouve donc avec sa puissance paire dans N ou N+1.
N ou N+1 est pair. Ce qui est écrit ci-dessus s'applique aussi à N/2 ou (N+1)/2 pour le facteur premier 2 .
Donc (N/2 et N+1) ou (N et (N+1)/2) suivant la parité de N sont tous 2 des carrés.
Supposons N pair.
On a [latex]N=2p^2[/latex] et [latex]N+1=q^2[/latex], soit [latex]q^2-2p^2=1[/latex].

Dans le cas N impair on a [latex]N+1=2p^2[/latex] et [latex]N=q^2[/latex] d'où [latex]q^2-2p^2=-1[/latex].

Voici comment je me ramène à une équation de Pell-Fermat.
Pour ceux que ça intéresse: http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quat … ell-Fermat

Merci à tous de votre participation.

 #18 - 17-12-2011 17:30:39

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Jeeu de dossards

Bonjour,
Merci pour cette énigme (et sa solutuion).
J'en étais arrivé à: 2N² = C² + C
Et comme N=1 et C=1 sont solutions,
on a: 2N² - 2.1² = C² - 1² + C - 1
soit: 2(N-1)(N+1) = (C-1)(C+2)
mais je ne suis pas arrivé à conclure.
Quant aux équation de Pell, j'en étais loin.
Bonne soirée.
Frank

 

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