Non, c'est impossible
On note le premier nombre p/q et le deuxième r/s. En les mettant sous le même dénominateur on obtient ps/qs et qr/qs, leur somme est donc (ps+qr)/(qs) et l'inverse de leur produit est (qs²/psqr)
Si on pose a=qs b=ps et c=rq, on obtient (a+b)/c=c²/(ab)
soit c^3=(a+b)ab  c est le cube d'un nombre entier. Si a et b sont premiers entre eux(et donc premiers avec (a+b), alors ils sont également les cubes de trois entiers, que l'on note respectivement d, e et f
On a donc a+b=f^3 donc d^3+e^3=f^3 D'après le théorème de fermat, il n'y a pas de solutions donc il n'existe pas de nombres rationnels dont la somme est égale à l'inverse du produit.
S'ils ne sont pas premiers, on peut noter g leur pgcd tel que a=a'g et b=b'g
Donc c^3=(a'g+b'g)a'gb'g=g(a'+b')a'b'g²=g^3(a'+b')a'c'
(c^3)/(g^3)=(c/g)^3=(a'+b')a'b' avec a' et b' premiers entre eux (donc premiers avec a'+b') Ils sont donc les cubes de trois entiers. On retombe également sur une équation du type x^3+y^3=z^3, qui est insoluble!

Salut !
Je ne vois pas pour le moment le rapport avec Fermat...
On a : a+b=1/(a*b)
soit : b*a^2 + b^2*a -1 = 0
équation dont le déterminant vaut b^4+4b.
Ce déterminant est négatif uniquement
J'en déduis qu'il existe 2 solutions pour tout b rationnel hors de l'intervalle [-cubert(4);0] et 1 seule à la limite.
Par symétrie, on a le même résultat avec a.
Les seules valeurs de a et b pour lesquelles il n'y aurait pas solution sont sur ]-cubert(4);0[ x ]-cubert(4);0[.

Exemple :
Si b=2, déterminant=24, a1=(-2+sqrt(6))/2 et a2=(-2-sqrt(6))/2

@Franky : Pourquoi [latex]p(p^3+4q^3)[/latex] ne peut être un carré que lorsque p divise q ?

Vasimolo

Désolée, je n'ai pas trop détaillé et j'ai remplacé des b par des c par inattention...
Je reprends : on avait c^3=(a+b)ab
Si a et b ne sont pas premiers entre eux, alors on note g leur PGCD et on peut écrire a=a'g et b=b'g avec pgcd(a',b')=1
PGCD(a',b')=PGCD(a'+b',b')=PGCD(a'+b',a')=1 Donc a'+b', a' et b' sont premiers entre eux.

En revenant à l'équation de départ, on a c^3=(a'g+b'g)a'gb'g et donc c^3=(a'+b')a'b'(g^3)  Ainsi g^3 divise c^3 et donc (c^3)/(g^3) est un entier, que l'on peut écrire aussi (c/g)^3, qui est donc le cube de l'entier c/g.
On a bien (c/g)^3=(a'+b')a'b'   Puisque le produit des facteurs a'+b', a' et b' est un cube et que ceux-ci sont premiers entre eux, alors chacun de ces facteurs est un cube. on note a'=d'^3 et b'=e'^3    a'+b' est également un cube donc :
a'+b'=f'^3 et a'+b'=d'^3+e'^3

d'^3+e'^3=f'^3 D'après le théorème de fermat, c'est impossible.

@Nodgim : attention a et k ne sont pas forcément entiers et il me semble qu'il y a une erreur de signe dans ton discriminant .
@Nolina : c'est bon

Vasimolo

A dire vrai je ne comprends pas tes notations : cubert ?

As-tu bien saisi que les solutions devaient être rationnelles , dans [latex]\mathbb{Q}[/latex] ?

Vasimolo

Il manque un petit point (facile à combler)  à la preuve de Vasimolo : justifier que l'on peut choisir [latex]m[/latex] et [latex]n[/latex] premiers entre eux.

@Cogito : il ne faut pas oublier que [latex]xy(x+y)=1[/latex]

Vasimolo

Comme on ne se bouscule pas pour répondre ...

Supposons que [latex]d[/latex] soit choisi avec un nombre de facteurs premiers minimal : [latex]m=dx[/latex] et [latex]n=dy[/latex] .

Soit [latex]p[/latex] un facteur premier de [latex]m[/latex] et [latex]n[/latex] . comme [latex]d[/latex] est minimal , [latex]p[/latex] ne divise pas [latex]d[/latex] alors [latex]V(x)>0[/latex] , [latex]V(y)>0[/latex] et [latex]V(x+y)>0[/latex] , [latex]V[/latex] désignant la valuation p-adique . Mais alors [latex]V[xy(x+y)]=V(1)>0[/latex] , ce qui est faux donc [latex]m[/latex] et [latex]n[/latex] sont premiers entre eux .

Vasimolo

Il ne s'agît tout de même que Fermat dans le cas [latex]n=3[/latex] qui est connu depuis très longtemps .

Mais si tu as une autre démo , tu peux la proposer

Vasimolo