On doit prouver que pour tout entier [latex]n\geq 1[/latex], il existe un entier impair  [latex]a_n[/latex] tel que
[TeX]3^{2^n}=1 + a_n\,2^{n+2}[/TeX]
Prouvons-le par récurrence. La relation est vraie pour n=1 car
[TeX]3^2 = 9 = 1+1\times 2^3[/TeX]
Supposons la relation vraie pour un entier [latex]n\geq 1[/latex] fixé. Alors
[TeX]3^{2^{n+1}}=(3^{2^n})^2[/TeX]
[TeX]3^{2^{n+1}}=(1 + a_n\,2^{n+2})^2[/TeX]
[TeX]3^{2^{n+1}}=1 + a_n\,2^{n+3}+ a_n^2\,2^{2n+4}[/TeX]
[TeX]3^{2^{n+1}}=1 + ( a_n+ a_n^2\,2^{n+1} )\,2^{n+3}[/TeX]
On pose [latex]a_{n+1}=a_n+ a_n^2\,2^{n+1}[/latex] qui est bien impair.

La récurrence est terminée !

Bravo Masab pour ces 2 belles preuves.
Curieusement , j'avais fait une réponse à ta 1ère preuve, mais elle n'a pas été enregistrée....
La preuve à laquelle je pensais est encore différente, moins directe.
Dans l'expression (1+2)^(2^n), le 5ème terme est toujours impair modulo 2^(n+2). Le 1er terme est 1, la somme des second et troisième est paire et le 4ème est pair même modulo. Tous les termes au delà du 5ème sont pairs.
A part le 1, il n'y a donc qu'un seul impair modulo 2^(n+2). Donc l'expression 3^(2^n) -1 n'est pas divisible par 2^(n+3).

En effet, je n'ai pas détaillé.
(1+2)^(2^n)=
1+
(2^n)*2+
(2^n)*(2^n-1)/(1*2)*2²+
(2^n)(2^n-1)(2^n-2)/(1*2*3)*2^3+
(2^n)(2^n-1)(2^n-2)(2^n-3)/(1*2*3*4)*2^4+
.....

Regroupons les 2 ème et 3 ème termes :
(2^(n+1))(1+2^n-1)=2^(n+1)*2^n est bien pair modulo 2^(n+2).

Maintenant pour les coeff:
C(2^n,a)=(2^n)(2^n-1)---(2^n-a+1)/(1*2*...a)

Or pour tout 1<k<a, (2^n-k) et k ont même puissance de 2. La puissane de 2 de C(2^n,a) est donc celle de 2^n/a. 

Pour le 4 ème terme on en déduit: 2^(n+4) comme puissance de 2, donc coeff pair modulo 2^(n+2).
Pour le 5ème terme: 2^(n+2) comme puissance de 2----->coeff impair modulo 2^(n+2).

Pour les autres termes, on trouve facilement qu'ils sont tous pairs modulo 2^(n+2).

J'avais trouvé ça remarquable, d'où l'énigme proposée.

Aussi oui pour cette variante. Tu as achevé en fait ce que je n'avais pas écrit formellement.

Une conséquence de ça, c'est qu'une puissance de 3, si elle est écrite en base 2 et qu'elle comprend 2n chiffres, si on compare le nombre constitué par les  n premiers chiffres avec celui des n derniers, ce sont obligatoirement 2 nombres différents. ...

D'une manière plus générale, j'éprouve un sentiment de profonde ignorance en regardant une puissance de 3 en base 2: Il y a à peu près équilibre entre les 0 et les 1, il y a statistiquement un rapport d'environ 2 entre le nombre de 1 et le nombre de groupes de 1, et on est incapable de prouver quoi que ce soit. On est également incapable de montrer que les écarts entre une puissance de 3 et la puissance de 2 immédiatement supérieure sont à chaque fois différents et globalement en croissance exponentielle.