Enigmes

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 #1 - 02-09-2010 21:57:50

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Trop de zeros....

Bonsoir,

Pas vraiment une énigme mais plutôt un peu d'arithmétique amusante smile
Par combien de 0 se termine 2010! ?
Même ceux qui ne connaissent pas la "formule" ont une bonne chance de trouver en trouvant d'abord le Haha! (hommage à lui). Ne vous découragez pas.

Au fait, ce n'est pas un devoir que j'essaye de faire faire, je n'ai plus l'age smile

Bonne chance.
PS: Question subsidiaire à qui s'adresse cet hommage?



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 #2 - 02-09-2010 22:19:17

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

rop de zeros...

http://ecx.images-amazon.com/images/I/4153V5N56SL._SL500_AA300_.jpg


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 02-09-2010 23:10:03

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3820
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Trop de zerso...

Bonsoir,
[TeX]2010! = 1 * 2 * 3 * 4 * ... * 2010[/TeX]
On peut aussi écrire : [latex]2010! = 5 * 10 * 15 * ... * 2005 * 2010 * N[/latex] (avec N premier avec 5)
D'où [latex]2010! = 5^4^0^2 * 1 * 2 * 3 * ... * 401 * 402 * N[/latex]
On peut aussi écrire : [latex]2010! = 5^4^0^2 * 5 * 10 * ... * 400 * N'[/latex] (avec N' premier avec 5)
On continue à isoler les puissances de 5 : [latex]2010! = 5^4^0^2 * 5^8^0 * 1 * 2 * ... * 80 * N'[/latex]
De fil en aiguille : [latex]2010! = 5^4^0^2 * 5^8^0 * 5^1^6 * 5^3 * N''[/latex] (avec N"" premier avec N)
[TeX]2010! = 5^5^0^1 * N""[/TeX]
Ces 501 puissances de 5, multipliées par leur équivalent en puissance de 2 généreront 501 zéros.

Hommage :
http://fashioneedsme.fr/wp-content/uploads/2009/10/Levis5010193.jpg


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #4 - 03-09-2010 07:48:22

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1927
Lieu: UK

Trop de zerso...

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-zeroinfact.png


The proof of the pudding is in the eating.

 #5 - 03-09-2010 08:01:18

Golfc
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 803

Trop de zeros....

Par combien de 0 se termine 2010!

GETA -> traduction en français : La somme des entiers de la division de 2010 par 5 et ses puissances.

On arrive donc à 501.

Edit : correction du phrasé. smile


Le temps est sage, il révèle tout. (Θαλής)

 #6 - 03-09-2010 09:33:38

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

trop de zerps...

Il y en a  [2010 / 5] + [2010 / 25] + [2010 / 125] + [2010 / 625] + [2010 / 3125] + ... (mais bon passé 625, c'est toujours 0)
Soit 501 au total.
L'hommage est aux jeans Levis ?

 #7 - 03-09-2010 11:05:29

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Trop de zeroos...

[TeX]2010! = k \times 10^{n}[/TeX]
Et le nombre [latex]n[/latex] est la réponse. En remarquant que 10 est le produit de 2 et 5 (niveau Terminale S au bas mot), il "suffit" de savoir combien de facteurs 2 et 5 sont impliqués dans le produit des nombres de 1 à 2010.

A vue de nez, le facteur 2 sera immensément plus commun que le facteur 5 : vu qu'un nombre sur 2 est pair (niveau MPSI), ça nous fait plus de 1005 fois le facteur 2.

Le facteur 5 apparaît une fois tous les 5 nombres, une fois de plus tous les 25 nombres, une fois de plus tous les 125 nombres, et une fois en plus en plus tous les 625 nombres (niveau Bac+5 en maths appliquées).

Ca nous fait :
- 402 nombres divisibles par 5
- plus 80 nombres divisibles par 25 (qui font partie des 402 précédents)
- plus 16 nombres divisibles par 125 (même remarque)
- plus 3 nombres divisibles par 625 (encore la même remarque)


Soit 501 apparitions uniques du facteur 5 dans le calcul de 2010! (en sommant les nombres précédents, niveau Doctorat en sciences fondamentales). Le facteur 2 apparaissant largement plus souvent, l'écriture décimale de 2010! se termine par 501 occurrences du chiffre zéro.

Je sèche sur la question subsidiaire (qui doit pourtant tenir de la recherche Google niveau CE1). En cherchant un peu, j'ai trouvé un des plus grands amateurs de mathématiques récréatives, Martin Gardner, mort en mai de cette année, et un article écrit en son hommage par... Normand Baillargeon. Oh tiens. Le monde est petit.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 03-09-2010 11:40:07

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

trop de zerps...

Bonne réponse de tous.

Kosmogol a une approche différente, il ne répond (bien d'ailleurs) qu'à la question subsidiaire. Indice pour les autres: Spoiler : [Afficher le message] l'hommage n'est pas lié au résultat lui-même mais à un mot du texte .

Une pointe d'ironie de la part de Mathias sur la difficulté du problème smile, je n'ai jamais dit qu'il était difficile. Il faut juste rentrer dedans et certaines personnes pensent à tort que dès que c'est des "Maths" elles n'y arriveront pas, mais d'un autre côté ces personnes ne doivent pas tellement lire ce forum smile

J'aime bien la réponse manuscrite de Franck.

 #9 - 03-09-2010 11:42:00

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Tro pde zeros...

Ce n'est pas de l'ironie quant à la difficulté du problème (avec lequel je me suis régalé), juste de l'auto-foutage de gueule sur ma façon de présenter sérieusement et avec détails un truc que tout le monde sait faire, qui a dégénéré en gros délire tout seul wink Loin de moi l'idée de critiquer !

Par contre, si tu as un indice de plus sur la personne à qui tu rends hommage... ^^'


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 04-09-2010 12:16:14

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3328

Trop de zeros..

1)
on ajoute un zéro à chaque multiple de 5 donc:
2010/5=402
2010/25=80
2010/625=3
Soit déjà 485 zéros mais dans 2010 il y a 201 dizaines ce qui implique que le nombre de zéro se finit par 1 big_smile
Donc le nombre minimal de zéro est 491
Pour les multiples de 2 2010/2=1005 mais il y a des répétitions ce qui donne 1005/2=502.5 qui est le nombre maximal de zéros
Comme le nombre de zéro se termine par un 1 on obtient 501 zéros big_smile

Résonnement (de première S) qui manque encore un peu de maturité mais ça viendra big_smilebig_smile
Et le nom à trouver aucune idée, c'est bien ce que je dit manque de maturité tongue lol
Merci pour cette énigme smile

PS: N'ayant pas les outils en maths pour démontrer cette conjecture je ne sais pas si elle est vraie pour tout les factoriel superieur à 5 mais
Quelque soit n>5, n! se termine par n/4 zéros au maximum.


Et me*** j'avais oublié 125 mad superficialité de société mad


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 04-09-2010 12:32:52

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 947

Trop de zers...

Je suis un fan de Martin Gardner, décédé au début de cette année.

Pour les zéros, il suffit de compter les facteurs 5 puisque les facteurs 2 sont bien plus nombreux.
2010/5=402 pour une première famille de facteurs
2010/25=80 et des poussières, pour des facteurs 5 supplémentaires
2010/125=16 et... pour d'autres
2010/625=3,216 pour les 3 derniers.

Il suffit alors de faire 402+80+16+3=501
http://ecx.images-amazon.com/images/I/4153V5N56SL._SL500_AA300_.jpg En anglais : Aha!


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #12 - 04-09-2010 13:55:31

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3071
Lieu: Au sud du Nord

trop se zeros...

501 en utilisant la méthode de  Philippe Larasse - Marc Demets


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #13 - 05-09-2010 22:53:30

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1927
Lieu: UK

trop dr zeros...

Je viens de faire un peu de recherche pour dénicher le Haha en question et...
je suis tombé sur un site en l'honneur de Martin Gardner

http://www.g4g4.com

Il y a notamment un livre gratuit à télécharger ainsi qu'une page de liens a explorer.  smile  For English reader lol


The proof of the pudding is in the eating.

 #14 - 06-09-2010 00:07:43

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

trop de zerod...

Félicitations à tous ceux qui ont trouvé et aussi à ceux qui ont cherché.
La réponse est bien 501 et la façon d'y arriver est donnée.

L'hommage (le mot Haha!) est bien à Martin Gardner décédé cette année.

 

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