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 #1 - 06-11-2011 18:37:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

Combien de diviseurs a ce noombre ?

Si un nombre est divisible par n'importe quel nombre compris entre 2 et 50, combien de diviseurs au minimum ce nombre a t il ?
Même question si ce nombre est divisible par tout nombre compris entre 51 et 100.

Bon amusement



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 #2 - 06-11-2011 19:16:28

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

combien de duviseurs a ce nombre ?

442368

source = mon boulier big_smile
Spoiler : [Afficher le message]  http://www3.wolframalpha.com/input/?i=n … *43+*47%29 

Et pour la 2ème question, un chti peu plus : 660602880
Spoiler : [Afficher le message]  http://www3.wolframalpha.com/input/?i=n … *89+*97%29 

 #3 - 06-11-2011 19:28:31

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,652E+3

Combien de diviseurs a cee nombre ?

Il a au minimum comme diviseurs le nombre de nombres premiers entre 2 et 50 à une puissance permettant d'atteindre 50

Soit 2^5 x 3^3 x 5^2 x 7^2 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 x 43 x 47 ,
ce qui donne  6x4x3x3x 2^10  +1 = 221185 diviseurs


Entre 51 et 100 , il est au minimum  divisible par

2^6 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 43 47 ...  97  soit 

7x5x3x3x2^21 +1 =  = 660602881 diviseurs minimum.

 #4 - 06-11-2011 19:37:43

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

combien fe diviseurs a ce nombre ?

a)la décomposition du plus petit nombre est [latex]2^5\times3^3\times5^2\times7^2\times11\times13\times17\times23\times29\times31\times37\times41\times43\times47[/latex] et donc il y a [latex]6\times4\times3^2\times2^{10}=221184[/latex]diviseurs au minimum

 #5 - 06-11-2011 19:50:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

Combien de diviseurs a ce nombr ?

OK Tilapiot.
Non Gwen.
Un oubli dans la 3ème réponse.

 #6 - 06-11-2011 21:09:16

papyjac
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 14

combien de diviseurs a ce npmbre ?

Pour les diviseurs entre 2 et 50
le nombre est 3099044504245996706400
il a 442370 diviseurs

Pour les diviseurs de 51 à 100
il y a au moins 660602882 diviseurs

papyjac

 #7 - 06-11-2011 21:59:35

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 699

Combien ed diviseurs a ce nombre ?

1ère question
ce nombre doit être un multiple quelconque de
32*27*25*49*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47

nombre de diviseurs
6*4*3*3*2^11 =  442 368

2ème question
ce nombre doit être un multiple quelconque de
64*81*25*49*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97

nombre de diviseurs
7*5*3*3*2^21 =  660 602 880

 #8 - 06-11-2011 23:08:35

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1475

Combien de diviseurs a ce noombre ?

On écrit la décomposition en nombres premiers de leurs ppcm

Pour le premier, 442368
Pour le second, 660602880

 #9 - 06-11-2011 23:10:47

RRX
Visiteur

Comben de diviseurs a ce nombre ?

Je dirais au moins 16, ceux sont les nombres suivants :

27
29
31
34
37
38
39
41
43
44
45
46
47
48
49
50

Pour la seconde, je n'ai pas encore réfléchi...

 #10 - 06-11-2011 23:48:06

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Combienn de diviseurs a ce nombre ?

Bonsoir,

Il suffit de savoir que le nombre total de diviseurs d'un nombre écrit dans sa décomposition en facteurs premiers sous la forme  [latex]p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \dots p_n^{\alpha_n}[/latex] est [latex](\alpha_1+1)(\alpha_2+1) \dots (\alpha_n+1)[/latex]

Le plus petit nombre N qui est divisible par tous les entiers de 2 à 50 doit avoir pour facteurs premiers tous les nombres premiers inférieurs à 50. Il y en a 15 si je ne me trompe pas. Et les exposants correspondants doivent être simplement les plus grands exposants possibles pour que la puissance reste inférieure à 50.
C'est 5 pour le facteur 2, 3 pour le facteur 3, 2 pour les facteurs 5 et 7 et 1 pour les 11 autres.

Le nombre de diviseurs de cet entier N est donc : [latex]6\times4\times3^2\times2^{11}=442368[/latex]

Pour la deuxième partie, j'ai l'impression que c'est une fausse complication big_smile et que, finalement, c'est la même chose que de s'intéresser à tous les entiers inférieurs à 100.

Il y a 25 facteurs premiers inférieurs à 100.
l'exposant maximum de 2 est 6, celui de 3 est 4 et les autres sont inchangés.
Le nombre de diviseurs est donc :
[TeX]7\times5\times3^2\times2^{21}=660602880[/TeX]

 #11 - 07-11-2011 00:06:51

dhrm77
L'exilé
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

combien de diviseurs a ce nombrr ?

1) Si N est divisible par n'importe quel nombre entre 2 et 50, il est forcement divisible par : 2^5, 3^3, 5^2, 7^2, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47.
Si on combine tous ces diviseurs dans toutes les configuration possible, on obtient: 2^14*3^3 = 442368 combinaisons possibles. Donc ce nombre a au minimum 442368 diviseurs (en incluant 1 et lui-meme, ou 1 et 3099044504245996706400)
2) pour [51-100], je dirais 2^21*3^2*5*7 = 660602880 diviseurs en incluant 1 et lui-meme.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #12 - 07-11-2011 06:26:34

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Combien de diviseurs a ce nmbre ?

Bonjour !


1ère question
Un nombre est divisible par n'importe quel nombre compris entre 2 et 50, combien de diviseurs au minimum ce nombre a t il ?



EDIT

Je trouve 16 diviseurs (les 16 premiers nombres premiers entre 1 et 50) :

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

[2ème question
Même question si ce nombre est divisible par tout nombre compris entre 51 et 100.

Pas de "regroupement" possible, je dirais donc 50 (de 51 à 100 inclus, il y a 50 entiers)



Bonne journée,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #13 - 07-11-2011 10:03:55

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Combien d ediviseurs a ce nombre ?

Tout ce qui suit est sous réserve que je ne commets pas une petite erreur de calcul mignonnette ou une grosse erreur de formulation monstrueuse (crevé comme je suis, les deux sont possibles).


Un nombre divisible par tout entier entre 2 et 50 est divisible par [latex]2^5[/latex] (plus grande puissance de 2 inférieure à 50), [latex]3^3[/latex] (pour la même raison), [latex]5^2[/latex], [latex]7^2[/latex] et chacun des 11 nombres premiers compris entre 8 et 50.

Or on sait que le nombre de diviseurs d'un nombre qui se décompose en nombres premiers sous la forme [latex]\sum_{i=1}^N p_i^{\alpha_i}[/latex] est [latex]\prod_{i=1}^N \left( \alpha_i + 1 \right)[/latex]. Ici, ce produit donne [latex]6 \times 4 \times 3^2 \times 2^{11}[/latex] soit 442368.



Pour la deuxième partie, même raisonnement : un nombre divisible par tout entier entre 1 et 50 est divisible par 2^6, 3^4, 5^2, 7^2 et chacun des 21 nombres premiers entre 8 et 100. On obtient donc[latex] 7 \times 5 \times 3^2 \times 2^{21}[/latex] soit 660602880 diviseurs au minimum.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 07-11-2011 10:36:27

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

Combienn de diviseurs a ce nombre ?

Pour être divisible par tous les nombres entre 2 et 50 il faut être divisible par tous les premiers entre 2 et 50 et pour les non premiers, par les premiers avec "assez de puissance". Je m'explique. Pour etre divisible par 50 par exemple il faut être divisible par 2 et 5 mais pas à la puissance 1 mais à la puissance 2 (chacun).

Une autre façon de voir est qu'il faut être divisible par le PPCM des nombres de 2 à 50.
Les facteurs premiers à prendre en compte sont (avec leur puissances):

2^5
3^3
5^2
7^2
11
13
17
19
23
29
31
37
39
41
43
47

Le nombre de diviseurs de [latex]\prod{p_i^{a_i}}[/latex] est [latex]\prod{(a_i+1)}[/latex].

Le nombre de diviseurs recherché est donc 6*4*3*3*2^12=884 736.

De la même façon, pour la deuxième question, le nombre doit être formé des nombres premiers suivants:
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97

De plus chaque nombre pair entre 51 et 100 a lui-même un diviseur entre 2 et 50 et chaque nombre entre 2 et 50 a au moins un multiple entre 51 et 100. Il faut donc inclure au moins toutes les puissances précédentes, soit:

2^6
3^4
5^2
7^2
11
13
17
19
23
29
31
37
39
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97

Ce qui donne: 7*5*3*3*2^22= 1 321 205 760 diviseurs.

Merci pour cette énigme.

EDIT: Correction dans un post ci-dessous.

 #15 - 07-11-2011 11:38:04

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

combien de diviseurs a ce nombrz ?

Bonjour,
Ces deux nombres s'écrivent:
X1 = (2^5).(3^3).(5^2).(7^2).11.13.17.19.23.29.31.37.41.43.47
X2 = X1.2.3.53.59.61.67.71.73.79.83.89.97
Le nombre de diviseurs de ces nombres est:
N1 = 6.4.3.3.(2^11) = (2^14).(3^3) = 442 368
N2 = 7.5.3.3.(2^21) = (2^21).(3^2).5.7 = 660 602 880
Bonne journée.
Frank

 #16 - 07-11-2011 11:46:24

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
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xombien de diviseurs a ce nombre ?

ppcm(2, 3, ..., 50) = 2^5*3^3*5^2*7^2*11*13*17*19*...*43*47

nombre minimum de diviseurs = (5+1)*(3+1)*(2+1)*(2+1)*(1+1)^11 = 442 368

ppcm(51, 52, ..., 100) = ppcm (2, 100) = ppcm(2, 50)*2*3*53*59*61* ... *97

nombre minimum de diviseurs = (6+1)*(4+1)*(2+1)*(2+1)*(1+1)^21 = 660 602 880

 #17 - 07-11-2011 16:02:47

icetea06
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 4

Combien de divviseurs a ce nombre ?

On commence par calculer le PPCM de l'ensemble des nombres de 1 à 50 :
La puissance de 2 la plus grande inférieure à 50 est 2^5=32
De même, la puissance de 3 la plus grande est 3^3=27
De même, la puissance de 5 la plus grande est 5^2=25
De même, la puissance de 7 la plus grande est 7^2=49
Pour les autres nombres premiers supérieurs à 7 et inférieurs à 50, on prend l'exposant 1.
Le PPCM est donc 2^5 x 3^3 x 5² x 7² x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47. C'est le Plus Petit nombre Multiple de 2, 3, 4, 5, 6, ..., et 50

Pour trouver un diviseur de ce nombre, on choisit :
une puissance de 2 entre 2^0 et 2^5 (6 possibilités),
puis une puissance de 3 entre 3^0 et 3^3 (4 possibilités),
puis une puissance de 5 entre 5^0 et 5^2 (3 possibilités),
puis une puissance de 7 entre 7^0 et 7^2 (3 possibilités),
puis une puissance de 11 entre 11^0 et 11^1 (2 possibilités),
idem pour 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47 (2 possibilités à chaque fois).

Le nombre total de possibilités, donc le nombre total de diviseurs de ce nombre est : 6x4x3x3x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2=442368 diviseurs (y compris 1 et lui-même)


De même, un nombre divisible par tout nombre compris entre 51 et 100 a au minimum 1024 diviseurs.

 #18 - 07-11-2011 18:32:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Comien de diviseurs a ce nombre ?

Sans surprise, beaucoup de bonnes réponses.
Revoir pour RRX, NickoGecko, Rivas (qui a vu sans doute un premier en trop) et Icetea06.

 #19 - 07-11-2011 19:36:27

rivas
Elite de Prise2Tete
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Combien de divisseurs a ce nombre ?

Ah oui, c'est amusant ça, j'ai compté 39 dans les nombres premiers. Ca m'apprendra à vouloir les lister de tête plutôt que regarder sur Internet.

On trouve donc:
442 368
et
660 602 880

 #20 - 07-11-2011 21:21:37

Psykotaker
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Combien de diviseus a ce nombre ?

J'ai d'abord listé les nombres premier entre 2 et 50 à savoir 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Puis après j'ai décomposé en facteurs premiers les autre nombres...

Et enfin, j'ai sélectionné les puissances de les plus grandes, et j'ai finalement obtenue le nombre suivant :
[TeX]n=2^5\times3^3\times5^2\times7^2\times11\times13\times17\times19\times23\times29\times31\times37\times41\times43\times47[/TeX]
Ce nombre est composé de 21 facteurs premiers et son nombre de diviseur est
[TeX]d=\sum_{i=0}^{21}C_{21}^{i}=2097152[/TeX]
Ou [latex]C_{21}^{i}[/latex] est la combinaison de i parmi 21


Quand les choses deviennent trop compliquées, il est parfois normal [...] de se demander : ai-je posé la bonne question ?

 #21 - 08-11-2011 18:25:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
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combien de divuseurs a ce nombre ?

Rivas OK
NickoGecko, les diviseurs ne sont pas seulement les nombres premiers. Si un nombre est divisible par 2 et 3, il est donc divisible par 6 aussi.
Psykotaker, ta décompo est bonne mais ce n'est pas calculé par une combinatoire, mais plus simplement par un produit. ça se démontre facilement.

 #22 - 08-11-2011 20:04:31

Psykotaker
Habitué de Prise2Tete
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Lieu: Université Paul Verlaine

combien de divideurs a ce nombre ?

Je me suis un peut plus renseigné sur le sujet (http://serge.mehl.free.fr/anx/mult_div.html)
[TeX]n=2^5\times3^3\times5^2\times7^2\times11\times13\times17\times19\times23\times29\times31\times37\times41\times43\times47[/TeX]
Donc son nombre de diviseur est :
[TeX]d=(5+1)\times(3+1)\times2(2+1)\times11(1+1)=6\times4\times6\times22=3168[/TeX]
Quand même surpris de ce résultat... mais avec un peu de réflexion, mon calcul de combinaison était quand un peu beaucoup abusé


Quand les choses deviennent trop compliquées, il est parfois normal [...] de se demander : ai-je posé la bonne question ?

 #23 - 09-11-2011 08:19:21

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1772

combirn de diviseurs a ce nombre ?

Re Re Bonjour !

Argh, mais je me suis complétement fourvoyé sur le sujet !

Un nombre divisible par tous les nombres compris entre 51 et 100 est multiple de :
[TeX]2^{47}*3^{22}*5^{12}*7^8*11^4*13^3*17^2*19^2*23^2*29*31*37*41*43*47[/TeX]
Donc tous les entiers de [latex]2^0[/latex] à [latex]2^{47}[/latex]  le divisent (48 termes)

ainsi que ceux de [latex]3^0[/latex] à [latex]3^{22}[/latex]  (23 termes)

ainsi que ceux de [latex]5^0[/latex] à [latex]5^{12}[/latex]  (13 termes)

etc ....

Le nombre minimal de diviseurs à trouver dans ce cas est le produit de toutes les puissances de la décomposition en facteurs premiers, chacune augmentée de 1.

soit [latex]48*23*13*9*5*4*3*3*3*2*2*2*2*2*2 = 4 464 046 080[/latex] diviseurs


Pour la deuxième question :

Un entier divisible par tous les nombres compris entre 51 et 100 est multiple de :
[TeX]1*2^{50}*3^{26}*5^{12}*7^8*11^5*13^4*17^3*19^3*23^2*29^2*31^2*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97[/TeX]
Le même raisonnement donne [latex]3.42 * 10^{13}[/latex]  diviseurs ....
mais cela sent le piège ! j'y reviens !


A bientôt,
smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #24 - 09-11-2011 19:33:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Combine de diviseurs a ce nombre ?

Pas trop besoin pour ce coup là d'explications, sauf peut être pour expliquer la formule qui donne le nombre de diviseurs:
Soit un nombre dont la décomposition en nombres premiers s'écrit comme la suite des puissances des nombres premiers qu'il contient. Par exemple 45 s'écrirait: 21, car 3²*5. Alors tous les nombres qui s'écrivent de cette manière et qui sont compris entre 00 et 21 sont les diviseurs de 45:
00,10,20,01,11,21, soit 3*2=6 diviseurs qui sont respectivement 1,3,9,5,15,45.

 #25 - 10-11-2011 03:29:03

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Combien d diviseurs a ce nombre ?

rivas a écrit:

Ah oui, c'est amusant ça, j'ai compté 39 dans les nombres premiers. Ca m'apprendra à vouloir les lister de tête plutôt que regarder sur Internet.

Oui, ca fait longtemps que 39 ne fait plus parti des nombres premier, au debut 39 s'était infiltré, mais pythagore s'en est apercu et l'a viré, probablement parce qu'il avait trop de diviseurs...lollol


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