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 #1 - 07-11-2014 09:42:09

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

Le troupaeu en marche

salut à tous.

je propose une petite énigme en espérant qu'elle va intéresser quelques uns .

Un troupeau de bétail en forme de triangle équilatéral ABC de 500m de côté avance à vitesse constante dans la direction HA ,  H étant le milieu de BC .
La tête du troupeau se trouve donc en A .
Durant la traversée de la grande plaine , un des cowboys est positionné en H  .
A midi , il décide de faire le tour du troupeau afin de s'assurer que tout roule à merveille. Il démarre donc au trot --- son cheval trottant lui aussi à vitesse constante --- pour revenir en H à midi et douze minutes exactement. Durant son inspection , le troupeau aura alors parcouru 500m , et l'inspection du cowboy , elle , aura duré 12 min.

A quelle heure est-il passé en A ?  . La réponse sera arrondie au dixième de seconde.

                                                               bon courage.



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 #2 - 07-11-2014 19:08:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

L etroupeau en marche

Bonjour

Un problème intéressant qui rappelle un peu celui d'une barque qui perd un objet sur une rivière à flot continu .

J'y réfléchis dès que je trouve un moment smile

Vasimolo

 #3 - 07-11-2014 22:47:13

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le troupeau en marcge

Proposition:

Je donne une réponse, si c'est la bonne, je développerai mon raisonnement.

Il passe en A à midi 7 minutes et 5.8 secondes soit 425.8 secondes après son départ.

J'ai aussi le reste des paramètres (visite, distance totale parcourue, passage aux différents sommets)!

 #4 - 07-11-2014 23:45:44

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

LLe troupeau en marche

salut.

kossi_tg:  réponse bonne . tu peux développer stp.

 #5 - 08-11-2014 00:10:36

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Le troupeau en mmarche

Moi, si vasimolo s'est planté sur un truc de maths, je réfléchis même pas. lol

 #6 - 08-11-2014 11:54:06

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le trouppeau en marche

[TeX]V_t[/latex]: vitesse du troupeau = 500/(12*60)=0.6944m/s

[latex]V_c[/latex]: vitesse constante du cow boy

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Troupeau.jpg

J'ai découpé le parcours en 4 étapes représentées par HC', CA', AB' et BH' (liaison entre 2 sommets). Pour chaque étape, je considère ABC comme la position initiale du troupeau et A'B'C' la position du troupeau quand l'étape est terminée. La première et dernière (HC' et BH') sont identiques.

Première étape: HC'
Soit t_1, le temps de cette étape, on a: [latex]V_c^2=V_t^2+(HC/t_1)[/TeX]
[TeX]V_t[/latex] et [latex](HC/t_1)[/latex] étant des composantes de [latex]V_c[/latex] dans cette étape.

On déduit: [latex]t_1=\frac{HC}{\sqrt{V_c^2-V_t^2}}[/latex];

Deuxième étape: CA'
Soit [latex]t_2[/latex], le temps de cette étape
[latex]CA'^2=CH^2+HA'2[/latex] (pythagore)
[latex]HA'=\sqrt{3}*HC+V_t*t_2[/TeX]
[TeX]CA'=t_2*V_c[/TeX]
On déduit de ces 3 équations:
[TeX]t_2=\frac{\sqrt{3}*CH*V_t}{D}+
\sqrt{\frac{4*HC^2}{D}+\frac{3*HC^2*V-t^2}{D^2}}[/latex] où [latex]D=\sqrt{V_c^2-V_t^2}[/TeX]
Troisième étape: AB'
Soit [latex]t_3[/latex], le temps de cette étape
Le même raisonnement que l'étape précédente; on arrive à:
[TeX]t_3=-\frac{\sqrt{3}*CH*V_t}{D}+
\sqrt{\frac{4*HC^2}{D}+\frac{3*HC^2*V-t^2}{D^2}}[/TeX]
Quatrième étape: BH'
Cette étape est identique à la première [latex]t_4=t_1[/latex].

La durée totale du parcours est de [latex]T=t_1+t_2+t_3+t_4=12*60=720 s[/latex]
Tout calcul bien fait à partir de cette relation donne:
[TeX]2*HC*(\sqrt{D}+\sqrt{4*D+3*V_t^2})=T*D[/latex] soit

[latex](\sqrt{D}+\sqrt{4*D+3*V_t^2})=1.44*D[/latex] car T=720 et CH=250.

Méthode du point fixe: [latex]D=4.5679324579297=V_c-V_t[/latex] où [latex]V_t=0.69444[/TeX]
[latex]V_c=2.24726178812115[/latex]

On a alors:
[TeX]t_1=t_4=116.971530332742[/TeX]
[TeX]t_2=308.857653433083[/TeX]
[TeX]t_3=177.199285901433[/TeX]
Il passe par la tête du troupeau après les 2 premières étapes soit [latex]t_1+t_2=425.829183765825=~7min et 5.8 sec[/latex]

donc midi 7 min et 5.8 secondes.

A l'arrivée à son point de départ, il aura parcouru 1628.03 m.

(Les formules Latex semblent rencontrer des problèmes d'affichages!) Je mettrai le scan de mes brouillons si cela ne s'améliore pas.

 #7 - 08-11-2014 16:34:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Le troupeauu en marche

J’ai trouvé 12 h 07 mn 05,8 s.

Pour arriver à ce résultat j’ai utilisé une méthode assez bourrin. Je ne doute pas qu’on cherche une méthode bien plus élégante, mais je ne l’ai pas trouvée.

J’appelle v1, v2 et v3 les vitesses du cow-boy dans le référentiel mobile attaché au troupeau sur les tronçons respectifs CB, BA et AC, vm la vitesse constante du cow-boy dans le référentiel fixe (attaché à la plaine), vt la vitesse du troupeau (qui est de 2,5 km/h), T le temps mis par le cow-boy pour faire un tour (12 mn = 1/5 h) et L le côté du triangle équilatéral (500 m = 1/2 km).
J’étudie les vecteurs vitesse sur chacun des tronçons en posant: k = vm/vt.
v1 = vt.(k²-1)^(1/2)
v2 = vt.[(4.k²-1)^(1/2)-3^(1/2)]/2
v3 = vt.[(4.k²-1)^(1/2)+3^(1/2)]/2
Or j’ai aussi: T = L/v1 + L/v2 + L/v3; d’où:
1/[(k²-1)^(1/2)] + 2/[(4.k²-1)^(1/2) - 3^(1/2)]/2 + 2/[(4.k²-1)^(1/2) + 3^(1/2)]/2
= T.vt/L = 1
Je simplifie tout ça en posant: m = (k²-1)^(1/2), soit: k = (m²+1)^(1/2) et je trouve:
m^4 - 2.m^3 - 3.m^2 - 3 = 0, équation du quatrième degré.
Une dichotomie me donne des valeurs approchées: m = 3,07766; soit: k = 3,23605.
Au final j’ai: v1 = 3,07766.vt; v2 = 2,33116.vt et v3 = 4,06321.vt.
Puis je calcule mes heures de passage aux différents points:
- départ de H à 12 h 00 mn 00,0 sec,
- passage en B à 12 h 01 mn 57,0 sec,
- passage en A à 12 h 07 mn 05,8 sec,
- passage en C à 12 h 10 mn 03,0 sec,
- arrivée en H à 12 h 12 mn 00,0 sec.

Merci pour cette énigme.

 #8 - 08-11-2014 18:33:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le truopeau en marche

Bon , on arrive à mettre le problème en équation mais je n'en tire pas grand chose de propre sans logiciel de calcul .

Y-a-t-il une solution simple à ce problème ?

Vasimolo

 #9 - 08-11-2014 18:47:27

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

Le troupeaau en marche

salut à tous.

kossi & franky le résultat est correct . mais j'ai du mal à suivre sans l'écriture avec latex.

vasimolo: il y a une résolution d'équation  (de degré 4) qui se résout bien avec  calculette genre Ti85
je possède ce vieux modèle . je donnerai plus tard ma résolution , en espérant que latex refonctionne .

 #10 - 09-11-2014 18:47:21

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le troupeau enn marche

Sauf erreur , j'ai trouvé 12h 07m 05,8 s .

Je ne suis pas sûr du tout du résultat et absolument pas satisfait de la méthode à coup de valeurs approchées mad

Vasimolo

 #11 - 09-11-2014 18:58:31

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

Le trouepau en marche

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-Troupeau.png

En bleu : le vecteur vitesse du troupeau par rapport au sol.

En vert : les vecteurs vitesses du cowboy par rapport au troupeau sur les différentes sections du trajet.

En rouge : les vecteurs vitesses du cowboy par rapport au sol sur les différentes sections du trajet.

Dans l'image de gauche on se place dans une situation ou la vitesse du cowboy par rapport au troupeau est constante. Il apparait alors que la section de trajet BC est la section ou le cowboy se déplace le plus rapidement par rapport au sol.

Pour que le cowboy puisse faire le tour du troupeau à vitesse par rapport au sol constante il faut donc que cette vitesse soit celle que l'on observe sur la section de trajet BC dans l'image de gauche, ce qui nous amène à quelque chose ressemblant à l'image de droite.

Après quelques calculs on obtient alors :

V(Cowboy/Troupeau) = 95.25 m/min

D’où :

T(A) = 7.13 min = 427.8 s

smile

 #12 - 09-11-2014 19:46:15

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

Le troupeau e marche

salut.

vasimolo : oui pour le résultat.

sydre : non

 #13 - 09-11-2014 19:54:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

le trpupeau en marche

L'équation de degré 4 a bien une solution en radicaux mais elle est tellement monstrueuse mad

Je suis un vrai puriste , les valeurs approchées me donnent un peu la nausée lollollol

Vasimolo

 #14 - 09-11-2014 20:38:15

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

le troupeau eb marche

salut.

vasimolo.

le polynôme de degré 4 n'est pas monstrueux . tous ses coefficients sont entiers.

 #15 - 10-11-2014 11:06:18

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

le trouoeau en marche

salut à tous.

et merci à tous ceux qui ont cogité dur sur le problème. la réponse attendue était celle-ci : 12h 7min 5s et 8/10s

j'ai résolu le problème , il est écrit sous latex , pour le moment il m'est impossible de vérifier la syntaxe  et je le posterai dès que le problème laTex  sur le forum sera résolu .

                                                         merci de votre compréhension.

 #16 - 10-11-2014 22:37:39

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

le teoupeau en marche

Bonjour,

Je n'ai pas eu le temps de plancher sur le problème, et en plus, histoire de faire simple, j'étais parti sur une courbe de poursuite ou "courbe du chien" pour décrire la trajectoire du cow-boy.


http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-cowboy1.jpg

big_smile

Qu'en pensez-vous ?


edit : Le fait que le troupeau soit un bloc "compact" est certainement incompatible avec cette trajectoire compte-tenu du rapport des vitesses.

roll


A+smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #17 - 10-11-2014 22:44:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Le troupeua en marche

J'en pense que non, car le cowboy avance en ligne droite. Ce sont deux vecteurs constants qui déterminent sa trajectoire sur chaque partie du parcours, la première et la quatrieme étant identiques. Là, Lucky luke a l'air d'avoir bu.

 #18 - 10-11-2014 22:47:31

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

Le troupeeau en marche

hips !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #19 - 10-11-2014 22:52:00

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Le troupea en marche

Je suis d'accord avec Gwen, même si je n'ai pas eu le temps de m'intéresser au problème.

Si le troupeau avance, le cowboy n'a aucun intérêt à avancer avec une tangente "horizontal" au départ...

Cette courbe que tu proposes correspondrait à une avance uniformément accélérée du troupeau.

La meilleure preuve, c'est d'imaginer que le triangle a ses côtés 2 fois plus long, en supposant que lucky luke démarre comme tu l'as fait, comment se terminerait la 2ème partie du premier segment ?

PS : Vous voyez quelque chose au message de Kossi_tg ?

 #20 - 14-11-2014 14:54:36

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

le troupeau en matche

Salut à tous.

Je poste quand même ma résolution en souhaitant que laTex refonctionne un jour.
Je n'ai aucune Prévisualisation pour le moment , je corrigerai s'il le faut par la suite.
Je ne comprend pas car laTex fonctionne sur certains postes en amont.

solution:



dans ce problème , les vitesses  Vt (troupeau) et Vc (cowboy) sont constantes . Alors on peut écrire :
[TeX]\frac{V_c}{V_t}=\frac{D_c}{D_t} = x  [/latex], D étant les distances parcourues

c'est cette  variable x qu'on va devoir trouver . On peut aussi remarquer que le cowboy a la possibilité de démarrer son inspection à partir d'un point quelconque sur un des côtés du triangle. alors pour résoudre la problème , je vais le placer en B . Il va ainsi longer dans cet ordre les 3 côtés BC , CA & AB .

Durant ces 3 phases de déplacement du cowboy , le troupeau aura parcouru  3 distances : a , b & c   

Et  a+b+c=500



phase 1 :  le cowboy parcourt le segment BC en mouvement pendant que le troupeau , lui , parcourt la distance a .

a+b+c=500

[latex] a^2 = a^2x^2 - 500^2 \Rightarrow a = \frac{500}{\sqrt{x^2-1}}   [/latex] (1)



phase 2 : le cowboy parcourt le segment CA en mouvement pendant que le troupeau , lui , parcourt la distance b  .

[latex]250^2 + (250\sqrt3 + b)^2 = b^2x^2   [/latex]d'où l'équation :

[latex] (x^2-1).b^2 - 500\sqrt3.b - 500^2 = 0    [/latex] équation du second degré en b

Ce qui donne :

[latex] b = \frac{500\sqrt3 + \sqrt{750000 + 10^6.(x^2-1)}}{2.(x^2-1)}  [/latex] (2)



phase 3 : le cowboy parcourt le segment AB en mouvement pendant que le troupeau , lui , parcourt la distance c  .
[latex] 250^2 + (250\sqrt3 - c) ^2= c^2.x^2  [/latex]d'où l'équation du second degré en c

[latex] (x^2-1).c^2 + 500\sqrt3.c - 500^2 = 0 [/TeX]
ce qui donne :
[TeX] c = \frac{-500\sqrt3 + \sqrt{750000 + 10^6.(x^2-1)}}{2.(x^2-1)}  [/latex] (3)



Ainsi en sommant a , b et c  , on obtient l'égalité suivante:



[latex] a+b+c = \frac{500}{\sqrt{x^2-1}} + \frac{500.\sqrt{3+4x^2-4}}{x^2-1} = 500 [/TeX][TeX] \frac{\sqrt{4x^2-1}}{x^2-1} = \frac{\sqrt{x^2-1} - 1}{\sqrt{x^2-1}} [/TeX][TeX] \frac{4x^2-1}{(x^2-1)^2} = \frac{x^2 - 2.\sqrt{x^2-1}}{x^2-1}\Rightarrow\frac{4x^2-1}{x^2-1} = x^2 - 2.\sqrt{x^2-1} [/TeX]
[TeX] \frac{4x^2-1}{x^2-1} - x^2 = -2.\sqrt{x^2-1} [/TeX][TeX] \frac{x^4-5x^2+1}{x^2-1} = 2.\sqrt{x^2-1} [/TeX][TeX]x^4-5x^2+1 = 2.(x^2-1).\sqrt{x^2-1} [/TeX]
puis en posant  x^2 = X et en élevant tout au carré pour faire disparaître le radical , on obtient une équation de degré 4 en X :
[TeX] X^4 -14X^3 + 39X^2 -22X +5 = 0  [/latex]qui donne : [latex]X\approx10.472065 \Rightarrow x=\sqrt{X}\approx 3.236057 [/TeX]
Le cowboy aura ainsi parcouru  : [latex]500x \approx1618.028 m [/latex]



puis en reportant la valeur de x dans les expressions (1) , (2) & (3)  on obtient les valeurs a , b & c  correspondant aux distances parcourues par le troupeau durant chacune de ces 3 phases . Mais comme aussi le cowboy démarre en H au lieu de B , le troupeau aura parcouru : a/2 + b lorsque le

cowboy sera en A . et:



a = 162.46046 m[latex]\Rightarrow\frac{a}{2} = 81.23023 m [/latex]
b = 214.48448 m
c = 123.05506 m

et [latex]\frac{a}{2}+ b = 295.715 m   [/latex]

le troupeau ayant parcouru 500 mètres en 12 min , le cowboy sera passé en A à :                                          [latex] 12h + 720.\frac{295.715}{500}s = 12h+7min+5s+83/100s[/latex]

Patience et longueur de temps .......

 

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