Il n'y a pas de partie nulle.

Après une analyse rétrograde sur la fin de partie, on arrive à formuler l'hypothèse que impair = perdant... Voyons ça :

Proposition : Un nombre impair est une situation perdante, un nombre pair une situation gagnante, ou : gagnant ssi pair, ou ce qui revient au même puisqu'il n'y a pas de partie nulle, perdant ssi impair

Par récurrence :

* 1 est une situation perdante car impossible de laisser un nombre strictement positif, propriété vérifiée !

* il en reste n+1 (n>0), il y a deux cas :

  - si n+1 est pair, celui qui joue en enlève 1, il en reste un nombre impair qui est perdant par hypothèse de récurrence, donc (n+1) est gagnant, propriété vérifiée !

  - si n+1 est impair, quelque soit le diviseur m<(n+1) choisi, celui-ci sera impair et donc (n+1)-m sera pair et donc gagnant par HR, donc (n+1) est perdant, propriété vérifiée !

CQFD ?

@vasimolo : je me suis demandé si ton problème de pièces qu'on pose sur deux cases sur un échiquier ne pourrait être le support d'un jeu à 2...

Pour clarifier, est-ce que le gagnant est celui qui laisse 0 a son adversaire, ou 1?

Si on peut laisser 0, alors c'est simple, on retranche le nombre que l'on a, soit N0 si on commence.
Si on doit laisser 1, alors ca devient plus complexe.

Je ne comprends pas le problème    Pourrais-tu rajouter un exemple s'il te plait ?

N0 pair est gagnant, N0 impair est perdant. La stratégie: -1 tout simplement.

DEMO
Hypo: Tout nombre impair est perdant, tout nombre pair est gagnant
rang 1:1 impair est perdant, 2 pair est gagnant
tout rang:
soit N0 impair, il a pour diviseur des nombres impairs uniquement. impair moins impair donne pair qui est gagnant.
un nombre pair admet 1 comme diviseur donc pair moins 1 est impair qui est perdant. CQFD

Lorsque c'est à moi, j'enlève toujours le plus petit diviseur, à savoir 1. Si le nombre est pair, je gagnerai; si le nombre est impair, je retarde ma perte, en espérant que l'adversaire fera une erreur.
Les nombres impairs (dont 1) sont perdants car ils n'ont que des diviseurs impairs, les nombres pairs sont gagnants car ils suivent une position perdante.
Ce qui me chiffonne, c'est que je suis trop rouillé pour arriver à le démontrer rigoureusement; il faut sans doute un raisonnement par l'absurde

dhrm77 a écrit:

Vasimolo, il faudrait que tu clarifies tes problemes...
Au debut, on ne savait pas :
1) si pour gagner il faut laisser 0 ou 1 ou autre chose à son adversaire.
2) si on pouvait retirer N0 lui même pour laisser 0
3) si on a le droit de retirer 1? 1 (étant toujours un diviseur de N0)
4) ce que "ne plus pouvoir jouer" signifie...

Si j'ai bien compris il aurait suffit que tu dises N1 est supérieur à zero, au lieu de strictement positif. Car 0 est aussi bien positif que negatif.

Il m’arrive souvent de ne pas être très clair mais il me semble que les 4 points que tu évoques ne posent pas problème avec le texte initial . Quant à ta dernière remarque n’est-ce pas complètement équivalent ?

Mais bon , si mon exemple t'as permis de comprendre tout est pour le mieux

Vasimolo

PS : bonne réponse de Yopai et Dan .

Le joueur qui, à son tour de jouer, reçoit un nombre impair, ne peut pas gagner.

En effet, un nombre impair n'a pas de nombres premiers pairs dans sa décomposition, donc tout diviseur d'un nombre impair est impair. Ainsi, le nombre suivant sera forcément pair (un nombre impair ôté à un nombre impair).
Quand on reçoit un nombre pair, il suffit de prendre comme diviseur 1 pour rendre un nombre impair à l'adversaire. Il y a moyen aussi de choisir des diviseurs impairs s'il y en a, le jeu en sera accéléré !
Ainsi de suite jusqu'à 1, celui qui reçoit 1 a perdu.

Donc gagner équivaut à avoir un nombre pair au moment de jouer.

PUB: Essayez la variante proposée par Franck, elle sympa aussi.

Par franck : jeu à deux 1 bis