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 #1 - 12-03-2011 00:08:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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jeyx à deux 1

J'ai déjà proposé plusieurs jeux à deux joueurs où chacun joue à tour de rôle jusqu'à ce que l'un des deux gagne ou que la partie finisse par un nul ( SOS , ABAB , ... )

Je propose une nouvelle série ( j'ai quelques problèmes en réserve mais je compte aussi sur les votres wink ) . En voici un premier :

On tire un entier strictement positif N0 au hasard . Le premier joueur choisit alors un diviseur de N0 qu'il retranche à N0 pour obtenir un entier strictement positif N1 . Le deuxième joueur choisit un diviseur de N1 qu'il retranche à N1 pour obtenir un entier strictement positif N2 ...

Celui qui ne peut plus jouer a perdu .

Selon le tirage , qui va gagner et avec quelle stratégie ???

Bon courage smile

Vasimolo



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 #2 - 12-03-2011 09:09:30

gasole
Elite de Prise2Tete
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eJux à deux 1

1 est considéré comme diviseur? Le gagnant est celui qui laisse 1 à l'autre?

 #3 - 12-03-2011 10:08:34

gasole
Elite de Prise2Tete
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jeux à deyx 1

Il n'y a pas de partie nulle.

Après une analyse rétrograde sur la fin de partie, on arrive à formuler l'hypothèse que impair = perdant... Voyons ça :

Proposition : Un nombre impair est une situation perdante, un nombre pair une situation gagnante, ou : gagnant ssi pair, ou ce qui revient au même puisqu'il n'y a pas de partie nulle, perdant ssi impair

Par récurrence :

* 1 est une situation perdante car impossible de laisser un nombre strictement positif, propriété vérifiée !

* il en reste n+1 (n>0), il y a deux cas :

  - si n+1 est pair, celui qui joue en enlève 1, il en reste un nombre impair qui est perdant par hypothèse de récurrence, donc (n+1) est gagnant, propriété vérifiée !

  - si n+1 est impair, quelque soit le diviseur m<(n+1) choisi, celui-ci sera impair et donc (n+1)-m sera pair et donc gagnant par HR, donc (n+1) est perdant, propriété vérifiée !

CQFD ?

 #4 - 12-03-2011 12:00:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Jeux à duex 1

Bonne réponse de gasole smile

Pour les autres , chercher une stratégie très , très , très , ... , simple .

Je vous garantis qu'une fois qu'on a trouvé on se sent bête de ne pas y avoir pensé plus tôt yikes

Bon courage quand même smile

Vasimolo

 #5 - 12-03-2011 14:03:08

gasole
Elite de Prise2Tete
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jeux à feux 1

@vasimolo : je me suis demandé si ton problème de pièces qu'on pose sur deux cases sur un échiquier ne pourrait être le support d'un jeu à 2...

 #6 - 12-03-2011 14:30:52

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Jeux à duex 1

Si N0 est pair, le joueur 1 choisit un diviseur impair de N0 (n'importe lequel, le plus grand permettra sans doute de gagner plus vite, mais ça marche aussi avec 1).
N1 est donc impair. Si N1=1, le joueur 2 a perdu. Sinon, N1 n'a que des diviseurs impairs (y compris 1), donc N2 sera pair et on continue... avec l'assurance que Ni est de la parité de i pour le joueur 1 qui va donc gagner.

Si N0 est impair, le joueur 1 est dans la situation de joueur 2 du cas précédent et va donc perdre.

 #7 - 12-03-2011 15:15:58

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Jeeux à deux 1

Pour clarifier, est-ce que le gagnant est celui qui laisse 0 a son adversaire, ou 1?

Si on peut laisser 0, alors c'est simple, on retranche le nombre que l'on a, soit N0 si on commence.
Si on doit laisser 1, alors ca devient plus complexe.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 12-03-2011 19:48:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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jeuc à deux 1

Bravo aussi à Dylasse smile

Vasimolo

 #9 - 12-03-2011 20:36:00

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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heux à deux 1

Je ne comprends pas le problème  roll  Pourrais-tu rajouter un exemple s'il te plait ?

 #10 - 12-03-2011 21:30:40

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Jeux à dexu 1

Le premier qui laisse le nombre 2 a perdu.
Car son adversaire prendra 1 et laissera 1, gagnant de ce fait.

Le premier qui laisse le nombre 4 a perdu.
Car son adversaire prendra 1 pour ne pas laisser 2, et laissera 3.
Et lui devra prendre 1, laissant 2, coup perdant.

Stratégie : ne jamais laisser à l'adversaire un nombre Ni pair.
Selon le nombre N0 de départ, c'est possible ou non.

Si N0 est pair, jouer le premier, choisir un diviseur impair, (1 si pas mieux), cela
laissera un nombre impair à l'adversaire, qui ne pourra me laisser qu'un nombre
pair en choisissant un diviseur nécessairement impair.
Et ainsi de suite... Gagnant.

Si N0 est impair, si l'adversaire joue bien, c'est perdu, car je ne peux lui laisser qu'un
nombre Ni pair, tous les diviseurs que je peux choisir étant impairs.
Attendre la faute de l'adversaire.

Simple : dans tous les cas, prendre "impair".

 #11 - 12-03-2011 22:35:58

franck9525
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Lieu: UK

jeux à deyx 1

N0 pair est gagnant, N0 impair est perdant. La stratégie: -1 tout simplement.

DEMO
Hypo: Tout nombre impair est perdant, tout nombre pair est gagnant
rang 1:1 impair est perdant, 2 pair est gagnant
tout rang:
soit N0 impair, il a pour diviseur des nombres impairs uniquement. impair moins impair donne pair qui est gagnant.
un nombre pair admet 1 comme diviseur donc pair moins 1 est impair qui est perdant. CQFD


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 13-03-2011 17:21:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Jeux à dex 1

Bonnes réponses de Halloduda et Franck smile

gwen27 a écrit:

Je ne comprends pas le problème roll Pourrais-tu rajouter un exemple s'il te plait ?

Imaginons que l'on tire le nombre 27 .

Le premier joueur va choisir un diviseur de 27 soit : 1,3,9 ( 27 est interdit car 27-27=0 ) Il choisit par exemple 9 il reste alors 18 au second .
Le deuxième joueur choisit un diviseur de 18 donc parmi : 1,2,3,6,9 . Il choisit par exemple 9 et il reste 9 au premier .
Le premier joueur choisit un diviseur de 9 ...

Il est clair que le joueur laissant 1 à son adversaire va gagner mais quelle stratégie adopter ????

Vasimolo

 #13 - 13-03-2011 17:32:50

Yopai
Visiteur

jeux à seux 1

Lorsque c'est à moi, j'enlève toujours le plus petit diviseur, à savoir 1. Si le nombre est pair, je gagnerai; si le nombre est impair, je retarde ma perte, en espérant que l'adversaire fera une erreur.
Les nombres impairs (dont 1) sont perdants car ils n'ont que des diviseurs impairs, les nombres pairs sont gagnants car ils suivent une position perdante.
Ce qui me chiffonne, c'est que je suis trop rouillé pour arriver à le démontrer rigoureusement; il faut sans doute un raisonnement par l'absurde

 #14 - 13-03-2011 18:13:39

dhrm77
L'exilé
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Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Jeux à dexu 1

Vasimolo, il faudrait que tu clarifie tes problemes...
Au debut, on ne savais pas :
1) si pour gagner il faut laisser 0 ou 1 ou autre chose a son adversaire.
2) si on pouvait retirer N0 lui meme pour laisser 0
3) si on a le droit de retirer 1? 1 (etant toujours un diviseur de N0)
4) ce que "ne plus pouvoir jouer" signifie...

Si j'ai bien compris il aurait suffit que tu dise N1 est superieur a zero, au lieu de strictement positif. Car 0 est aussi bien positif que negatif.

Donc si on ne peut pas retirer N quand il nous reste N, alors il faut laisser 1 a son adversaire, qu'il ne pourra pas retirer, malgres que le seul diviseur de 1 est 1.
Donc le but et de trouver un diviseur D0 de N0 tel que N0-D0 soit un nombre impair.

Normalement si j'ai bien compris le probleme, tous les nombres pairs sont gagnants, les impairs perdants.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #15 - 13-03-2011 18:29:26

Vasimolo
Le pâtissier
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Jeux à deux

dhrm77 a écrit:

Vasimolo, il faudrait que tu clarifies tes problemes...
Au debut, on ne savait pas :
1) si pour gagner il faut laisser 0 ou 1 ou autre chose à son adversaire.
2) si on pouvait retirer N0 lui même pour laisser 0
3) si on a le droit de retirer 1? 1 (étant toujours un diviseur de N0)
4) ce que "ne plus pouvoir jouer" signifie...

Si j'ai bien compris il aurait suffit que tu dises N1 est supérieur à zero, au lieu de strictement positif. Car 0 est aussi bien positif que negatif.

Il m’arrive souvent de ne pas être très clair mais il me semble que les 4 points que tu évoques ne posent pas problème avec le texte initial . Quant à ta dernière remarque n’est-ce pas complètement équivalent ?

Mais bon , si mon exemple t'as permis de comprendre tout est pour le mieux smile

Vasimolo

PS : bonne réponse de Yopai et Dan .

 #16 - 13-03-2011 18:35:25

gasole
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Lieu: Toulouse

Jeux à deuxx 1

@dhrm : je te trouve injuste, pour une fois, je trouvais ce problème non ambiguë (j'ai eu un doute sur le diviseur 1 alors même que l'énoncé n'en laissait pas, juste parce que l'énigme venait de vasimolo wink )

 #17 - 14-03-2011 14:37:05

L00ping007
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jeux à deuw 1

Le joueur qui, à son tour de jouer, reçoit un nombre impair, ne peut pas gagner.

En effet, un nombre impair n'a pas de nombres premiers pairs dans sa décomposition, donc tout diviseur d'un nombre impair est impair. Ainsi, le nombre suivant sera forcément pair (un nombre impair ôté à un nombre impair).
Quand on reçoit un nombre pair, il suffit de prendre comme diviseur 1 pour rendre un nombre impair à l'adversaire. Il y a moyen aussi de choisir des diviseurs impairs s'il y en a, le jeu en sera accéléré !
Ainsi de suite jusqu'à 1, celui qui reçoit 1 a perdu.

Donc gagner équivaut à avoir un nombre pair au moment de jouer.

 #18 - 15-03-2011 18:33:32

Vasimolo
Le pâtissier
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Jeux à eux 1

Bravo à tous smile

Pas trop difficile , impair on perd et pair on gagne en laissant un nombre pair à l'autre joueur .

Merci pour la participation smile

Vasimolo

 #19 - 15-03-2011 19:55:47

gasole
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Jeux à deux

PUB: Essayez la variante proposée par Franck, elle sympa aussi.

 #20 - 15-03-2011 23:07:58

Vasimolo
Le pâtissier
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jeux à seux 1

Je ne l'ai pas vue ! Un autre forum ?

Vasimolo

 #21 - 15-03-2011 23:44:00

gasole
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JJeux à deux 1

Par franck : jeu à deux 1 bis

 #22 - 16-03-2011 00:20:30

franck9525
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eux à deux 1

Merci Gasole pour la pub big_smile.


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