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 #1 - 11-06-2013 18:55:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Jeux à deux

Bonjour à tous smile

Un nouveau petit jeu sur grille illimitée .

Le jeu se joue à deux avec un seul pion placé initialement à l'origine d'un quadrillage orthonormé . A tour de rôle les joueurs A et B donnent les coordonnées du vecteur de déplacement du pion avec l'unique contrainte que les deux coordonnées soient entières et non encore utilisées dans les mouvements précédents .
L'objectif du joueur A qui joue en premier en choisissant un déplacement non nul est de faire en sorte que le pion revienne au point de départ . L'objectif de B est d'empêcher le pion de rentrer au bercail .

Voilà une partie donnant le gain au joueur A en quatre coups :

http://img32.imageshack.us/img32/8254/retourauxsources.jpg
Les coups joués : (2;2),(0;-2);(-3;1);(-1;-4);(5;6);(-6;-6);(3;3) .

Mais si chacun joue au mieux , lequel a une stratégie gagnante ?????

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 11-06-2013 19:53:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Jeux à ddeux 7

Bonjour Vasimolo,
Si au 1er coup (a,b) on répond par (-a,-b) il me semble que A ne pourra jamais revoir son point de départ.
Si le 1er coup est (a,0) on répond par (-a,-a)
Bref, le 2ème joueur peut toujours s'arranger pour que la somme de l'une au moins des coordonnées soit toujours nulle, et le 1er joueur ne peut revenir au point de départ.

 #3 - 12-06-2013 14:58:36

JOJOSLAVE
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 8
Messages : 1

keux à deux 7

Joueur A

 #4 - 12-06-2013 17:14:06

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

jeix à deux 7

A gagne.

A choisit(a,b)
B doit jouer (-2a,-2b) sinon A pourrait gagner immédiatement.
A joue maintenant (2a,2b) et B n'a plus de coups empêchant A de gagner.

 #5 - 12-06-2013 18:18:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Jeux àdeux 7

Je précise la règle du jeu , j'ai édité le message initial mais apparemment le problème n'est toujours pas clair smile

Le pion est initialement placé en (0,0) .

A joue en premier en choisissant un couple d'entiers relatifs (a,b) , il place le pion en (0+a,0+b)=(a,b) . Le deux entiers a et b deviennent alors inutilisables par les deux joueurs aussi bien en mouvement horizontal que vertical .
B choisit un nouveau déplacement (c,d) c et d n'ayant jamais été utilisés donc différents de a et b ( mais possiblement égaux entre eux ) . Le pion arrive en (a+c ,b+d) , etc ...

Le but de A est d'essayer de faire repasser le pion par l'origine et le but de B est de l’empêcher . Lequel des deux joueurs a une stratégie gagnante ?

Pour que B gagne , le pion ne doit jamais revenir à l'origine , que ce soit A ou B qui l'y ramène .

J'espère que c'est plus clair smile

Vasimolo

 #6 - 12-06-2013 18:51:20

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

jeux à seux 7

Une partie dure donc, au maximum, 13 coups ?
J'ai le droit de jouer (0,0) ? big_smile

 #7 - 12-06-2013 19:31:39

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Jex à deux 7

@Gwen : l'échiquier est infini et le premier déplacement ne peut pas être nul , voir premier message smile

Vasimolo

 #8 - 12-06-2013 20:09:20

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Jeux à dexu 7

Ah oui, zut ! Faut lire gwen !!!

 #9 - 13-06-2013 08:44:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Jeux à deeux 7

Soit S, la somme algébrique des xi de tous les déplacements joués précédemment. Alors il existe un n (en fait une infinité) tel que (-S+n, -n) est un déplacement dont les coordonnées, non nulles, n'ont pas été jouées. Pour que A revienne à 0, il lui faut jouer -n pour x, ce qui lui est impossible, étant donné que ça vient juste d'être occupé par le y joué par B.

 #10 - 13-06-2013 13:04:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

JJeux à deux 7

C'est ça Nodgim mais il y a un petit mélange entre cases occupées et déplacements smile

Vasimolo

 #11 - 13-06-2013 15:01:54

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Jeux à deeux 7

J'ai corrigé. Connaissant un peu ta manière de raisonner, je pensais que tu aurais pu avoir une réponse plus visuelle, avec un petit dessin. D'autre part, le jeu (a,a) a t il été introduit pour favoriser A ou B ? Dans la solution que je donne, c'est indifférent. Aussi, je me demandais s'il n'y avait pas une autre solution...

 #12 - 13-06-2013 16:43:10

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

keux à deux 7

Bonjour,
B gagne toujours.
sur (0,a)ou(a,0) B joue (-a,-a) puis sur tous (b,c) (-b,-c)
sur(a,b) B joue (0,-b) et si A tente (-a,c) alors (-c,-c) sinon sur tous(x,y) x et y [latex]\neq[/latex] -a   B joue (-x,-y).

 #13 - 13-06-2013 18:27:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Juex à deux 7

@Nodgim: je pense que toutes les variantes du jeu donne le même résultat , on peut aussi faire commencer B . D'autre part il y a une solution très visuelle de la stratégie gagnante ( il suffit d'illustrer le choix de ton vecteur ) .
@Princeleroi : je ne comprends pas comment tu poursuis le choix du déplacement car après les premiers coups les coordonnées des vecteurs ne sont plus confondues avec celles du pion .

Vasimolo

 #14 - 14-06-2013 14:33:30

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1203

eux à deux 7

Si j'ai enfin compris:B gagne toujours.
Le pion en (a,b)  B joue (c,d) tel que a+c+d=0
L'ensemble des nombres étant illimité il existera toujours c et d  disponible.

 #15 - 14-06-2013 23:32:31

Vasimolo
Le pâtissier
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Jeux à deu 7

En effet B gagne toujours smile

Voilà comment on peut voir la solution :

[latex]M(x,y)[/latex] est la position du pion après le dernier coup de A ( qui veut ramener le pion à l'origine O ) . On trace la parallèle à la deuxième bissectrice ( y=-x ) passant par [latex]X(x,0)[/latex] et on choisit sur cette droite un point  N tel que les coordonnées de [latex]\overrightarrow{MN}(a,y-a)[/latex] n’aient jamais été utilisées  .
   
http://img21.imageshack.us/img21/8708/u2bq.jpg

A ne peut revenir à l'origine que par [latex]\overrightarrow{NO}(-x-a,a)[/latex] qui est bien sûr interdit .

Merci pour la participation .

Vasimolo

 

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