Joueur A

Je précise la règle du jeu , j'ai édité le message initial mais apparemment le problème n'est toujours pas clair

Le pion est initialement placé en (0,0) .

A joue en premier en choisissant un couple d'entiers relatifs (a,b) , il place le pion en (0+a,0+b)=(a,b) . Le deux entiers a et b deviennent alors inutilisables par les deux joueurs aussi bien en mouvement horizontal que vertical .
B choisit un nouveau déplacement (c,d) c et d n'ayant jamais été utilisés donc différents de a et b ( mais possiblement égaux entre eux ) . Le pion arrive en (a+c ,b+d) , etc ...

Le but de A est d'essayer de faire repasser le pion par l'origine et le but de B est de l’empêcher . Lequel des deux joueurs a une stratégie gagnante ?

Pour que B gagne , le pion ne doit jamais revenir à l'origine , que ce soit A ou B qui l'y ramène .

J'espère que c'est plus clair

Vasimolo

@Gwen : l'échiquier est infini et le premier déplacement ne peut pas être nul , voir premier message

Vasimolo

Soit S, la somme algébrique des xi de tous les déplacements joués précédemment. Alors il existe un n (en fait une infinité) tel que (-S+n, -n) est un déplacement dont les coordonnées, non nulles, n'ont pas été jouées. Pour que A revienne à 0, il lui faut jouer -n pour x, ce qui lui est impossible, étant donné que ça vient juste d'être occupé par le y joué par B.

J'ai corrigé. Connaissant un peu ta manière de raisonner, je pensais que tu aurais pu avoir une réponse plus visuelle, avec un petit dessin. D'autre part, le jeu (a,a) a t il été introduit pour favoriser A ou B ? Dans la solution que je donne, c'est indifférent. Aussi, je me demandais s'il n'y avait pas une autre solution...

@Nodgim: je pense que toutes les variantes du jeu donne le même résultat , on peut aussi faire commencer B . D'autre part il y a une solution très visuelle de la stratégie gagnante ( il suffit d'illustrer le choix de ton vecteur ) .
@Princeleroi : je ne comprends pas comment tu poursuis le choix du déplacement car après les premiers coups les coordonnées des vecteurs ne sont plus confondues avec celles du pion .

Vasimolo

En effet B gagne toujours

Voilà comment on peut voir la solution :

[latex]M(x,y)[/latex] est la position du pion après le dernier coup de A ( qui veut ramener le pion à l'origine O ) . On trace la parallèle à la deuxième bissectrice ( y=-x ) passant par [latex]X(x,0)[/latex] et on choisit sur cette droite un point  N tel que les coordonnées de [latex]\overrightarrow{MN}(a,y-a)[/latex] n’aient jamais été utilisées  .
   


A ne peut revenir à l'origine que par [latex]\overrightarrow{NO}(-x-a,a)[/latex] qui est bien sûr interdit .

Merci pour la participation .

Vasimolo