A condition que (a,b) soit différent de (1,0), car sinon la suite est constante égale à [latex]u_0[/latex], donc converge vers une limite, [latex]u_0[/latex], qui dépend de [latex]u_0[/latex] !

Sinon, en passant à la limite, en notant L la limite de [latex]u_n[/latex] on peut écrire :
L=L.a+b
soit L(1-a)=b

Si a est différent de 1, alors [latex]\fbox{L=\frac{b}{1-a}}[/latex]

Si a=1, alors b=0, et on retrouve le cas de la suite constante

scarta a écrit:

Pas bien dur, mais sympathique.

Soit U une suite convergente, définie par la relation de récurrence suivante :
[TeX]U_{n+1} = a.U_n+b[/latex], a et b étant 2 réels.

Montrer que la limite de cette suite ne dépend pas du premier terme U0

[latex]x = a x + b \Leftrightarrow x = \frac{b}{1-a}[/TeX]
Si [latex]a[/latex] est égal à 1, la suite ne converge que si [latex]b[/latex] est nul, auquel cas la suite est constante, donc convergente vers [latex]U_0[/latex]. Ton énoncé est donc à modifier

Dans les autres cas ([latex]a[/latex] ne vaut pas 1 et la suite converge), on définit une nouvelle suite :
[TeX]V_n = U_n - \frac{b}{1-a}[/TeX]
Alors :
[TeX]V_{n+1} = a.V_n[/TeX]
Cette suite ne converge que si [latex]|a| < 1[/latex] (le cas [latex]a=1[/latex] a été traité séparément), auquel cas sa limite est nulle, donc [latex]U_n[/latex] tend vers [latex]\frac{b}{1-a}[/latex] indépendamment de [latex]U_0[/latex].

En général pour les suites, et quand ça marche, je représente cette suite sur un graphique. Ici donc:
y=ax+b qui est une droite. Sur le même graphique, on échange l'axe des y avec l'axe des x et on reproduit y=ax+b qui est donc symétrique de la 1ere droite par rapport à la droite y=x. Ensuite, on joue avec le trajet d'un x quelconque qui saute d'une droite à l'autre et le résultat apparait directement.
La suite est convergente ssi lal <1. Et la convergence est le croisement des droites (x=b/(1-a)) forcément indépendant de l'origine U0 de la suite.

1) Si a = 1

on a Un = U0 + n*b qui converge seulement pour b=0
On trouve alors Un = U0

2) Si a<> 1

on a Un = (U0 + b/(a-1))*a^n -  b/(a-1)
recurrence quasi immediate (suffit de developper et mettre au meme denominateur)

auquel cas on distingue encore 2 cas :

2.a) si U0 = b/(1-a) alors la suite converge pour tout a et U_n = U0

2.b) si U0 <> b/(1-a) alors la suite converge pour |a|<1 vers b/(1-a) independant de U0

C'est effectivement une suite très intéressante ...
Si elle est convergente c'est que la valeur absolue de a est inférieure à 1.
La limite ne dépend que de a et b : b/(1-a) 

Mais ce n'est pas une démonstration ... j'ai toujours eu horreur de ça !

[TeX]a \neq 1
U_n=a^nU_0+\frac {b(a^n-1)} {a-1}[/TeX]
indépendant de [latex]U_0[/latex] ssi a [latex]\le1[/latex]

je cherche l'explication de cette formule arithmétique - x-=+(moins fois moins égale plus)
je cherche à comprendre ça d'urgence

Je ne suis pas d'accord.

Si a=1 et b=0, alors la suite est constante et donc sa limite dépend clairement de U0.

Par contre si on suppose que a est différent de 1, alors en supposant que la limite de la suite est L, on a:
L = a.L + b
Et donc: L = b / (1-a), indépendant de U0.

L'interprétation géométrique du problème ne permet aucune contestation , après si on veut jouer à faire des calculs savants ...

Vasimolo

PS : L'auteur de l'énigme est-il toujours de ce monde

Mince , moi qui pensais naïvement qu'un petit dessin valait mieux qu'un long discours .

Merci de me remettre dans le droit chemin

Vasimolo

nodgim a écrit:

Je ne vois pas trop alors comment on peut faire de la géométrie...

Avec des complexes \o/