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 #1 - 12-10-2011 16:40:54

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Arithmético-goémétrie

Pas bien dur, mais sympathique.

Soit U une suite convergente, définie par la relation de récurrence suivante :
[latex]U_{n+1} = a.U_n+b[/latex], a et b étant 2 réels.

Montrer que la limite de cette suite ne dépend pas du premier terme U0



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 #2 - 12-10-2011 17:26:08

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

arithmétoco-géométrie

A condition que (a,b) soit différent de (1,0), car sinon la suite est constante égale à [latex]u_0[/latex], donc converge vers une limite, [latex]u_0[/latex], qui dépend de [latex]u_0[/latex] !

Sinon, en passant à la limite, en notant L la limite de [latex]u_n[/latex] on peut écrire :
L=L.a+b
soit L(1-a)=b

Si a est différent de 1, alors [latex]\fbox{L=\frac{b}{1-a}}[/latex]

Si a=1, alors b=0, et on retrouve le cas de la suite constante

 #3 - 12-10-2011 17:47:55

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,471E+3

atithmético-géométrie

Si on prend b différent de zéro OK ... Sinon avec u1 = 0 ça change la limite.

Oups, j'ai encore du dire une bêtise... C'est quoi une suite convergente ?

 #4 - 12-10-2011 17:55:45

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

arithmético-géométrue

scarta a écrit:

Pas bien dur, mais sympathique.

Soit U une suite convergente, définie par la relation de récurrence suivante :
[TeX]U_{n+1} = a.U_n+b[/latex], a et b étant 2 réels.

Montrer que la limite de cette suite ne dépend pas du premier terme U0

[latex]x = a x + b \Leftrightarrow x = \frac{b}{1-a}[/TeX]
Si [latex]a[/latex] est égal à 1, la suite ne converge que si [latex]b[/latex] est nul, auquel cas la suite est constante, donc convergente vers [latex]U_0[/latex]. Ton énoncé est donc à modifier smile

Dans les autres cas ([latex]a[/latex] ne vaut pas 1 et la suite converge), on définit une nouvelle suite :
[TeX]V_n = U_n - \frac{b}{1-a}[/TeX]
Alors :
[TeX]V_{n+1} = a.V_n[/TeX]
Cette suite ne converge que si [latex]|a| < 1[/latex] (le cas [latex]a=1[/latex] a été traité séparément), auquel cas sa limite est nulle, donc [latex]U_n[/latex] tend vers [latex]\frac{b}{1-a}[/latex] indépendamment de [latex]U_0[/latex].


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 #5 - 12-10-2011 18:29:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

arithmético-géométrir

Géométriquement la suite ne peut converger que vers l'abscisse ( et l'ordonnée ) du point d'intersection des droites y=ax+b et y=x .

Vasimolo

 #6 - 12-10-2011 19:07:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

arithmétici-géométrie

En général pour les suites, et quand ça marche, je représente cette suite sur un graphique. Ici donc:
y=ax+b qui est une droite. Sur le même graphique, on échange l'axe des y avec l'axe des x et on reproduit y=ax+b qui est donc symétrique de la 1ere droite par rapport à la droite y=x. Ensuite, on joue avec le trajet d'un x quelconque qui saute d'une droite à l'autre et le résultat apparait directement.
La suite est convergente ssi lal <1. Et la convergence est le croisement des droites (x=b/(1-a)) forcément indépendant de l'origine U0 de la suite.

 #7 - 12-10-2011 19:50:50

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

Arithmético-géoométrie

Converge si |a|<1.
[TeX]u(n) = \frac {b (1-a^n)}{1-a}+c* a^{(n-1)}[/TeX]
où c dépend de [latex]u_0[/latex].

Quand n tend vers l'infini, [latex]u_n[/latex] tend vers [latex]\frac b {1-a}[/latex].

 #8 - 12-10-2011 20:31:05

Yuka2
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 31

Arithmtéico-géométrie

1) Si a = 1

on a Un = U0 + n*b qui converge seulement pour b=0
On trouve alors Un = U0

2) Si a<> 1

on a Un = (U0 + b/(a-1))*a^n -  b/(a-1)
recurrence quasi immediate (suffit de developper et mettre au meme denominateur)

auquel cas on distingue encore 2 cas :

2.a) si U0 = b/(1-a) alors la suite converge pour tout a et U_n = U0

2.b) si U0 <> b/(1-a) alors la suite converge pour |a|<1 vers b/(1-a) independant de U0

 #9 - 12-10-2011 20:38:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Arithmético-égométrie

Bonjour,
U1 = aU0 + b
U2 = aU1 + b = a^2 U0 + b (a+1)
U3 = aU2 + b = a^3 U0 + b (a^2+a+1)
... etc ...
Supposons que a=1; alors nous aurions Un = U0 + nb, ce qui n'est pas une suite convergente, ce qui est en contradiction avec l'énoncé.
Donc a<> 1 et Un = a^n U0 + b (a^n - 1) / (a-1)
ou encore Un = a^n [U0 + b / (a-1)] - b / (a-1)
Supposons maintenant que a>1; alors la suite n'est pas convergente, ce qui est de nouveau en contradiction avec l'énoncé.
Donc a<1 et la suite converge vers b / (1-a)
Bonne soirée.
Frank

 #10 - 12-10-2011 23:31:11

Jackv
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Lieu: 94110

arithlético-géométrie

C'est effectivement une suite très intéressante ...
Si elle est convergente c'est que la valeur absolue de a est inférieure à 1.
La limite ne dépend que de a et b : b/(1-a)  smile

Mais ce n'est pas une démonstration sad ... j'ai toujours eu horreur de ça !

 #11 - 13-10-2011 18:10:41

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

arithmético-géoméyrie

Bonjour,

Ça aussi ça ressemble à un exo de maths smile

Si la suite admet une limite, sa limite  l verifie l=a*l+b. Ça ne dépend que de a et b
Et comme sa nature dépend  aussi uniquement de a et b, l'existence de la limite n'en dépendra pas non plus.

On peut d'ailleurs étendre ce résultat à toutes les suites de la forme un+1=f(un)
si f est continue et si la suite un+1=f(un) est bien définie et converge, sa limite ne dépend pas de u0. Elle est solution de l=f(l).

 #12 - 13-10-2011 18:23:28

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1922
Lieu: UK

Arithmétioc-géométrie

[TeX]a \neq 1
U_n=a^nU_0+\frac {b(a^n-1)} {a-1}[/TeX]
indépendant de [latex]U_0[/latex] ssi a [latex]\le1[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #13 - 13-10-2011 23:09:21

pierreM
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 49

Arithmtéico-géométrie

Ca ne marche pas.

Exemple: a=1, b=0, la limite c'est u0. Qui dépend de u0

 #14 - 14-10-2011 00:47:51

tibatibo
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 1

Arithmmético-géométrie

je cherche l'explication de cette formule arithmétique - x-=+(moins fois moins égale plus)
je cherche à comprendre ça d'urgence

 #15 - 14-10-2011 08:04:11

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
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Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Arithméticog-éométrie

Puisque U est *convergente*, alors sa limite l est indépendante des précédents termes Un, idem pour U0.

De plus, lors n tend vers l'infini, on aura Un qui tend vers l, d'où :
a.l+b=l => l=b/(1-a), cette valeur limite est indépendendante de U0

(J'espère que je n'ai rien loupé, ce qui est fort possible aussi, lol)

 #16 - 14-10-2011 19:16:23

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 198

arithmético-géomérrie

Je ne suis pas d'accord.

Si a=1 et b=0, alors la suite est constante et donc sa limite dépend clairement de U0.

Par contre si on suppose que a est différent de 1, alors en supposant que la limite de la suite est L, on a:
L = a.L + b
Et donc: L = b / (1-a), indépendant de U0.

 #17 - 14-10-2011 19:22:29

norby042
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 2

arirhmético-géométrie

U(1) = a.U(0) + b
U(2) = a^2.u(0) + ab + b
U(n) = a^n.U(0) + SOMME (k=0 -> n-1)[a^k.b]

U(n) converge donc -1<a<1 => lim (n -> inf) [a^n.U(0)] = 0

Donc pas dépendant de U(0) ^^.

Si j'ai pas fait de boulette ^^.

 #18 - 18-10-2011 22:53:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Arithmético-géométri

L'interprétation géométrique du problème ne permet aucune contestation , après si on veut jouer à faire des calculs savants ...

Vasimolo

PS : L'auteur de l'énigme est-il toujours de ce monde big_smile

 #19 - 19-10-2011 18:30:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

aeithmético-géométrie

"Savants". Et comme je l'ai déjà dit, un dessin n'est pas une preuve, vindiou !

PS : oui, Scarta est toujours de ce monde, mais je crois qu'il a un travail qui lui prend du temps, lui lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #20 - 19-10-2011 18:57:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Arithméico-géométrie

Mince , moi qui pensais naïvement qu'un petit dessin valait mieux qu'un long discours .

Merci de me remettre dans le droit chemin big_smile

Vasimolo

 #21 - 19-10-2011 19:16:54

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

arithmérico-géométrie

MthS-MlndN a écrit:

"un dessin n'est pas une preuve, vindiou !

Je ne vois pas trop alors comment on peut faire de la géométrie....

J'ai remarqué que le tracé de la fonction et de sa fonction réciproque sur le même graphe donnait le résultat immédiatement pour les suites (pour lesquelles on peut construire le graphe) mais que ça n'était jamais utilisé dans l'enseignement. Dommage, dommage....

 #22 - 19-10-2011 20:50:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Arithmético-géoméétrie

nodgim a écrit:

Je ne vois pas trop alors comment on peut faire de la géométrie...

Avec des complexes \o/


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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