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 #1 - 08-02-2011 23:32:02

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Le é du secong rang !!

On lance un dé non truqué ,numéroté de 1 à 6; 3 fois de suite.
Soient a le résultat obtenu dans la premiere lancée; b dans la seconde et c dans la derniere.
Quelle est la probabilité pour que l'équation : [latex]ax^2+bx+c=0[/latex] aura une racine double sur [latex]R[/latex].
Bonne chance



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 #2 - 08-02-2011 23:56:42

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

le dé du secong rabg !!

Alors, racine double signifie discrimant nul, donc b²=4ac

Seules possibilités pour le triplet a,b,c :
1,1,2
1,4,4
2,4,2
4,4,1
3,6,3

Ca fait donc 5 tirages sur les 6^3 possibles
La probabilité est donc de [latex]\frac5{216}[/latex] : ça fait pas beaucoup hmm

 #3 - 09-02-2011 00:32:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Le dé du seecong rang !!

Tu veux soit dire que le polynôme a une racine double, soit que l'équation a une et une seule solution. (C'est le prof de maths qui parle roll)
[TeX]ax^2+bx+c[/latex] admet une racine double si et seulement si [latex]b^2=4ac[/latex]. Avec les trois qui sont des entiers tirés par un dé, on peut avoir :

[latex]2^2 = 4 \times (1 \times 1)[/TeX]
[TeX]4^2 = 4 \times (1 \times 4) = 4 \times (2 \times 2) = 4 \times (4 \times 1)[/TeX]
[TeX]6^2 = 4 \times (3 \times 3)[/TeX]
Donc, sur les [latex]6^3=216[/latex] tirages [latex](a,b,c)[/latex] possibles, il y en a 5 qui respectent la condition imposée : [latex](1,2,1) ; (1,4,4) ; (2,4,2) ; (4,4,1) ; (3,6,3)[/latex].

La probabilité recherchée est donc de [latex]\frac{5}{216}[/latex].


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 09-02-2011 04:25:11

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

le dé du szcong rang !!

D'après le programme que j'ai fais, il y a 6^3 combinaisons possibles, donc 216, dont 38 conduisent à une racine double.

donc la probabilité est P=0.176

En espérant que cette probabilité est juste, je vais maintenant tenter de trouver le calcul  !

 #5 - 09-02-2011 04:55:40

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Le dé du scong rang !!

Le polynôme ax²+bx+c a une racine double ssi b²-4ac=0.
Cinq triplets (a,b,c) vérifient cette équation:
(1,2,1) , (1,4,4) , (2,4,2) , (4,4,1) et (3,6,3).
Chacun de ses triplets a une proba de 1/216 de sortir.
Donc la proba que le polynôme est une racine double est:
5/216.

 #6 - 09-02-2011 09:16:31

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Le dé du secong arng !!

Pour que l'équation ait une racine double, il faut et il suffit que le discriminant [latex]b^2-4*a*c[/latex] soit nul.
b doit être pair.
Si b=2, ac=1, seule la combinaison (a=c=1) convient.
Si b=4, ac=4, les 3 combinaisons (a=1, c=4), (a=c=2) et (a=4, c=1) conviennent.
Si b=6, ac =9, seule la combinaison (a=c=3) convient.
Sur les [latex]6^3=216[/latex] combinaisons possibles, seules 5 donnent le résultat souhaité.
La probabilité est donc 5/216 [latex]\approx0.023148[/latex].

 #7 - 09-02-2011 09:20:50

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1434

le dé du seconf rang !!

Si racine double il y a, alors b^2 = 4ac
On va dénombrer ces cas:
Pour a = 1, 4a=4 est un carré donc c est un carré et vaut 1 ou 4 (et b vaut alors 2 ou 4)
Pour a=2, 4a=8 = 2*4, donc c vaut 2 fois un carré et vaut donc 2 (et b vaut alors 4)
Pour a=3, c vaut 3 fois un carré et vaut donc 3 (et b vaut donc 6)
Pour a=4, c est un carré et peut être égal à 1 (b vaudrait alors 4) mais pas à 4 (b ne pouvant être égal à 8)
Pour a=5 ou 6, pareil c=5 ou 6, mais b ne peut pas faire 10 ou 12


Au final donc, 5 combinaisons valables dénombrées sur un total de 6^3
La réponse est donc 5/216

 #8 - 09-02-2011 10:31:19

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

me dé du secong rang !!

Si je ne me trompe pas, les seules possibilités sont :

a = 1, b = 2, c = 1
a = 1, b = 4, c = 4
a = 2, b = 4, c = 2
a = 3, b = 6, c = 3
a = 4, b = 4, c = 1

Ce qui donne au total, [latex]\frac {5}{216}[/latex]


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #9 - 09-02-2011 11:13:52

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Le dé du secongg rang !!

a,b,c sont des entiers positifs de [1,6] il y 6^3 jeux possibles

si la racine de ax^2+bx+c=0 est double on a b^2=4ac

donc b est pair (2, 4 ,6) et ac=(1,4,9)
1=1*1
4=1*4=2*2=4*1
9=3*3

donc il y a 5 solutions soit une probabilité de 5/6^3=0.023

 #10 - 09-02-2011 12:55:35

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

le dé du secong tang !!

On doit avoir b²-4ac=0
b doit être multiple de 4 donc b=2, 4 ou 6
b=2
On a b²=4 soit a=c=1
b=4
On a b²=16 soit a=1 et c=4; a=4 et c=1; a=2 et c=2
b=6
b²=36 soit a=c=3

Soit 5 possibilités sur 6*6*6=216

 #11 - 09-02-2011 14:21:11

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Le dé du secong rrang !!

racine double ssi b²-4ac=0
ie 4|b^2
donc b=2,4 ou 6

b=2 donne a=c=1
b=4 bonne ac=4, donc (1,4) ,(2,2) ou (4,1) pour (a,c)
b=6 donne ac=9 soit a=c=3

5 possibilités sur 216=6^3

p=5/216

 #12 - 09-02-2011 15:58:56

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Le dé du secong rang !

Si l'équation ax² + bx + c = 0 admet une racine double dans R, cela signifie que son discriminant b² - 4.a.c est nul.

Regardons combien doit valoir a.c en fonction des six valeurs possibles pour b :
si b=1    alors b²=1        donc a.c=1/4
si b=2    alors b²=4        donc a.c=1
si b=3    alors b²=9        donc a.c=9/4
si b=4    alors b²=16    donc a.c=4
si b=5    alors b²=25    donc a.c=25/4
si b=6    alors b²=36    donc a.c=9

a et c étant entiers, b est dans {2; 4; 6}

Si b vaut 2, une possibilité : a et c valent tous les deux 1.
Si b vaut 4, il y a trois possibilités pour a et c : 1 et 4, 2 et 2, 4 et 1.
Si b vaut 6, une seule possibilité : a et c valent tous les deux 3.

Ce la nous fait en tout 5 cas favorables.

Les trois jets de dé étant indépendants entre eux, le nombre total de possibilités est de 6x6x6, soit 216 possibilités.

La probabilité que l'équation ax² + bx + c = 0 admette une racine double dans R est donc de 5/216.


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #13 - 09-02-2011 16:21:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Le dé du secnog rang !!

On doit avoir [latex]b^2=4ac[/latex] donc b est pair .

Si b=2 alors ac=1 c'est à dire a=c=1 .
Si b=4 alors ac=4 c'est à dire (a,c) dans {(1,4),(2,2),(4,1)}
Si b=6 alors ac=9 c'est à dire a=c=3 .

Donc 5 solutions gagnantes sur [latex]6^3=216[/latex] possibilités [latex]P=\frac{5}{216}[/latex] .

Un peu plus de 2% smile

Vasimolo

 #14 - 09-02-2011 16:28:14

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Le dé du secon rang !!

mitsuidewi: mauvaise réponse


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #15 - 09-02-2011 16:34:40

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2717
Lieu: Luxembourg

Le dé du secong ang !!

Bonjour,
On fait varier a, b et c chacun de 1 à 6, donc 6^3 = 216 possibilités.
On calcule pour chacune des possibilités la valeur de bb - 4ac (sur Excel: je suis fainéant) qui s'annule 5 fois pour abc valant respectivement 121, 144, 242, 363 et 441.
La réponse est donc 5 / 216 = env. 2,31%.
Ma méthode est un peu "bulldozer" (normal: je travaille dans le BTP), mais une démonstration plus "théorique" me semble bien plus compliquée et sourtout sujette à erreur (comme quoi, les bulldozers ont aussi un bon côté).
Bonne journée.
Frank

 #16 - 10-02-2011 10:30:11

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

le dé du sevong rang !!

aaah  ??
j'ai pourtant vérifié. On est bien d'accord qu'il existe 6^3 combinaisons possible {a,b,c} , donc 216.
Il en existe 38 telles que ax²+bx+c=0, donc la probabilité d'en avoir une est égale à :
P=38/216 = 0.176

Où est mon erreur ?

 #17 - 10-02-2011 10:49:41

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1922
Lieu: UK

le dé du secing rang !!

L’équation admet une racine double lorsque le discriminant b²-4ac est nul.
on obtient les cinq triplets suivants:
a = 1  1  2  3  4
b = 2  4  4  6  4
c = 1  4  2  3  1
ce qui donne une probabilité de [latex]P=\frac{5}{6^3}\approx 2.3%[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #18 - 10-02-2011 10:54:58

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

le dé du secong rabg !!

j'ai refais les simulations, et c'est formel.

P(delta >0) = 0.176
P(delta <0) = 0.801
P(delta =0) = 0.023

ca fait 1... je ne vois pas en quoi c'est faux, alors je suis impatient de connaitre la solution !

 #19 - 10-02-2011 18:11:53

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Le dé du secongg rang !!

il faut que trouver tous les couples (a;b;c) dans {1;2;3;4;5;6} tel que b²-4ac=0 d'où b²=4ac donc b est pair donc b=2 ou 4 ou 6
si b=2 alors b²=4 donc ac=1 donc a=c=1
si b=4 alors b²=16 donc ac=4 donc 3 solutions (a;c)=(1;4);(2;2) ou (4;1)
si b=6 alors b²=36 donc ac=9 donc a=c=3
donc P(racine double)= 5/216

 #20 - 11-02-2011 11:00:16

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Le dé du secong ang !!

Je n'ai pas trouvé de méthode plus mathématique qu'un dénombrement.
Je trouve 38 triplets parmi les 216 possibles qui conviennent, soit une probabilité de 19/108 ~ 17,6%. Toutes les solutions sont négatives.
Parmi ces 38 triplets, 15 donnent des solutions entières (qui sont les seules rationnelles parmi ces triplets).

La probabilité qu'il n'y ait qu'une seule solution est: 5/216 ~ 2,3% Dans ce cas elles sont toutes entières.

 

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