Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 15-02-2011 11:15:12

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

2 boles dans un cube

Voici un problème assez sympathique. Pour les adeptes de la logique associée aux mathématiques.

Soient 2 boules de rayon R, dans un cube de coté a.
Trouver a tel que le volume du cube soit le plus petit possible.



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 15-02-2011 11:44:16

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3820
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

2 bules dans un cube

mitsuidewi a écrit:

Soient 2 boules de rayon R, dans un cube de rayon a.

Un cube de rayon a ? lol

Je pense que tout le monde aura rectifié....


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 15-02-2011 12:04:55

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

2 boule sdans un cube

oups... dans le feux de l'action la bêtise est maîtresse ! corrigé

 #4 - 15-02-2011 13:11:41

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

2 bouls dans un cube

Ce probleme est l'inverse de Celui la.
La reponse est donc::
r = a * (3−√3)÷4 ou encore a = r* 4 / (3−√3) = r * (2+(2*√3/3))


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #5 - 15-02-2011 13:48:57

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

2 boules daans un cube

J'ai compris ton énoncé dans le sens: trouver le cube le plus petit possible pouvant contenir 2 boules de rayon R de façon que les boules ne se rentrent pas l'une dans l'autre.

Quand on met une boule de rayon R dans un coin du cube, la distance de son centre au sommet de ce coin est R.racine²(3).
On en déduit que en mettant deux boules dans les 2 coins opposés d'un cube, on peut réduire la grande diagonale du cube à 2.R.(1+racine²(3)).
Le cube a alors un coté valant a=2.R.(1+racine²(3))/racine²(3).

 #6 - 15-02-2011 15:19:30

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 485
Lieu: Ardèche

2 bboules dans un cube

La boule de centre R, R, R doit passer par le point a/2, a/2, a/2,
point où elle sera tangente à l'autre boule sur la diagonale a, a, a du cube de sommet O.
(x-R)²+(y-R)²+(z-R)²=R² appliqué à ce point donne :
3(a-2R)²=4R²
a-2R=±2R/rac(3) On retient la valeur positive :
a=2R(1+rac(3)/3)=3.155*R environ

 #7 - 15-02-2011 16:35:44

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

2 bouls dans un cube

je trouve le coté du cube  C (2c) égal à (r=1)

2c =  2*(1+1/(3^0,5)

je prend un système de coordonnées centré en O centre du cube

par symétrie les sphères sont en contact en O

coordonnées de O1 x= r * cos a * cos b , y = r * cos a  * sin b  , z = r sin a


par symétrie b= pi/4

sin b= cos b ==1/2^0,5
la sphère touche le coté supérieur du cube

r sin a  + r = c

la sphère touche un coté du cube

r cos a cos b + r = a = r cos a * (1/2^0.5) + r

c= 1 + 1/ (3^0,5)

 #8 - 15-02-2011 17:29:07

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1927
Lieu: UK

2 boulse dans un cube

[TeX]R=\frac{3-\sqr3}{4}a\approx=0.317a[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 15-02-2011 19:16:28

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

2 noules dans un cube

Je propose [latex]a=\frac{2R(sqrt{3}+1)}{sqrt{3}}[/latex]

Je cale mon cube sur les axes avec un sommet en (0,0,0).
Je pars du principe que les deux sphères ont leur centre sur la diagonale intérieure du cube et sont tangentes à trois faces.
La première sphère a donc son centre en (R,R,R) situé à [latex]R sqrt{3}[/latex] de l'origine.
Je rajoute un rayon pour arriver au point de tangence des deux sphères : [latex]R+R sqrt{3}[/latex].
Par symétrie, je double cette longueur et j'obtiens la diagonale du cube: [latex]2(R+R sqrt{3})[/latex]
Je divise la diagonale par [latex]sqrt{3}[/latex] pour obtenir l'arête a.

 #10 - 15-02-2011 19:39:04

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2801
Lieu: Luxembourg

2 boules dans ub cube

Bonjour,
Je dispose les 2 boules dans la grande diagonale du cube.
Cette diagonale vaut aV(1+1+1) soit aV3.
Les cubes se touchent donc cette diagonale vaut aussi RV3+R+RV3.
On aura donc aV3 = R(1+2V3) soit a=R(2+1/V3) ou a=2,577R environ.
Cela ne me semble pas beaucoup: me serais-je trompé ?
Bonne soirée.
Frank

 #11 - 16-02-2011 00:24:10

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2097
Lieu: 94110

2 boules dans yn cube

Beau problème, plus difficile que je l'avais imaginé au premier abord ... et qui mérite une petite figure :
http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-2_boules.jpg
Il reste à résoudre une équation du 2ème degré issue de l'application du théorème de Pythagore et je n'ai jamais été très doué dans le développement de formules un peu compliquées ...

Avec un peu de chance, je dirai :
  a = 2.7308 R  ??  hmm

 #12 - 16-02-2011 02:41:59

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

2 boules dans un cbue

irmo322: Bien joué !

dhrm 77 : je sais bien qu'il s'agit de ton énigme "inverse" mais tu pourrais quand même expliquer comment tu as trouvé ça. autrement c'est la bonne réponse.

halloduda : Méthode originale, mais ca fonctionne !

debutant1 : il faut montrer comment tu as fais.

franck9525 : il y a une erreur, et puis comment fais tu pour obtenir un nombre à la fin alors que j'ai donné des lettres?

loozer : montres comment tu as fais.

franky1103 : revois le cube dans ta tête, tu t'es trompé quelque part.

Jackv : Bonne méthode, mais comme franky1103, tu as dû te tromper dans la disposition des boules.

Je tiens à vous dire que je suis plutôt content de votre participation, c'est ma 1ere énigme et j'avais peur qu'elle fasse un bide totale ^^

 #13 - 16-02-2011 09:07:42

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

2 boules ddans un cube

Mitsuidewi : dhrm n'a pas eu de mal à trouver smile regarde ici : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=5143

 #14 - 16-02-2011 09:38:25

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

2 boules dans un cubr

mais j'ai bien vu, il me l'a aussi envoyé. Mais plutôt que de montrer un lien, soit vous ne dites rien, soit vous montrez vos résultats.
Ce problème n'est pas tout à fait celui publié par dhrm77, il est même plus simple, alors profitez de la facilité pour donner la réponse, et l'expliquer.

 #15 - 16-02-2011 10:14:51

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

2 boulse dans un cube

Le problème de dhrm englobe le tien comme cas particulier.
Si on est plusieurs à te donner le lien c'est que nous on ne voit pas ce que les autres ont écrit...
Et on te le donne pour que tu ne t'étonnes pas que d'autres trouvent facilement.
Ne te vexe pas, en bon matheux on est partisans du moindre effort : si la solution est quelque part et qu'on peut se "ramener au problème précédent", on ne se gêne pas.

Je voulais juste t'informer, c'est tout.

 #16 - 16-02-2011 12:37:41

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

2 boules dans ub cube

Ne t'inquiètes pas je n'ai rien contre toi. Je suis sûrement sur la défensive étant donné que c'est ma première énigme. Ça me fait littéralement c**** que mon énigme se trouve dans l'énigme d'un autre. (je ne l'avais pas vu...)

Cependant plusieurs personnes m'ont chacunes donné une méthode différente.
C'est pourquoi tout ceux qui donnent une réponse sans explications, sont encouragés à le faire, pour comparer les méthodes.

 #17 - 16-02-2011 12:52:10

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

2 boules dans n cube

Pour l'explication c'est simple, il suffit de determiner les points de contact et de poser les équations. Les détails sont déja donnés sur la deuxieme page de l'autre sujet. Pour 2 boules c'est super-simple, attend de voir pour 18 boules...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #18 - 16-02-2011 16:38:19

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2801
Lieu: Luxembourg

2 boules dans un cibe

Bonjour,
Je crois que j'ai vu mon erreur.
J'ai oublié de compter un rayon.
C'est donc a=2R(1+1/V3)=env.3,155R.
Juste cette fois ?
Ca me semble encore faible.
Mais l'intuition est parfois trompeuse.
Bonne journée.
Frank

 #19 - 16-02-2011 17:38:17

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2097
Lieu: 94110

2 boulrs dans un cube

OK, j'ai bien vu mon erreur : j'ai considéré que les sphères venaient tangenter les 2 arêtes opposées  sad
Du coup, les expressions deviennent trop difficiles à manipuler pour ma petite tête : j'abandonne.
Cela reste un excellent exercice, hélas trop fort pour moi.
Merci pour la cogitation.

 #20 - 16-02-2011 21:39:06

yacine97
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 10

2 boules dans un cueb

A = 2r

 #21 - 16-02-2011 22:46:17

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

2 boules dans un cub

franky1103 : bravo, cette fois c'est juste, je me disais bien qu'il s'agissait d'un simple oubli.

Jackc : aller un petit effort, tu as bien avance, fais un dessin et mets y toutes les donnees que tu connais.

Yacine97 : il va falloir reflechir plus que ca.

 #22 - 18-02-2011 12:27:34

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

2 bouled dans un cube

Voici la réponse :

Pour que le cube soit le plus petit possible, il faut que les 2 boules se trouvent sur la grande diagonale. Mais la subtilité est que les boules ne touches pas les arrêtes verticales, voici le dessin :

http://www.prise2tete.fr/upload/mitsuidewi-cube1.PNG

Pour calculer la distance entre une boule et une arrête, il faut regarder le cube par le haut, on obtient donc :

http://www.prise2tete.fr/upload/mitsuidewi-cube2.PNG

Le trait bleu représente cette fameuse distance. Je passe les calculs

Pour exprimer a en fonction de R, il suffit de se placer dans le triangle ABC :
D'après Pythagore on a :
[TeX](a-2R)^2+\(a\sqrt{2}-2R\(\sqrt{2}-1\)-2R\)^2 \,=\,4R^2\\
a^2-4aR+4R^2+2a^2-8aR+8R^2=4R^2\\
3a^2-12aR+8R^2=0\\[/TeX][TeX]\Delta = 144R^2-96R^2=48R^2[/TeX][TeX]a_-=\frac{12R-4R\sqrt{3}}{6}=2R(1-\frac{\sqrt{3}}{3})\\
a_+=2R(1+\frac{\sqrt{3}}{3})[/TeX]
Comme [latex]a\> R[/latex] on doit choisir [latex]a_+[/latex].

La réponse est donc [latex]a=2R(1+\frac{\sqrt{3}}{3})[/latex]

Merci à tous ceux qui ont participé à cette énigme.
Vous trouverez également plus d'informations dans cette énigme qui traite le cas de plus d'une boule. http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=5143

 #23 - 18-02-2011 18:10:28

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

2 boumes dans un cube

Merci pour ta première énigme. Bonne continuation sur le forum smile

 #24 - 18-02-2011 19:03:44

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

2 boulse dans un cube

Quelqu'un connait-il un logiciel libre de géométrie dynamique qui permettrait de modéliser ce problème des deux sphères dans un cube ?

 #25 - 18-02-2011 21:04:19

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

2 boules dans un cub

J'avais essayé plein de logiciel mais c'est la misère... Du coup j'ai utilisé word... Pour le 3D par contre c'est une autre histoire!

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Un berger a 20 moutons, ils meurent tous sauf 12, combien en reste-t-il ?

Sujets similaires

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)
Enigme abc 246 (19) — Boule dans un cube (18) — Diagonale cube insere dans boule (7) — Exercices theoreme de pythagore (4) — Abc 246 (4) — Exprimer a cote d un carre en fonction de r rayon des deux cercles (4) — Equation tres difficile (3) — Boules dans un cube (3) — 2 boules dans un cube (3) — Cube developpement (3) — Theoreme de pythagore formule (3) — Cube boule (3) — Probleme geometrie boule cube (3) — Cube dessin (2) — Calcul comparer le volume d une sphere et d un cube (2) — Poser une equation egale a 41 (2) — Calculer developpe d une sphere (2) — Boules cube (2) — L enigme de abc et 246 (2) — Deux boules dans un cube probleme de mathematiques (2) — Calcul volume carre (2) — Rayon de deux spheres comprises dans un cube (2) — Boules cube nombre de (2) — Sphere dans un cube (2) — Enigmeabc 246 (2) — Deux spheres dans un cube (2) — Diagonale du cube et sphere (2) — Distance sur un cube (2) — Theoreme de pythagore 3d (2) — Croquis d une boule (2) — Calcul cotes d une sphere (2) — Comment trouver le milieu d un cube (2) — Cylindre volume (2) — Volume d un cube en boules (2) — Dessin d une sphere pose sur un cube (2) — Cube arretes (2) — Boules tangeante dans un cube (2) — Cube 3d dessin (2) — Abc 246 enigme (2) — Probleme maths boule dans cube tangente (1) — Enigme avec abc 246 (1) — Abc 246 enigme solution (1) — Solution boulle.cube (1) — Enigme abc 246? (1) — Determiner le nombre de boule dans un cube (1) — Que represente le cube en publicite (1) — Probleme maths boule dans cube (1) — Dessin ou on ne voit plus le cube (1) — Solution enigme abc 246 (1) — 36 cube (1) — Sphere tangente aux aretes d un cube (1) — 2 boules (1) — Comment calculer l inverse d un cube (1) — ?quation deuxi?me degr? (1) — Cube 3d boule (1) — Comment trouver combien de boule contient la cube (1) — Combien de boules contient un cube (1) — Exercice un cube et deux boule (1) — Pourquoi le volume d une boule est superieur au volume d un cube (1) — Un cube contient des boules (1) — Inscrire une boule dans un cube (1) — Un cube dans une boule (1) — Math boules cube (1) — Enigme abc 246 reponse (1) — Application dessin boule enigme (1) — Dessin a double sens (1) — Reponse enigme abc 246 (1) — Un logiciel pour dessiner les figures geometriques (1) — Volume d un cube de boules (1) — Boule cube (1) — Reponse d enigme je dispose de 2 sortes de cubes (1) — Reponse pour enigme abc 246 (1) — Comment utiliser les billes pour calculer (1) — Developpement d une sphere dessin (1) — Devinette inverse (1) — Boule d enigme cube (1) — Comment determiner le nombre de developpement du cube (1) — Enigme -2n+2r (1) — Enigme abc 246 solution (1) — Cube 3d grosse aretes (1) — Boule+cube (1) — Boule tangente + aretes d un cube (1) — 2 spheres dans un cube (1) — Comment trouver le nombre de boule dans un cube (1) — Cube dans boule (1) — Mathematique cube et boule au centre (1) — Hyper competitive business environment (1) — Jeu boule et cube (1) — Modele de hardcore (1) — Jeux de cube boule (1) — Sup sup de l esperance (1) — Enigme sapin a 11 boules (1) — Boule tangente a un cube (1) — (1) — Calcul volume des billes dans un cube (1) — Calculer les metres cubes d un sapin (1) — Dessine les figures 4 et 5 et determine pour chacune le nombre de boules (1) — 2 boules inscrites dans un cube (1) — Boules dans cube (1) — Calcul diagonale cube (1) — Probleme maths sphere dans cube (1) — Comment trouver un nombres de boules dans un cube (1) — Comment calculer le nombre de boules dans un cube (1) — Cube boules (1) — Comment calculer le nombre de boules qu il y a dans un cube (1) —

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete