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 #1 - 01-05-2015 18:00:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteeau 97

Bonjour à tous smile

Depuis quelque temps mon pâtissier s’est lancé dans la confection de biscuits . Il aime particulièrement les pistaches , les fraises et la vanille et il s’arrange pour incorporer au moins l’un de ses ingrédients dans chacune de ses friandises . Il  ne connait pas bien le nombre d’éléments de sa dernière production mais il sait qu’il y a exactement 200 biscuits contenant chacun de ces parfums ( 200 pour chaque ) . Il me demande s’il est certain de pouvoir tout ranger dans 10 boîtes de façon à ce que chacune d’entre elles contienne exactement 20 biscuits pour chacun des 3 composants .

Qu'en pensez-vous ?

Pour que la consigne soit bien claire , un exemple avec 10 biscuits et exactement 6 pour chacune des saveurs attendues :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Gateau97.png

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : Il n’est pas exigé que chaque boîte contienne le même nombre de biscuits .



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 #2 - 01-05-2015 19:11:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteau 9

Pas sûr de comprendre. Tu as 200 biscuits à 3 parfums ?

 #3 - 01-05-2015 19:18:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâeau 97

Il y a 200 biscuits contenant de la pistache ( et peut-être autre chose ) , 200 contenant de la fraise ( et peut-être autre chose ) , ...

Le même biscuit peut être compté plusieurs fois smile

Vasimolo

 #4 - 01-05-2015 23:00:57

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

gâteai 97

Je dirais que oui, c'est toujours possible.

Les biscuits sont de 7 types : FPV (ceux qui contiennent Fraise et Pistache et Vanille), FP, FV, PV, F, P et V.

On peut poser que les nombres de biscuits de chaque type sont :

FPV a
FP  b
FV  c
PV  d
F   200-(a+b+c)
P   200-(a+b+d)
V   200-(a+c+d)

On sélectionne un maximum de biscuits des types suivants, et on les regroupe, de façon à obtenir des ensembles équilibrés :

{FPV}       a
{FP,FV,PV}  min(b,c,d)
{F,P,V}     min(200-(a+b+c);200-(a+b+d);200-(a+c+d))

(on a indiqué à droite les cardinaux de ces ensembles).

Une fois ces biscuits retirés, il reste :
* b-min(b,c,d) biscuits de type FP
* 200-(a+c+d)-min(200-(a+b+c);200-(a+b+d);200-(a+c+d)) biscuits de type V

Or 200-(a+c+d)-min(200-(a+b+c);200-(a+b+d);200-(a+c+d))
= 200-(a+c+d)-min(200-(a+b+c+d)+d;200-(a+b+c+d)+c;200-(a+b+c+d)+b)
= 200-(a+c+d)-(200-(a+b+c+d)+min(d;c;b))
= b-min(d;c;b)

Donc il reste autant de biscuits de type FP que de biscuits de type V.
De même avec FV et P, et avec PV et F.

Finalement, on peut regrouper tous les biscuits dans les ensembles équilibrés suivants :

{FPV}       a
{FP,FV,PV}  min(b,c,d)
{F,P,V}     min(200-(a+b+c);200-(a+b+d);200-(a+c+d))
{FP,V}      b-min(b,c,d)
{FV,P}      c-min(b,c,d)
{PV,F}      d-min(b,c,d)

Comme chacun de ces ensembles ne contient qu'un biscuit pour chaque parfum, hormis à la 2e ligne où ils contiennent 2 biscuits pour chaque parfum, il est facile de remplir les boîtes avec ces ensembles.

Il suffit par exemple de remplir les premières boîtes avec 10 ensembles de la 2e ligne chacune, puis lorsqu'il reste strictement moins de 10 ensembles de la 2e ligne, on termine les ensembles de la 2e ligne dans une boîte, et on répartit les autres ensembles dans n'importe quel ordre.

 #5 - 02-05-2015 08:20:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

hâteau 97

Si on prend les 7 types de gateaux possibles en codant les trois couleurs par un 1 :
A 001
B 010
C 100
D 011
E 101
F 110
G 111

On remplit des boites de 20 gateaux avec les G (autant de chaque couleur)

Puis on refait pareil avec 20 triplets ABC (idem) jusqu'à ce qu'un d'entre eux vienne à manquer. (on suppose que c'est A)

Puis on refait pareil avec 10 triplets DEF  jusqu'à ce qu'un d'entre eux vienne à manquer.

Là, on a deux solutions :

1 ) C'est F qui vient à manquer.

Il reste donc :
B 010
C 100
D 011
E 101

On refait la même chose avec BE et CD
Quel que soit le couple épuisé en premier, (BC, BD, EC ou ED) celui qui reste sera un couple dont les deux membres excluent toute possibilité d'existence si leur cardinal n'est pas nul.

2 ) c'est D ou E  qui vient à manquer (on suppose D)

Il reste donc :
B 010
C 100
E 101
F 110

On répartit des couples BE  jusqu'à ce qu'un d'entre eux vienne à manquer.

S'il reste BCF : impossible troisieme couleur manquante
S'il reste  CEF : impossible car ils ont tous la première donc le cardinal est nul

 #6 - 02-05-2015 10:09:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteua 97

@Ebichu : c'est bon mais il faut finir de vider les éléments de la deuxième ligne en mettant un triplet par boîte jusqu'à épuisement des biscuits puis poursuivre le remplissage avec les autres lignes là où l'on s'est arrêté . C'est peut-être ce que tu as voulu dire dans ta dernière phrase .

@Gwen : C'est bon aussi mais je ne vois pas pourquoi tu remplis avec 20 gâteaux à chaque fois .

Les deux méthodes ne sont pas tout à fait les mêmes et la mienne est encore différente .

Bon courage à ceux qui cherchent encore smile

Vasimolo

 #7 - 02-05-2015 10:17:07

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,464E+3

Gâteau 9

ABC 20 triplets pour avoir 20 fois chaque couleur dans une boîte
G 20 gâteaux pour le même résultat
DEF , seulement 10 triplets.
... D'ailleurs il faudrait peut-être garder les G pour la fin, des fois qu' on ait un nombre impair.

 #8 - 02-05-2015 10:48:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

GGâteau 97

D'accord , j'avais mal compris , je pensais que tu remplissais toutes les boîtes en même temps alors que tu procèdes boîte après boîte .

Et j'avais fait la même méprise avec la méthode de Ebichu sad

Vasimolo

 #9 - 02-05-2015 11:15:42

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Gâteau 9

@Vasimolo : oui, c'est bien ce que ma dernière phrase voulait dire, on arrive à se comprendre smile

 #10 - 03-05-2015 08:58:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâtea 97

Vocabulaire:
RVJ:biscuit aux 3 parfums; RJ: biscuits au parfum R et J. V: biscuit au seul parfum V.

Fabrication des biscuits: on prévoit 200 cases, on y met  1 biscuit dans chaque case et on les parfume R. Ensuite, on parfume certains en V ou on ajoute des V, ça donne:

<------RV------><------R------->
.......................<------V------->

On vient ensuite compléter avec le parfum J. On n'ajoute pas pour l'instant de biscuits J. ça donne 6 zones:

<----RVJ---><---RV--><---RJ---><---RJ---><---R---><---R---->
.................................<---VJ---><----V---><---VJ---><--V----->
<....Z1.......><....Z2..><...Z3.....><....Z4..><...Z5....><...Z6....>

On a cardZ3<=cardZ2+cardZ6
Echanges jusqu'à refus des VJ de Z3 avec V de Z6 ==>cardZ3 et cardZ6 baissent au profit de cardZ4 et cardZ5.

1er cas
Z3 supprimée: on complète les cases de Z2 et Z6 par des J. Toutes les cases ont alors un parfum et un seul.
<----RVJ---><---RV--><---RJ---><---R-------><---R---->
...................<----J---><----V---><---VJ------><--V----->
....................................................................<--J----->
<....Z1.......><....Z2..><....Z4..><...Z5........><...Z6....>

 

2ème cas
Z6 supprimée, il reste des cases Z3 avec cardZ2>=card Z3
<----RVJ--><---RV-------><---RJ---><---RJ---><---R---->
......................................<---VJ---><----V---><---VJ--->
<....Z1.....><....Z2........><...Z3.....><....Z4..><...Z5....>

Rangement dans les boites: Quand on prend un biscuit dans une case pour le mettre dans une boîte, on prend tous les autres biscuits de la case pour les mettre dans la même boîte.
Pour le 1er cas, aucune réserve pour le rangement. 

Pour le 2ème cas, quand on prend un biscuit de Z2, on prend en même temps les 2 biscuits de Z3, on a comptablise ainsi 2R, 2V et 2J. Pour les biscuits de Z2 seuls, on complète par un J.

 #11 - 03-05-2015 18:26:01

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 110

Gâtea 97

J'espère que je ne suis pas en retard, je commence l'explication:
On a 10 boites où on doit mettre 20 biscuits de chaque parfum et dans chaque boite ce qui implique qu'on doit mettre 60 biscuits dans chaque boite car un seul biscuit peut être compter plusieurs fois:
Si un biscuit contient un seul élément il est compté une seul fois.
Si un biscuit contient deux éléments il est compté deux fois.
Si un biscuit contient trois éléments il est compté trois fois.
Posons:
a le nombre de biscuits qui contiennent un élément dans une boite
b le nombre de biscuits qui contiennent deux éléments dans une boite
c le nombre de biscuits qui contiennent trois éléments dans une boite.
On va avoir cette relation a+2b+3c=60 pour une seule boite.
On a a+2b=60-3c ce qui implique que a+2b est divisible par 3 alors
a+2b=3k c'est une condition (k peut être égal à 0)
Alors tant que cette condition est respectée on peut mettre 20 biscuits de chaque parfum dans chaque boite.
De la même manière posons:
A le nombre total de biscuits qui contiennent un élément
B le nombre total de biscuits qui contiennent deux éléments
C le nombre total de biscuits qui contiennent trois éléments
N le nombre total de biscuits
On a: A+2B+3C=600
         A+B+C=N
         200≤N≤600
qui implique trois relations :
B+2C=600-N
A-C=2N-600
2A+B=3N-600
Tant que ces 3 relations étaient respectées dès le départ on peut répartir les biscuits en 10 boites en respectant l'autre condition.
Bonne soirée.

 #12 - 05-05-2015 21:37:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâeau 97

Une réponse un peu  tardive , j'ai eu quelques soucis sad

J'ai survolé les démonstrations de Nodgim et Dbab et je ne suis vraiment pas convaincu , désolé si j'ai raté une idée simple .

Mon approche ressemblait à celle d'Ebichu avec un petit raccourci en passant par l'absurde .

On suppose qu’il existe un ensemble de biscuits avec les parfums demandés et impossible à ranger dans les 10 boîtes avec 20 biscuits pour chaque parfum .  On choisit alors un exemple avec un nombre minimal de biscuits . Si 2 des biscuits de cet ensemble n’ont aucun parfum en commun , on remplace ces 2 biscuits par un seul réunissant leurs parfums . Par hypothèse ce nouvel ensemble peut être partagé équitablement , il suffit alors de briser le biscuit en 2 dans sa boîte pour obtenir une contradiction . Maintenant , s’il existe un biscuit avec un seul parfum alors tous les autres biscuits ont aussi ce parfum c’est-à-dire qu’il y a en tout 200 biscuits et pas plus de 199 contenant chacun des 2 autres parfums : c’est impossible . Tous les biscuits ont donc au moins 2 parfums .

On note PF , VF , PV et PVF le nombre de biscuits dont les parfums sont pistache--fraise , vanille-fraise , … , et n le nombre total de biscuits . On a :

PF+VF+PVF=200
PF+PV+PVF=200
VF+PV+PVF=200
PF+VF+PV+PVF=n .

Donc VF=PV=VF=n-200 et PVF=600-2n=2(300-n) .

On fabrique des triplets de biscuits aux parfums VF+PV+VF et des paires de biscuits PVF . On a en tout n-200+300-n=100 paquets de 2 ou 3 biscuits chacun d’entre eux contenant exactement 2 fois chacun des parfums . Il suffit de répartir ces paires et ces triplets équitablement dans les 10 boîtes pour avoir 10X2=20 fois chaque parfum dans chacune d’entre-elles .

Le contre-exemple n’en est donc pas un .

Un grand merci aux participants smile

Vasimolo

 #13 - 06-05-2015 18:11:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
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hâteau 97

Vasimolo,
Ne pas être convaincu après un survol....
Toutefois, ci-après une version allégée plus lisible:

Vocabulaire:
RVJ:biscuit aux 3 parfums; RJ: biscuits au parfum R et J. V: biscuit au seul parfum V.
Lettres T(total) A à D: cardinal des groupes. On suppose B>C>D (par symétrie..)
Groupements et cardinal:
RJV.....RV.....RJ.....JV..........R...................J..............V
..A.......B.......C......D.....T-A-B-C.......T-A-C-D......T-A-B-D
On met dans les boites les RJV et les (1 RV, 1 RJ, 1JV). reste:
RJV.....RV.....RJ.....JV..........R...................J..............V
..0.....B-D....C-D....0......T-A-B-C.......T-A-C-D......T-A-B-D
On met dans les boites les (1 RV, 1 RJ, 1J et 1V). reste:
RJV.....RV.....RJ.....JV..........R...................J..............V
..0.....B-C......0......0......T-A-B-C.......T-A-2C......T-A-B-C
On met dans les boites les (1 RV, 1J). reste:
RJV.....RV.....RJ.....JV..........R...................J..............V
..0.......0........0......0......T-A-B-C.......T-A-B-C......T-A-B-C
On met dans les boites les (1R+1J+1V). reste rien.

 #14 - 06-05-2015 18:53:16

Vasimolo
Le pâtissier
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Gââteau 97

Quand je dis que je ne suis pas convaincu par ta démonstration ce n'est pas parce que j'ai eu la paresse de la lire mais parce que je ne la comprends pas .

J'ai l'impression que le problème est pris à l'envers et que le développement est une succession d'affirmations jamais justifiées . Comme je le disais , il y a peut-être une idée simple derrière tout ça , mais pour le moment elle m'échappe smile

Et le résumé n'arrange rien lollollol

D'un autre côté j'ai toujours eu beaucoup de mal à suivre ta logique smile

Vasimolo

 #15 - 09-05-2015 08:39:39

nodgim
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âteau 97

Parfois, juste en changeant une phrase.. (message 13).

 #16 - 09-05-2015 10:27:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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hâteau 97

D'accord , là c'est limpide . Il faut quand même être attentif à la façon de remplir les boîtes car on distribue parfois d'un coup deux fois le même parfum et on pourrait se retrouver avec deux boîtes 19-21 .

Vasimolo

 #17 - 09-05-2015 12:50:59

nodgim
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gâtzau 97

Oui, bien sûr. On peut dire qu'on peut remplir 100 boites ici, puisque les groupements ont au plus 2 représentants de chaque parfum.

 

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