Pas sûr de comprendre. Tu as 200 biscuits à 3 parfums ?

Je dirais que oui, c'est toujours possible.

Les biscuits sont de 7 types : FPV (ceux qui contiennent Fraise et Pistache et Vanille), FP, FV, PV, F, P et V.

On peut poser que les nombres de biscuits de chaque type sont :

FPV a
FP  b
FV  c
PV  d
F   200-(a+b+c)
P   200-(a+b+d)
V   200-(a+c+d)

On sélectionne un maximum de biscuits des types suivants, et on les regroupe, de façon à obtenir des ensembles équilibrés :

{FPV}       a
{FP,FV,PV}  min(b,c,d)
{F,P,V}     min(200-(a+b+c);200-(a+b+d);200-(a+c+d))

(on a indiqué à droite les cardinaux de ces ensembles).

Une fois ces biscuits retirés, il reste :
* b-min(b,c,d) biscuits de type FP
* 200-(a+c+d)-min(200-(a+b+c);200-(a+b+d);200-(a+c+d)) biscuits de type V

Or 200-(a+c+d)-min(200-(a+b+c);200-(a+b+d);200-(a+c+d))
= 200-(a+c+d)-min(200-(a+b+c+d)+d;200-(a+b+c+d)+c;200-(a+b+c+d)+b)
= 200-(a+c+d)-(200-(a+b+c+d)+min(d;c;b))
= b-min(d;c;b)

Donc il reste autant de biscuits de type FP que de biscuits de type V.
De même avec FV et P, et avec PV et F.

Finalement, on peut regrouper tous les biscuits dans les ensembles équilibrés suivants :

{FPV}       a
{FP,FV,PV}  min(b,c,d)
{F,P,V}     min(200-(a+b+c);200-(a+b+d);200-(a+c+d))
{FP,V}      b-min(b,c,d)
{FV,P}      c-min(b,c,d)
{PV,F}      d-min(b,c,d)

Comme chacun de ces ensembles ne contient qu'un biscuit pour chaque parfum, hormis à la 2e ligne où ils contiennent 2 biscuits pour chaque parfum, il est facile de remplir les boîtes avec ces ensembles.

Il suffit par exemple de remplir les premières boîtes avec 10 ensembles de la 2e ligne chacune, puis lorsqu'il reste strictement moins de 10 ensembles de la 2e ligne, on termine les ensembles de la 2e ligne dans une boîte, et on répartit les autres ensembles dans n'importe quel ordre.

@Ebichu : c'est bon mais il faut finir de vider les éléments de la deuxième ligne en mettant un triplet par boîte jusqu'à épuisement des biscuits puis poursuivre le remplissage avec les autres lignes là où l'on s'est arrêté . C'est peut-être ce que tu as voulu dire dans ta dernière phrase .

@Gwen : C'est bon aussi mais je ne vois pas pourquoi tu remplis avec 20 gâteaux à chaque fois .

Les deux méthodes ne sont pas tout à fait les mêmes et la mienne est encore différente .

Bon courage à ceux qui cherchent encore

Vasimolo

D'accord , j'avais mal compris , je pensais que tu remplissais toutes les boîtes en même temps alors que tu procèdes boîte après boîte .

Et j'avais fait la même méprise avec la méthode de Ebichu

Vasimolo

Vocabulaire:
RVJ:biscuit aux 3 parfums; RJ: biscuits au parfum R et J. V: biscuit au seul parfum V.

Fabrication des biscuits: on prévoit 200 cases, on y met  1 biscuit dans chaque case et on les parfume R. Ensuite, on parfume certains en V ou on ajoute des V, ça donne:

<------RV------><------R------->
.......................<------V------->

On vient ensuite compléter avec le parfum J. On n'ajoute pas pour l'instant de biscuits J. ça donne 6 zones:

<----RVJ---><---RV--><---RJ---><---RJ---><---R---><---R---->
.................................<---VJ---><----V---><---VJ---><--V----->
<....Z1.......><....Z2..><...Z3.....><....Z4..><...Z5....><...Z6....>

On a cardZ3<=cardZ2+cardZ6
Echanges jusqu'à refus des VJ de Z3 avec V de Z6 ==>cardZ3 et cardZ6 baissent au profit de cardZ4 et cardZ5.

1er cas
Z3 supprimée: on complète les cases de Z2 et Z6 par des J. Toutes les cases ont alors un parfum et un seul.
<----RVJ---><---RV--><---RJ---><---R-------><---R---->
...................<----J---><----V---><---VJ------><--V----->
....................................................................<--J----->
<....Z1.......><....Z2..><....Z4..><...Z5........><...Z6....>

 

2ème cas
Z6 supprimée, il reste des cases Z3 avec cardZ2>=card Z3
<----RVJ--><---RV-------><---RJ---><---RJ---><---R---->
......................................<---VJ---><----V---><---VJ--->
<....Z1.....><....Z2........><...Z3.....><....Z4..><...Z5....>

Rangement dans les boites: Quand on prend un biscuit dans une case pour le mettre dans une boîte, on prend tous les autres biscuits de la case pour les mettre dans la même boîte.
Pour le 1er cas, aucune réserve pour le rangement. 

Pour le 2ème cas, quand on prend un biscuit de Z2, on prend en même temps les 2 biscuits de Z3, on a comptablise ainsi 2R, 2V et 2J. Pour les biscuits de Z2 seuls, on complète par un J.

Une réponse un peu  tardive , j'ai eu quelques soucis

J'ai survolé les démonstrations de Nodgim et Dbab et je ne suis vraiment pas convaincu , désolé si j'ai raté une idée simple .

Mon approche ressemblait à celle d'Ebichu avec un petit raccourci en passant par l'absurde .

On suppose qu’il existe un ensemble de biscuits avec les parfums demandés et impossible à ranger dans les 10 boîtes avec 20 biscuits pour chaque parfum .  On choisit alors un exemple avec un nombre minimal de biscuits . Si 2 des biscuits de cet ensemble n’ont aucun parfum en commun , on remplace ces 2 biscuits par un seul réunissant leurs parfums . Par hypothèse ce nouvel ensemble peut être partagé équitablement , il suffit alors de briser le biscuit en 2 dans sa boîte pour obtenir une contradiction . Maintenant , s’il existe un biscuit avec un seul parfum alors tous les autres biscuits ont aussi ce parfum c’est-à-dire qu’il y a en tout 200 biscuits et pas plus de 199 contenant chacun des 2 autres parfums : c’est impossible . Tous les biscuits ont donc au moins 2 parfums .

On note PF , VF , PV et PVF le nombre de biscuits dont les parfums sont pistache--fraise , vanille-fraise , … , et n le nombre total de biscuits . On a :

PF+VF+PVF=200
PF+PV+PVF=200
VF+PV+PVF=200
PF+VF+PV+PVF=n .

Donc VF=PV=VF=n-200 et PVF=600-2n=2(300-n) .

On fabrique des triplets de biscuits aux parfums VF+PV+VF et des paires de biscuits PVF . On a en tout n-200+300-n=100 paquets de 2 ou 3 biscuits chacun d’entre eux contenant exactement 2 fois chacun des parfums . Il suffit de répartir ces paires et ces triplets équitablement dans les 10 boîtes pour avoir 10X2=20 fois chaque parfum dans chacune d’entre-elles .

Le contre-exemple n’en est donc pas un .

Un grand merci aux participants

Vasimolo

Quand je dis que je ne suis pas convaincu par ta démonstration ce n'est pas parce que j'ai eu la paresse de la lire mais parce que je ne la comprends pas .

J'ai l'impression que le problème est pris à l'envers et que le développement est une succession d'affirmations jamais justifiées . Comme je le disais , il y a peut-être une idée simple derrière tout ça , mais pour le moment elle m'échappe

Et le résumé n'arrange rien

D'un autre côté j'ai toujours eu beaucoup de mal à suivre ta logique

Vasimolo

D'accord , là c'est limpide . Il faut quand même être attentif à la façon de remplir les boîtes car on distribue parfois d'un coup deux fois le même parfum et on pourrait se retrouver avec deux boîtes 19-21 .

Vasimolo