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 #1 - 18-07-2012 12:48:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

fâteau 54

Bonjour à tous smile

Vous savez que mon pâtissier n'est jamais à court d'idées , voila le genre de biscuit qu'il envisage de réaliser :

http://img17.imageshack.us/img17/188/gteau54.jpg

Des triangles dont la mesure des angles en degrés correspond à celle des côtés en millimètres .

Il a bien vite trouvé qu'un triangle équilatéral de 6 cm de côté faisait l'affaire mais il préfèrerait quelque chose d'un peu plus original .

Il y a longtemps que je ne participe plus à ses délires mais si quelqu'un veut bien le conseiller smile

Bon courage !!!

Vasimolo

Indice : Spoiler : [Afficher le message] utiliser la loi des sinus .



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 #2 - 20-07-2012 01:21:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteu 54

Apparemment peu d'intérêt ou peu d'idées pour ce gâteau , j'ajoute un indice sur la méthode que j'ai utilisée ( ce n'est sûrement pas la seule ) .

Vasimolo

 #3 - 20-07-2012 01:39:58

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Gâteau 45

Pas facile, j'ai pensé parce que je suis, et la seule méthode qui me vienne c'est la relation des sinus qui nous donne un système linéaire de trois équations à trois inconnues.
[TeX]\frac{a}{sin(A)}=\frac{b}{sin(B)}=\frac{c}{sin(C)}[/TeX]
Donc
[TeX]a*sin(B)=b*sin(A)[/TeX]
[TeX]a*sin(C)=c*sin(A)[/TeX]
[TeX]b*sin(C)=c*sin(B)[/TeX]
Mais c'est le genre de système où on tourne en rond à vu d'oeil, enfin il est 1:39 du mat...

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 20-07-2012 01:52:51

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Gtâeau 54

Il faudrait des angles x, y et z tels que [latex]\frac{\sin x}x=\frac{\sin y}y=\frac{\sin z}z[/latex]

La fonction [latex]\frac {\sin x}x[/latex] étant continue et monotone entre 0 et [latex]\pi[/latex], il faudrait que x=y=z,
le triangle équilatéral de côté 60 mm est la seule solution.

 #5 - 20-07-2012 11:41:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtrau 54

@Shadock : cherche quelque chose de très simple .
@Halloduda : c'est ça smile

Vasimolo

 #6 - 20-07-2012 20:24:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteau 554

Mon Java est souvent déconnecté, alors l'indice je ne le vois pas...

Le coté Moyen du triangle quelconque, je le place comme base, et je prolonge cette base d'une longueur égale pour dessiner un second rectangle identique au 1er. Je joins en haut les 2 sommets. En bas, au raccord entre les 2 triangles, je décide que c'est le centre d'un demi cercle de rayon le coté moyen. Avec la ocnstruction, les cotés grand petit et moyen forment un demi hexagone qu'on peut comparer directement avec les arcs qui correspondent exactement aux angles opposés. On constate alors directement que le rapport Angle/coté opposé est proportionnel à l'angle. L'arc du petit coté passe totalement à l'intérieur, il est plus petit, alors que l'arc du grand coté passe totalement à l'extérieur, il est plus grand. L'arc du coté moyen coupe son coté, il est à peu près de même taille. Pour avoir des rapports Arc/Coté identiques, il faut nécessairement passer par des angles identiques.

 #7 - 20-07-2012 22:12:36

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Gâteau 5

J'ai beau chercher, je ne trouve pas autre chose que l'équilatéral.
Le système x+y+z=180 ; x / sin(x) = y /sin(y) ; y / sin(y) = z / sin(z) passé à la moulinette approximative de WA ne me sort que  60 ; 60 ; 60.
J'ai raté quelque chose ou ton pâtissier n'a pas de solution?

 #8 - 21-07-2012 13:36:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 4

En effet il n'y avait pas d'autre gâteau possible , l'injectivité de [latex]\frac{\sin(x)}{x}[/latex] sur un bon intervalle permet de conclure sans effort .

Merci pour la participation smile

Vasimolo

PS : je n'ai pas compris la démo de Nodgim ( sans doute l'abscence d'illustration ) .

 #9 - 21-07-2012 14:28:53

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Gââteau 54

C'est bien ce que je pensais, 60° est la seule solution parce que je tournais en rond avec mon système.

Shadock smile

PS: La démonstration de nodgim :

En gros tu traces un premier triangle quelconque, ABC, par une translation de vecteur BC par exemple tu obtiens le même triangle A'B'C' ensuite tu considères que le côté BC est le rayon d'un cercle qui serait circonscrit à ce demi-hexagone que l'on obtient.
Or ce demi-hexagone (BAA'C') n'est pas inscrit dans le cercle, pour cela il faudrait que AB=BC=CA et donc que le triangle ABC soit équilatérale.
http://img15.hostingpics.net/pics/791979Gateau54.png


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 21-07-2012 15:31:20

ThomasLRG
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Messages : 31

gâtzau 54

Remarquez qu'on peut comprendre la question autrement : un triangle dont la mesure des angles en degrés correspond à celle des côtés (pas spécialement opposés !) en millimètres .

Dans ce cas, on trouve une infinité de solutions.

Thomas

 #11 - 21-07-2012 18:25:56

nodgim
Elite de Prise2Tete
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fâteau 54

Merci Shadock, c'est presque ça. Il faudrait juste que AC soit plus petit (le coté moyen) et alors on verra bien le demi cercle passer tantôt à l'intérieur tantôt à l'extérieur du demi hexagone ABB'C'.

 #12 - 21-07-2012 19:11:50

Vasimolo
Le pâtissier
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gâteay 54

@Nodgim : je ne suis pas complètement convaincu par ton dessin :
http://img15.imageshack.us/img15/2797/nodgim.jpg

@Thomas : tu en es sûr ? Il me semble que les angles et les côtés qu'ils interceptent sont forcément dans le même ordre .

Vasimolo

 #13 - 21-07-2012 20:17:52

nodgim
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Gâteau 45

C'est exactement ça Vasimolo.
Bon, maintenant c'est un dessin. ça n'est que visuel. La différence de rapport entre le grand et le petit coté est assez flagrante.

 #14 - 21-07-2012 21:06:25

ThomasLRG
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Gâtea u54

@ vasimolo :

hehe je suis allé un peu vite ^^, je trouve en fait une infinité de solutions pour que 3 nombres a, b et c vérifient la loi des sinus "dans le désordre", mais je n'avais pas vérifié que la somme des 3 était égale à 180°... Et effectivement, quand je rajoute cette donnée je tombe sur l'unique solution du triangle équilatéral.

Thomas

 #15 - 22-07-2012 08:49:41

nodgim
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gâteay 54

Vasimolo, si, au dessin, tu remplaces le demi cercle par les 3 cordes, qui sont aussi représentatives des 3 angles, je crois que ça deviendra convaincant.

 #16 - 22-07-2012 09:35:28

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteeau 54

Oui mais contrairement aux arcs , les cordes ne sont pas proportionnelles aux angles .

Vasimolo

 #17 - 22-07-2012 11:08:16

nodgim
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gâyeau 54

Au contraire.
Si C=corde A=arc et S=segment correspondant à l'arc.

Soit C2>C1 et C2/S2>C1/S1 (visible sur dessin, car C2>S2 et C1<S1).
On a par ailleurs A2/C2>A1/C1 et donc A2/A1>C2/C1.
Donc au final:
A2/A1>C2/C1>S2/S1.
La comparaison par les cordes est donc un intermédiaire de la comparaison par les arcs, et donc les angles.

 #18 - 22-07-2012 12:01:00

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 5

D'accord , je vois l'idée mais ça fait quand même beaucoup de "comme on le voit sur le dessin" smile

Par exemple C2>S2 , pas si évident .

Puis  pour A2/C2>A1/C1 , c'est la monotonie de sinx/x . L'argument principal de la démo donnée par Halloduda est donc utilisé parmi d'autres .

Vasimolo

 #19 - 22-07-2012 18:29:17

nodgim
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Gâtea u54

Le "comme on le voit sur le dessin" est certes visuel, mais s'explique très facilement.
Et oui, ça revient, dit autrement, à la monotonie de sinx/x.

 #20 - 22-07-2012 19:31:22

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtezu 54

Bon en effet S2>C2 peut se prouver sans trop de problème smile

Maintenant si on écrit tout , l'ensemble de la démonstration commence à peser un peu mais elle évite l'usage de la trigonométrie .

La figure est plutôt jolie smile

Vasimolo

 

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