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 #1 - 15-04-2014 19:32:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âteau 75

Mon pâtissier prépare Pacques assidument.

Avant cuisson, il range habituellement ses carrés de chocolat de taille [latex]2\times 2[/latex] sur une grille [latex]20\times 20[/latex] . Les sommets des carrés sont placés aux nœuds de la grille , les carrés peuvent être en contact mais ne se chevauchent jamais . Il a confectionné 48 carrés qu’il s’apprête à disposer sur la grille quand je lui propose d’ajouter un des miens . Comme il apprécie modérément mes dons culinaires ( et qu’il n’est pas toujours bon camarade ) il me dit qu’il doit d’abord disposer les siens et voir s’il reste une place .

Comment va-t-il faire pour m’empêcher de poser mon carré , si possible ?

Un exemple sur une grille 8x8 qui empêche la pose d’un 10ème carré .

http://img845.imageshack.us/img845/3319/eypq.jpg

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 15-04-2014 19:43:23

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Gteau 75

Comme ça dans une grille n x m avec ent [ (n+1)/3 ]  x  ent [ (m+1)/3 ] carrés.

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g75.JPG

 #3 - 15-04-2014 20:51:54

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Gâteau 5

Bonsoir,

Au départ je me suis dit : "Non, il ne pourra jamais empêcher Vasimolo de rajouter son carré de chocolat."

Après je me suis rappelé : "C'est vrai qu'il est malin le bougre."
Ce n'est pas très sympa de sa part :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-gateau75.png


En même temps, il faut dire que ce qu'il fait est très joli lol


Il y a sûrement plus simple.

 #4 - 15-04-2014 21:23:07

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gteau 75

Je ne comprends rien aux deux réponses précédentes . La question n'est peut-être pas claire ?

Vasimolo

 #5 - 15-04-2014 21:27:17

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Gâteaau 75

C'est un cas général pour ma part...

Sur une grille 20x20 il peut s'il a 49 carrés en main.

 #6 - 15-04-2014 21:32:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

fâteau 75

Ta réponse n'est pas claire Gwen , le nombre que tu donnes est le nombre de carrés nécessaire pour bloquer la grille ?

Vasimolo

 #7 - 15-04-2014 21:34:56

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Gâteau 755

Le dessin représente la grille 20*20. Les cases marrons correspondent aux carrées de chocolats (Les carrés 4*4 sont 4 carré 2*2 côte à côte) il a donc poser 48 carrée 2*2 (il y en a 4 isolés dans chaque coins) et il n'y a pas la place pour un 49ème. c'était bien cela qui était demandé ?
J'aurais peut-être dû marquer les séparations entre deux carrés juxtaposés hmm


Il y a sûrement plus simple.

 #8 - 15-04-2014 21:38:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 57

@Cogito : il me semble que tu as posé bien plus de 48 carrés 2X2 , non ?

Vasimolo

 #9 - 15-04-2014 21:39:28

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Gâteau 5

Oui smile

 #10 - 15-04-2014 21:42:47

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Gâetau 75

huhum... oui effectivement, dans ma tête je me suis dis il y en a 4 * 16 et 4 * 16 ça fait 48 c'est bien connu ! lol

Bon pardon, j'y retourne big_smile


Il y a sûrement plus simple.

 #11 - 15-04-2014 21:46:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteaau 75

@Gwen : alors c'est ça smile

Vasimolo

 #12 - 16-04-2014 00:02:23

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Gâteau 755

Bonne nouvelle !

Tu pourras rajouter ton carré de chocolat ! cool

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-Gateau75.png


Explication de texte dessin :

Dans une bande 20 * 4 (comme la colonne A) il sera toujours possible de mettre 7 carrés. Si on veut minimiser le nombre maximal de carrés que l'on peut mettre dans une bande 20 * 4, il faut que les carrés soient centrés (i.e. ne touche pas les bord de la bande sinon on pourrait mettre au même niveau un carré supplémentaire (puisque 4 = 2 * 2)).

Maintenant si on duplique la colonne A (qui contient le nombre de carré optimal)
pour optimiser le nombre de carrés dans une bande de largeurs 8, on s'aperçoit que les deux "bord" vide mis côte à côte créés un nouvel espace (en jaune) où nous pourrons toujours mettre 7 carrés. Si on décide de décaler un des 14 carrés
pour prendre la place d'un carré sur la bande jaune, alors d'après la dernière remarque du paragraphe précédent on aura créé la place pour un autre carré, donc le nombre de carrés total ne changerait pas. Tous ça pour dire que dans une bande de 20 * 8 on pourra toujours mettre 21 carrés.
(on ne pourra jamais en déplacer un pour prendre la place de 2 (ou alors si c'est le cas c'est qu'il est possible de mettre au moins huit carrés dans la colonne jaune donc au final, ça revient au même). Ce point de la démonstration est laissé en exercice pour le lecteur tongue)

Donc dans une bande de 20 * 16 on pourra toujours mettre 42 carrés.
(on n'a pas ce "phénomène de la bande jaune" ici. Ce point est aussi laissé en exercice pour le lecteur tongue)
Et donc si on ajoute les 7 carrés de la dernière bande de 4 on pourra toujours mettre 49 carrés 2*2 dans une grille de 20*20.

gnahaha ! smile


Il y a sûrement plus simple.

 #13 - 16-04-2014 01:02:32

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

gâyeau 75

On montre par récurrence sur n qu'une grille de dimensions (3n+2)x(3m+2) avec m[latex]\leq [/latex]n nécessite au moins (n+1)x(m+1) carrés pour être bloquée.

Initialisation : Pour n=0, donc m=0, on a une grille 2x2 qui nécessite 1 carré pour être bloquée.

Hérédité : On suppose que c'est vrai pour un certain n et on se donne une grille de (3n+5)x(3m+2) avec m[latex]\leq [/latex]n+1.

Si m [latex]\leq [/latex]n (grille non carrée), alors on coupe la grille en 2 grilles séparées d'une case (3n+2)x(3m+2) et 2x(3m+2) qui nécessitent chacune respectivement au moins (n+1)x(m+1) et (m+1) carrés soit au total (n+2)x(m+1) carrés. Le fait que les grilles soient séparées fait que les carrés de l'une ne peuvent aider à bloquer l'autre.

Si m=n+1 (grille carrée), alors on coupe en 4 grilles séparées d'une case : (3n+2)x(3n+2), 2x(3n+2), (3n+2)x2 et 2x2 qui nécessitent chacune respectivement au moins (n+1)x(n+1), (n+1), (n+1) et 1 carrés soit au total (n+2)x(n+2)=(n+2)x(m+1) carrés. Ce qui prouve l'hérédité.

 #14 - 16-04-2014 10:27:01

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

hâteau 75

Notre bon pâtissier ne pourra pas t'empêcher de placer ton chocolat. Et tu le sais puisque tu as colorié (dans ta tête) 49 blocs 2x2 sur la plaque. Ces 49 blocs présentent la particularité qu'aucun chocolat 2x2 ne peut en recouvrir simultanément 2, donc après que ton pâtissier aura déposé ses 48 chocolats, un bloc de 4 sera libre pour le tien.

http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-plaquechoco.jpg

 #15 - 16-04-2014 15:54:47

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2707
Lieu: Luxembourg

Gâtaeu 75

Quand la grille carrée est du type 3n-2 < N =< 3n+1, en disposant n² carrés, on y arrive très facilement. Dans notre cas, il faudrait 49 (> 48) carrés. Il y a une astuce consistant à décaler les carrés, qui permet d'en économiser un, mais que je n'ai pas (encore) découverte. Affaire à suivre ...

 #16 - 16-04-2014 17:38:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteaau 75

Je vois qu'on a bien travaillé en mon absence smile

@Cogito : tu devrais pouvoir faire plus simple smile
@Titoufred : oui .
@Dylasse : parfait , très visuel et expéditif .
@Franky : à suivre ... smile

Bon courage à ceux qui cherchent encore .

Vasimolo

 #17 - 17-04-2014 13:45:47

nobodydy
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1286

hâteau 75

arghhh je déteste ce genre de problème lollol
J'ai l'impression que ce n'est pas possible, mais je ne peux pas le démontrer.

et si c'est possible de bloquer le gâteau jaune, ça m’énerve encore plus car je n'y arrive pas.

http://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-gateau75.jpg

je pense que ce n'est pas possible, si je déplace un seul de mes gâteaux, il y aura toujours un espace pour le tien.

Est ce possible ? smile

 #18 - 17-04-2014 18:00:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtau 75

@Nobodydy : ton intuition est bonne . Il y a des solutions très courtes , ce qui ne veut pas dire qu'elles sont faciles à trouver smile

Vasimolo

 #19 - 18-04-2014 07:19:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteau 755

Salut Vasimolo,
En remplissant le casier comme un livre d'écriture, de gauche à droite et de haut en bas, en optimisant les espaces libres (1 unité systématique) on finit en bas en droite avec une agglomération de carrés sans espace libre. En ôtant le carré du coin, et en replaçant les carrés du pourtour on gagne ce vide.

 #20 - 18-04-2014 08:54:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâetau 75

Je ne crois pas Nogim smile

Vasimolo

 #21 - 19-04-2014 12:46:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea u75

J'avais une solution en numérotant les lignes de 0 à 20 et en remarquant que chaque ligne 1 ; 4 ; 7 ; 10; 13 ; 16 ; 19 devait rencontrer 7 gâteaux pour bloquer le jeu . Je préfère 100 fois celle de Dylasse qui démontre tout avec l'air de ne pas y toucher smile

Merci à tous pour la participation .

Vasimolo

 

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