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 #1 - 12-02-2011 13:42:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteua 35

Qui pensait en être débarassé ????

J'ai posé 5 bougies sur le gâteau d'anniversaire de ma petite cousine et j'ai réussi à former un magnifique quadrilatère convexe avec 4 d'entre elles .
http://img600.imageshack.us/img600/2355/5cerises.jpg
Mon pâtissier ( avec qui je suis en froid depuis quelques temps ) a eu vent de l'affaire et m'a fait savoir qu'il attendait impatiemment que je lui propose une disposition des bougies ne permettant pas la chose .

Il m'énerve vraiment !!!

Vasimolo

PS : 3 bougies quelconques ne doivent jamais être alignées .



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 #2 - 12-02-2011 14:25:34

guilhem
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gâteay 35

tu les aligne toute

 #3 - 12-02-2011 16:00:41

mitsuidewi
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âGteau 35

Il faut en aligner au moins 4 ?

 #4 - 12-02-2011 16:20:25

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

gâteai 35

Et ben il est pas pâtissier pour rien! Il peut toujours attendre mais avec 5 bougies, tu pourras toujours en isoler une qui sera en dehors du quadrilatère convexe formé par les 4 autres.

Une petite démo?
Appelons les bougies par leurs prénoms A, B, C, D et la petite dernière E.
Considérons le quadrilatère ABCD. S'il est non-convexe, alors on peut supposer que A est inclus strictement dans le triangle BCD (quitte à renommer les bougies!). Dans ce cas, où que l'on place E, on aura forcément un des quadrilatères BACE, CADE et DABE qui sera convexe. En effet, les demi-droites [AB), [AC) et [AD) partagent le plan en 3 parties. Si E est dans la partie bordée par [AB) et [AC), alors BACE est convexe. De même, si E est dans la partie bordée par [AC) et [AD) (respectivement [AD) et [AB) ), alors CADE (resp. DABE) est convexe.
Convaincu Vasimolo? (J'avais fait une erreur dans l'ordre des lettres pour les quadrilatères, c'est corrigé.)

 #5 - 12-02-2011 16:24:35

L00ping007
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Lieu: Paris

Gtâeau 35

En alignant les 5 bougies, on ne peut pas constituer de quadrilatère convexe avec 4 d'entre elles. Non ?

EDIT : je me disais aussi, c'était trop facile smile

Je pense que ce n'est pas possible.
En plaçant 3 points, donc en triangle car non alignés, on ne peut placer le quatrième qu'à l'intérieur ou dans une des 3 zones extérieures non tangentes aux côtés.

intérieur du triangle : le cinquième point formera forcément un quadrilatère convexe avec 3 autres.

autres zones : pareil le cinquième point ne peux pas ne pas former de quadrilatère convexe. (un bon dessin serait plus parlant ...)

 #6 - 12-02-2011 17:22:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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gâteay 35

J'ai oublié de préciser que 3 bougies ne devaient jamais être alignées car c'est mal mad

Vasimolo

 #7 - 13-02-2011 12:52:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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âGteau 35

@Irmo

"Dans ce cas, où que l'on place E, on aura forcément un des quadrilatères ABCE, ACDE et ADBE qui sera convexe"

C'est un peu la question smile

Tu peux développer ...

Vasimolo

 #8 - 13-02-2011 14:17:46

Promath-
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Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

gâteai 35

je pense que c'est impossible, car au debut, on est obligé de faire un quadrilatère concave, donc on peut former 4 triangles, et nimporte ou ou on placera la 5eme, elle sera dans "la zone de convexité du quadrilatère"
Mon explication est INCOMPREHENSIBLE, mais bon ;


Un promath- actif dans un forum actif

 #9 - 13-02-2011 16:41:34

halloduda
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

Gteau 35

On ne peut pas.

Considérons un ensemble de quatre points A, B, C, D. Ils forment un quadrilatère, nécessairement concave, sinon le quadrilatère convexe existerait déjà.
Mettons que l'angle D est rentrant.

Alors D est intérieur au triangle ABC.
E doit aussi être intérieur au triangle ABC, sinon il formerait un quadrilatère convexe avec ABC.

E est donc dans l'un des triangles ABD, BCD ou ACD, mettons ABD.
E forme avec l'un des deux autres de ces triangles un magnifique quadrilatère convexe ACDE ou BCDE, selon sa position par rapport à la droite CD.

 #10 - 13-02-2011 20:36:00

gwen27
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Gteau 35

Pour moi c'est impossible.

Placant 3 points non alignés, le quatrième doit être dans le triangle formé par les trois points.

Ce point central forme 3 triangles avec les côtés du triangle initial, et le 5ème point devrait être dans les 3 à la fois, ce qui est impossible sauf si on plante la derniere bougie sur la quatrième... Mais 3 bougies seraient alignées.

Je propose de planter les bougies en vrac que la pauvre petite puisse les souffler un jour.

 #11 - 13-02-2011 21:01:24

looozer
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Lieu: Belgique

fâteau 35

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-gateau35.jpg

a) Avec 4 points, il n'est pas possible de tracer un quadrilatère convexe  dès lors que l'un d'eux est intérieur au triangle formé par les 3 autres.

b) Avec 4 points, on a automatiquement un quadrilatère convexe si l'un des 4 est extérieur au triangle formé par les 3 autres mais intérieur à l'un des 3 angles de ce triangle.

On doit donc partir de la situation a) et y rajouter un 5ème point tel que cette propriété ne puisse pas survenir dans chacun des groupes de 4 points.

Par la propriété b) et en considérant les trois triangles roses, on peut affirmer que le 5ème point ne peut être extérieur au triangle ABC puisque sinon, il serait forcément intérieur à l'un des 3 angles de sommet D.

Dans le triangle ABC, le point E est intérieur à BCD, mais doit forcément se trouver d'un côté ou de l'autre du segment [DF], ce qui le mettra dans la situation b) avec l'un ou l'autre des triangles ADC et ADB.
Même raisonnement en plaçant E dans un des 2 autres triangles roses.

Pas de place donc pour notre point E.


Au pire, je plante une bougie dans la face latérale du gateau wink

 #12 - 13-02-2011 21:56:58

fix33
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Lieu: Devant un clavier depuis 1748

GGâteau 35

On pose 3 bougies non alignées qui forment un triangle non plat.
La 4ème et la 5ème doivent être alors dans les angles externes (prolongations derrière chaque angle du triangle).
Quelle que soit la configuration, je ne trouve pas de solution.
Est-ce qu'on a le droit à un gâteau d'anniversaire à la surface non plane ???


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #13 - 15-02-2011 10:55:52

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
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gâtzau 35

Si on les place comme le nombre 5 sur un dé. Ça devrait faire l'affaire non ? un carré n'est pas un quadrilatère convexe donc c'est bon.

 #14 - 15-02-2011 11:26:28

gasole
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Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

âteau 35

je dirais que c'est impossible:

on place 3 bougies non alignées A,B,C.
elles forment un triangle
la seule façon d'en placer une 4ème (D) sans créer de quadrilatère convexe et sans en aligner 3 est de mettre D dans le triangle (A,B,C)

la seule façon d'en placer une 5ème (E) sans créer de quadrilatère et sans en aligner 3 est de mettre E dans chacun des triangles (A,B,C), (A,B,D), (A,C,D), (B,C,D) ce qui est impossible à moins de superposer D et E ce qui (je suppose est interdit)

PS : je suppose aussi que si deux bougies sont collées l'une à l'autre cela définit un segment, très court, mais un segment quand même.

 #15 - 16-02-2011 14:22:09

L00ping007
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Gteau 35

On est donc tous d'accord pour dire que c'est impossible ?

 #16 - 16-02-2011 15:28:25

gwen27
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Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

gâteay 35

Oui, difficile d'envisager une autre réponse...

 #17 - 16-02-2011 15:34:15

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

GGâteau 35

Peut être qu'il fallait planter des bougies SOUS le gâteau ? ou bien ailleurs ... et que personne ne demande où big_smile

 #18 - 16-02-2011 19:41:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtaeu 35

Bonsoir smile

Je ne vous cache pas que je n'ai pas tout lu , je sais c'est mal . La difficulté dans ce type de problème est de trouver une justification propre comme dans le problème des trois maisons à alimenter en eau-gaz-electricité : le grand Euclide lui même avait "admis" implicitement l'axiome de Pasch .

Voilà comment j'avais vu les choses :

On considère C l'enveloppe convexe de l'ensemble formé par les cinq bougies et il y a alors trois cas :

1°) C est un quadrilatère : no comment
2°) C est un pentagone et on obtient un quadrilatère en supprimant n'importe quelle bougie .
3°) C est un triangle avec deux bougies à l'intérieur et la droite passant par ces deux bougies coupe deux côtés du triangle . Il suffit de supprimer le sommet commun à ces deux côtés pour trouver un quadrilatère convexe .

Merci pour la participation smile

Vasimolo

 

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