P.S. : cette énigme ne nécessite aucune connaissance particulière,

Euh, comprendre l'énoncé, c'est une compétence particulière ?

j'aimerais, à l'aide de ces carreaux, représenter les quatre noeuds non triviaux les plus simples (ceux nécessitant 5 croisements ou moins).

Ton bidule en trèfle, il ne fait pas partie du lot ? (juste 3 croisements)

Alors on les cherche où (sans connaissance) les figures à 5 croisements ?

Bonjour,

Voila mes solutions pour les deux premiers

le premier nœud en 13 dalles:


Le deuxième nœud en 17 dalles:


Une petite démonstration de l'optimalité pour le premier nœud:
quelques propriétés:
(1)chaque croisement possède 4 voisins
(2)chaque dalle possède minimum 2 voisins
(3)un circuit passe par un nombre pair d'étapes (si on dame le quadrillage en noir et blanc, chaque déplacement change de couleur de case, il faut un nombre pair de déplacements pour revenir sur sa couleur.

Ici, il y a au moins trois croisement. Si on les place en angle,  d'après (1), on a minimum 10 dalles. En utilisant (2), on en a minimum 12.
Supposons qu'il y ait exactement trois croisements. Alors le nombre de dalles utilisées est impair d'après (3) (3 croisements, donc dalles ou on passe deux fois, donc nbr de dalles + nbr de croisements = nbr de déplacement) donc le minimum est 13.
Si il y en a 4, si on veut rester sur 12 cases, le 4 croisement termine le carré formé avec 3 autres.
Le dessin forme alors un carré de 4 dalles entourés de 8 dalles. Si on entre dans un croisement, on passe forcément par celui aligné. Si on relie de la seule manière possible, on trouve deux fils non reliés, donc pas de nœud. donc le minimum est donc 13.

Pour le deuxième nœud, ça m'a l'air beaucoup plus laborieux

Edit
Bon, j'ai pas trop cherché plus, mais pour les deux derniers, je trouve chacun 19:


On peut démontrer très facilement pour ces deux là que l'on ne peut pas faire mieux que 17, exactement de la même manière. (A savoir qu'en fait, le cas 6 croisements (tout comme le cas 4 croisements pour le 1er noeud) n'a pas besoin d'être traité car si on trace le graphe formé par la ficelle (avec pour sommets les croisements de base) il est planaire, et si on crée un nouveau croisement, on entre dans une face, de laquelle il faudra sortir, donc minimum 2 croisements en plus...
Pour monter à 19, c'est un peu plus chaud...

@caduk : bravo pour ta démo de l'optimalité de ta solution pour le premier noeud !
J'ai trouvé les mêmes solutions que toi, sauf pour [latex]5_2[/latex] où j'ai réussi à faire mieux.

@franck9525 : très bien ! tu as trouvé les meilleurs résultats pour les deux premiers noeuds.

@caduk : c'est parfait !

@gwen27 : très jolis dessins, très clairs ! C'est bon pour [latex]3_1[/latex] et [latex]5_1[/latex], mais de manière surprenante, on peut faire mieux pour [latex]4_1[/latex] et [latex]5_2[/latex]. Pour cela, il y a une certaine astuce pas évidente à imaginer...

@gwen27 : parfait !

Pour le 4, j'ai finalement réussi à le démontrer, mais je ne posterai pas la démonstration dans le détail parce que c'est beaucoup d'études de cas.
On peut remarquer qu'il suffit de démontrer le résultat pour seulement 4 croisements, car sinon, il faut minimum 6 croisements, et on a démontré qu'à partir de 5 croisements, on ne pouvait pas faire mieux que 17.

Ici,  ┼ désigne un croisement, o une dalle avec seulement deux extrémités, * une dalle à déterminer(pas un croisement),
On peut essayer de trouver quelques propriétés:
1)On ne peut pas avoir une boucle de 4 cases avec un croisement au début de la boucle (sinon, le nœud peut se simplifier en déroulant cette boucle (voir le "faux nœud" de franck, chacune des extrémités est une boucle qui peut être déroulée, et au final, on a pas le nœud 4) Cette propriété fonctionne car on étudie le cas 4 croisements, donc chaque croisement est essentiel dans le nœud.
2)le shéma
┼*┼
se simplifie en:
┼─┼
3)le schéma:
┼*┼
*┼*
est impossible
4)le schéma
┼*
  ┼
se simplifie en:
┼┐
  ┼
etc...

A partir de là, on étudiant chaque configuration de 4 croisements telle que l'application des 3 propriétés de mon premier message reste inférieure à 17, on peut utiliser ces propriétés pour construire les "chemins" surement suivis par la ficelle.
Ensuite, une très courte étude de cas suffit à montrer que si l'on cherche à relier les différents bouts de manière à obtenir un chemin continu passant partout, on ne parvient jamais à le faire en moins de 17 coups. Il n'y a pas tant de cas à analyser que ça, et grâce à ces propriétés, l'étude va très vite...

il ne reste donc plus que le nœud 5.1, ça doit pouvoir se faire de la même manière, mais en un peu plus long (grosso modo, faut tester toute les pièces du jeu blokus, plus les possibilités qui sont reliées par un coin, et 1 ou 2 pas reliées du tout... et ça en fait pas mal!

Sinon, il faut trouver une autre méthode, j'avais tenté un peu de théorie des graphes, mais ça n'a pas donné grand chose...

des prétendants pour les 3 nœuds à 6 croisements?