Je n'ai pas le même résultat que toi , mais comme tu ne donnes pas ta stratégie je ne peux pas te dire s'il y a une erreur de méthode ou si le problème est mal compris .

Vasimolo

PS : Si tu ne passes pas le brevet des collèges tu n'a pas d’inquiétude à avoir

Excellente question Gwen

L'idée initiale était de passer d'un bord à l'autre en passant par la ligne rouge mais pourquoi ne pas accepter le chemin que tu proposes ?



Vasimolo

PS : Je n'ai pas de solution au problème initial et à fortiori à cette variante , si je suis débordé je lève le masque

@Vasimolo :
Veux-tu dire la probabilité d'existence d'un parcours sans lever la seringue ni ligne en double épaisseur, tel que celui-ci ?

Bonjour,
D'après ce que j'ai compris, il faut trouver la probabilité que, pour chaque couple de points (situés sur un même côté ou non), il existe un chemin en chantilly qui les relie (cas n°2, défini en #16).

Pour 50 points de chaque côté, j'obtiens une probabilité de 95.955 %.
Voici un script en python3 qui calcule les valeurs de 1 à N (N est donné en paramètre). Le résultat est quasi instantané pour N=50, et il y a environ 6s de calcul pour N=1000.

import sys

N=int(sys.argv[1])

ok={}; facto={}; tot=1
# ok[k] : 
#    Nb de cas où l'ensemble des lignes est connexe
#    pour k couples de points.
# facto :
#    Dictionnaire de factorielles, pour ne pas les
#    recalculer.
# ko :
#    Variable intermédiaire comptabilisant les cas
#    à éliminer.
#    Pour k couples de points, on élimine les 
#    permutations constituées d'un bloc
#    connexe de moins de k lignes, suivi d'une
#    permutation quelconque des autres points.
for k in range(1,N+1):
   ko=0
   tot*=k; facto[k]=tot  
   for k1 in range(1, k): ko+=ok[k1]*facto[k-k1]
   ok[k]=tot-ko
   print("N= %3d ok= %7d ko= %7d tot= %7d %7.3f %%"%(k,ok[k],ko,tot,(ok[k]/tot)*100))

J'ai vérifié jusqu'à N=12 en simulant tous les cas possibles, mais le temps de calcul augmente très vite avec N (voir ci-dessous).

Édité : Ajout du script qui passe en revue toutes les positions possibles pour N donné
~3mn40s pour N=11
~49mn pour N=12

import sys
from itertools import permutations

N=int(sys.argv[1])

ko=tot=0
# permu :
#    permu va parcourir toutes les permutations des
#    nombres 0 à N-1.
#    permu[i] est le n° du point de la ligne du bas
#    relié au point n° i de la ligne du haut.
for permu in permutations(range(N),N):
 tot+=1
 jmax=-1
 for i in range(N-1):
  jmax=max(jmax,permu[i])
# jmax : n° du point le plus à droite de la ligne du bas
#        parmi tous les points reliés aux points 0 à i
#        de la ligne du haut (les numéros démarrent à 0).
#        Si jmax=i, on a un bloc isolé de i+1 lignes.
  if jmax==i: ko+=1; break
ok=tot-ko
print("N= %3d ok= %7d ko= %7d tot= %7d %7.3f %%"%(N,ok,ko,tot,(ok/tot*100)))

Édité : Ajout de commentaires dans les scripts

Si j'ai bien compris le problème la ligne rouge est la ligne qui se croise avec tous les autres lignes.
On considère une ligne AB qui lie un point A de la partie supérieure avec un point B de la partie inférieure. La condition pour qu'une ligne AB soit une ligne rouge est que le nombre de points à droite de A soit égale au nombre points à gauche de B
et on doit lier ces points et vice versa.
Le placement des points n'est pas important, c'est les liaisons entre les points qui sont importantes.
Le nombre total de répartitions qu'on peut faire avec des liaisons est 50!=3,04140932×10⁶⁴
1)On commence en liant A le premier point à gauche dans la partie supérieure et B le premier point à droite dans la partie inférieure, il n'y a pas de points à gauche de A et à droite de B tous les autres points sont dans les autres côtés le nombre de répartitions qu'on peut avoir avec les liaisons des 98 points restants est 49!
2)On lie 2ème point A avec 2ème point B, le problème dans ce cas est qu'on va lier le premier point à gauche dans la partie supérieure et le premier point à droite dans la partie inférieure le deuxième cas est déjà considéré dans le premier cas.
3)On lie 3ème point A avec 3ème point B il y a 47 points à droite de A le nombre de répartitions pour ces points est 47! et il y a 2 points à gauche de A le nombre de répartition est 1 (on peut pas les lier les premiers entre eux donc on lie le premier avec le deuxième et le deuxième avec le premier). Le nombre de répartitions est 47!×1
On continue jusqu'à atteindre le 50ème point A.
On pose
Un le nombre de répartitions pour un point A d'ordre  n
Vn le nombre de répartitions qu'on peut avoir avec les liaisons des points qui se trouvent à droite de A
Wn le nombre de répartitions qu'on peut avoir avec les liaisons des points qui se trouvent à gauche de A
On a:
U₂=0
Un=Vn×Wn pour ∀n⋲N* tel que n≠2 et n≤50
Vn=(50−n)! ∀n⋲N* tel que n≤50
W₁=1
W₂=1
W₃=1
W(n+2)=nW(n+1)+(n−1)Wn ∀n⋲N* tel que n≠1 et n≠2 et n≤50
La probabilité P d'avoir une ligne rouge
[TeX]P=\sum_1^{50} Un \div50![/TeX]
PS:Pour les explications des relations je ne voulais pas l'écrire car ça va être trop long mais si tu veux je peux l'écrire dans mon prochain message.
Bonne soirée.

@Dbab :ton approche est la bonne mais tu peux faire bien plus simple .
@Louvyy : non

Vasimolo

Dans mon message #9, j'ai supposé que l'on cherchait la probabilité que l'ensemble des lignes soit connexe.

Si le problème est d'obtenir au moins une grande diagonale (cas n°1, défini en #16), la probabilité est (pour N>1) :
( 2*(N-1)! - (N-2)! ) / N! = (2*N-3) / (N*(N-1))
et 100 % pour N=1.

La probabilité est de 3.959 % pour N=50

Édité : Orthographe

Pour la 1, c'est p(A)+p(B)-p(A inter B) donc 1/50+1/50-1/(50*49).
Pour la 2, c'est une horreur... Pas de récurrence possible !

Enigmatus peut tu ajouter les commentaires sur tes programmes ?

Et vasimolo, moi j'avais compris qu'on cherchait la probabilité qu'il existe une ligne qui croise toutes les autres...

Shadock

Pour la question Gwen, il me semble que la solution est 1/e. En effet, pour un tel scénario, il faut et il suffit qu'il y ait désordre complet. Et cette proba a pour convergence rapide 1/e quand n grandit.

nodgim #21 a écrit:

il faut et il suffit qu'il y ait désordre complet

La condition ne semble ni nécessaire

1→4
2→2
3→3
4→1

ni suffisante

1→2
2→1
3→4
4→3

@Vasimolo #24 :
Il est normal que cette configuration n'apparaisse pas dans le cas n°1, car il n'y a pas de ligne diagonale.
Ou alors, le problème était qu'une ligne devait couper toutes les autres, et ce serait le cas n° 3. À confirmer…