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 #1 - 28-06-2017 18:34:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gtâeau 137

Un gâteau que j'envisageais de proposer plus tôt mais il est assez brutal ( peu compatible avec la canicule ) .

Le climat s'est adouci smile

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau137.png

On cherche un gâteau qui est un pentagone convexe et dont les sommets sont des nœuds de la fameuse paillasse . On doit recouvrir d'un coulis de fraise le pentagone fermé défini par les diagonales du gâteau .

Le coulis a beaucoup de mal à éviter les nœuds madmadmad

C'est possible ce truc ??????????????

Vasimolo

Attention : Le coulis ne doit pas toucher les nœuds , même à la frontière smile

PS : Vu l'interruption momentanée de l'image et du son sur le site , j'ajoute un peu de temps pour les courageux smile

PPS : j'ajoute un indice .

PPPS : et un autre smile

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] Chercher le plus petit gâteau possible .
Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] Formule de Pick .



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 #2 - 03-07-2017 21:15:51

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 187

Gââteau 137

Il est vrai que la construction du gâteau avec des points de [latex]\mathbb{Z}^2[/latex] fait tout de suite penser au théorème de Pick mais à priori rien n'indique que le pentagone intérieur puisse être placé sur une telle grille lui aussi ...

 #3 - 04-07-2017 14:03:37

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

Gâtea 137

La solution m'intéresse : j'ai bien essayé quelques méthodes, mais ça coince toujours, pas moyen d'y arriver.

 #4 - 04-07-2017 18:16:36

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gâteau 37

Le deuxième indice est un peu biaisé car il faut utiliser la formule de Pick non pas dans le pentagone mais dans les trois triangles s'appuyant sur un même côté de celui-ci . La convexité permet de conclure smile

Vasimolo

 #5 - 04-07-2017 18:58:00

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

Gâteau 1337

Je ne vois toujours pas sad Peux-tu détailler un peu ?

 #6 - 04-07-2017 19:09:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gâteau 13

Je ne donne pas de solution car je sais qu'on va la trouver smile

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau137solution.png

On se place dans le cas d'un pentagone minimal . Peut-on trouver un point du maillage dans les parties jaunes ? Après il faut regarder les triangles de base [latex][DE][/latex] .

Vasimolo

 #7 - 04-07-2017 23:38:35

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

Gâteau 13

Par "pentagone minimal", je suppose que tu veux dire "pentagone d'aire minimale dont le pentagone central ne recouvre aucun noeud du réseau" ?

Il est clair qu'il ne peut y avoir de noeud du réseau dans les parties jaunes, car si par exemple il y a un tel noeud dans le triangle jaune touchant A, en remplaçant A par ce noeud, on aurait un pentagone plus petit vérifiant la propriété voulue, ce qui contredit le fait que le pentagone de départ est minimal.

Après, je sèche.

 #8 - 04-07-2017 23:46:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gâteau 13

C'est ça , après il faut écrire la formule de Pick pour les trois triangles de base [latex][DE][/latex] et savoir la faire parler smile

Vasimolo

 #9 - 05-07-2017 17:32:16

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gâteau 13

Un dernier coup de pouce : des triangles [latex]ADE,BDE[/latex] et [latex]CDE[/latex] de base [latex][DE][/latex] , quel est celui qui ne peut pas avoir la plus petite hauteur ( même à égalité ) ?

Vasimolo

 #10 - 05-07-2017 23:23:38

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

Gâteeau 137

La convexité de ABCDE implique que le triangle ADE a une hauteur (de base [DE]) strictement plus grande que l'un au moins des deux triangles BDE et CDE, donc une aire strictement plus grande.

Mettons que ce soit BDE ; alors, la formule de Pick entraîne qu'il y a plus de points du réseau dans ADE que dans BDE, et, en considérant les zones précédemment déterminées comme dépourvues de points du réseau, qu'il y a strictement plus de points du réseau dans la partie i que dans les parties i et k réunies, ce qui est absurde.

C'est bien ça ?

 #11 - 06-07-2017 07:03:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

gâtrau 137

C'est bien ça , encore un gâteau impossible smile

La solution est simple à lire mais très difficile à trouver .

Vasimolo

 #12 - 06-07-2017 10:35:54

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 749

Gâtea 137

En effet smile

 

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