Il est vrai que la construction du gâteau avec des points de [latex]\mathbb{Z}^2[/latex] fait tout de suite penser au théorème de Pick mais à priori rien n'indique que le pentagone intérieur puisse être placé sur une telle grille lui aussi ...

Le deuxième indice est un peu biaisé car il faut utiliser la formule de Pick non pas dans le pentagone mais dans les trois triangles s'appuyant sur un même côté de celui-ci . La convexité permet de conclure

Vasimolo

Je ne donne pas de solution car je sais qu'on va la trouver



On se place dans le cas d'un pentagone minimal . Peut-on trouver un point du maillage dans les parties jaunes ? Après il faut regarder les triangles de base [latex][DE][/latex] .

Vasimolo

C'est ça , après il faut écrire la formule de Pick pour les trois triangles de base [latex][DE][/latex] et savoir la faire parler

Vasimolo

La convexité de ABCDE implique que le triangle ADE a une hauteur (de base [DE]) strictement plus grande que l'un au moins des deux triangles BDE et CDE, donc une aire strictement plus grande.

Mettons que ce soit BDE ; alors, la formule de Pick entraîne qu'il y a plus de points du réseau dans ADE que dans BDE, et, en considérant les zones précédemment déterminées comme dépourvues de points du réseau, qu'il y a strictement plus de points du réseau dans la partie i que dans les parties i et k réunies, ce qui est absurde.

C'est bien ça ?

En effet