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 #1 - 24-10-2014 01:03:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteua 82

Bonjour à tous smile

Le succès de mon pâtissier allant grandissant , il propose maintenant des attractions à ses clients .

Voilà son nouveau jeu .

Il a planté des clous régulièrement espacés dans une grille carrée et il a posé une barre métallique parallèle aux côtés et à peu près centrée .

Il demande alors aux volontaires d'essayer de retourner la barre avec un aimant mobile sous le plateau .

Voici un exemple avec une grille de 4 unités et 9 clous ( celle du pâtissier est très serrée et bien plus grande ) .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Retournement.png

Quelle doit être la taille minimale de la grille du pâtissier qui propose un bâton de 40 unités ?

Bon courage , toute généralisation est acceptée et souhaitée smile

Vasimolo

PS : Mon pâtissier n'est pas toujours très agréable mais il ne triche jamais avec ses gâteaux smile



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 #2 - 26-10-2014 23:39:03

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Gâteua 82

En fait je ne comprends pas tes dessins, les flèches rouges symbolisent-elles le déplacement du bâton? Si oui dans quel sens faut-il lire ton enchaînement? hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 27-10-2014 00:28:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtezu 82

Il me semble que personne n'a compris le problème , la formulation n'était donc vraiment pas claire .

Imaginons une grille cloutée infinie dont les clous sont les points à coordonnées entières d'un repère orthonormé . Entre les clous , on pose une tige parallèle à l'un des axes de coordonnées et on essaie de la retourner sans traverser les clous . Sur une grille infinie , c'est toujours possible mais si on limite le cadre des opérations , la manœuvre devient plus délicate .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Essai.png

Vasimolo

PS : flèches rouges = point de blocage . Segments verts = glissement avant rotation .

PPS : c'est un problème personnel donc pas de solution garantie sans faille smile

 #4 - 27-10-2014 17:17:12

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

gâteay 82

OK c'est bon j'ai compris, je vais y réfléchir !


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 01-11-2014 11:34:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

gâreau 82

Pour ne pas laisser en plan la question...

Je trouve une formule générale approximative N=y(2L-rac(x²+y²)/rac(x²+y²)
On cherche le max de N pour cette formule.
Pour L=40, je trouve un max de N avec x=1 et y=5 de 74, qu'il faut corriger en N=75.
(x,y) sont les dimensions d'un triangle rectangle placé dans le milieu du carré, cas le plus défavorable.

 #6 - 01-11-2014 19:07:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteai 82

Il faudrait que tu détailles un peu Nodgim ( tu devrais savoir que j'ai une toute petite tête et aucune imagination smile )

Pour une grille de taille 3 la plus grande baguette que l'on peut retourner est de taille 2 :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-taille3.png

Il y a sûrement un moyen de rendre les manœuvres compréhensibles .

En tout cas merci de t'intéresser au problème qui ne mobilise pas les foules  .

Vasimolo

 #7 - 02-11-2014 09:07:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Gâtea u82

Un peu compliqué à développer pour l'instant. J'ai lancé cette valeur de 75 en fonction de mon idée. J'imagine que tu as dû aussi de ton coté trouver une valeur, j'aimerais bien la connaitre.

 #8 - 02-11-2014 11:50:05

Vasimolo
Le pâtissier
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fâteau 82

Bonjour Nodgim

Je n'ai pas de valeur à te proposer mais je peux te dire ce que j'avais commencé à faire .

On prend le problème à l'envers c'est à dire qu'on cherche la taille t(n) de la plus grande aiguille que l'on peut retourner dans une grille cloutée de côté n . T(n) est clairement croissante et t(mn)=<mt(n) car multiplier la taille de la grille revient à ajouter des clous .

Sauf erreur , les premières valeurs de t(n) : 1 ; 2 ; 2 ; 2V2 ; 3 ; 4 ; ...

Toujours sauf erreur il semblerait que les blocages de l'aiguille se fassent toujours sur les lignes horizontales , verticales ou diagonales . Je me demande d'ailleurs si le blocage sur la diagonale pour n=4 n'est pas exceptionnel .

Ca fait tout de même beaucoup de points d'interrogations smile

Remarque : A priori ta proposition n'est pas en contradiction avec la fonction t :

t(75) = t(15 X 5)=< 15 X t(5) = 45 .

Il reste encore pas mal de grain à moudre .

Vasimolo

PS : tout ça est un peu pénible à lire mais Latex a encore rendu l'âme .

 #9 - 02-11-2014 12:25:49

Sydre
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Messages : 143

gâteay 82

Que ce soit pour les grilles de nombre d'unité pair ou impair, ce qui limite la méthode de retournement c'est la rotation la plus contraignante :

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-Rotation.png

Pour une grille de [latex]n[/latex] unités la longueur maximale [latex]L[/latex] de la barre pour qu'elle puisse être retournée vaut donc :

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-L_max.gif

Pour [latex]L[/latex] [latex]=[/latex] [latex]4[/latex][latex]0[/latex] on trouve [latex]n[/latex] [latex]=[/latex] [latex]4[/latex][latex]1[/latex].

Plus généralement pour une valeur de [latex]L[/latex] fixée on trouvera [latex]n[/latex] [latex]=[/latex] [latex]L[/latex] [latex]+[/latex] [latex]1[/latex].

Ça me parait me parait trop simple, j'ai sans doute du passer à coté de quelque chose lol

 #10 - 02-11-2014 12:49:08

Vasimolo
Le pâtissier
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Gteau 82

Comme j'aimerais que ce soit aussi simple smile

Pour l'exemple que tu as choisi , tu devrais pouvoir retourner une baguette de taille V(10)=3,16...

Je crois que c'est un problème difficile mais c'est vraiment sympa de participer smile

Vasimolo

 #11 - 15-11-2014 15:23:53

halloduda
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

Gâteau 28

Il faut arriver à faire 1/8 de tour (45°), et c'est gagné.
La suite s'obtient par symétrie.

On peut essayer avec des baguettes de longueurs 2, 3, 4, etc...
et regarder si OEIS donne la séquence des dimensions nécessaires
d'après les premières valeurs trouvées.

 #12 - 15-11-2014 17:24:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtzau 82

Je ne pense pas qu'un quart de tour suffise ,  la sortie d'une position horizontale étant justement l'une des plus délicates en démarrant verticalement . J'avais essayé l'OEIS sans succès avec les carrés des valeurs proposées dans le message #8 : il s'agit donc d'une suite inédite .

Vasimolo

 #13 - 15-11-2014 19:54:41

gwen27
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gâreau 82

Vasimolo a écrit:

Sauf erreur , les premières valeurs de t(n) : 1 ; 2 ; 2 ; 2V2 ; 3 ; 4 ; ...

Sauf erreur aussi , ces valeurs sont fausses.

Grille de dimension 1 : barre de longueur 1 OK
Grille de dimension 2 : barre de longueur 2 OK
Grille de dimension 3 : barre de longueur 2 Bah, non, 2 rac(2) ça passe
Grille de dimension 4 : Pas encore réfléchi mais j'aurais tendance à être d'accord avec sydre

Quoique je rajouterais un facteur (n-2)/(n-1)
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g82.JPG

 #14 - 15-11-2014 23:47:03

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 2

Si je précisais "sauf erreur" c'est que j'avais de sérieux doutes sur les valeurs proposées . Pour une grille de taille 3 je vois mal comment on peut retourner une aiguille de taille supérieure à 2 ( voir message #6 ) .

Vasimolo

 #15 - 16-11-2014 09:59:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
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âGteau 82

Pour ma part, j'ai trouvé que pour une longueur L de segment, il fallait à peu près un coté C de valeur 2L -(2L)^(1/3).

 #16 - 16-11-2014 11:03:00

Vasimolo
Le pâtissier
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Gtâeau 82

Si on inverse ta relation on obtient tes barres de taille :

1,16 ; 1,76 ; 2,34 ; 2,90 ; 3,45 ; 4,00 ; ...

Que l'on peut comparer aux valeurs que j'ai fourni :

1,00 ; 2,00 ; 2,00 ; 2,82 ; 3,00 ; 4,00 ; ...

L'estimation a l'air assez bonne .

Il me semble important de se mettre d'accord sur les valeurs exactes de la barre pour les premières tailles de la grille si on veut avoir une petite idée pour les suivantes .

Vasimolo

PS : j'ai proposé le problème à plusieurs sites de maths et tout le monde sèche smile
PPS : j'ai fouillé un peu sur la toile pour voir si le problème était connu mais je n'ai rien trouvé sad

 #17 - 16-11-2014 11:46:11

gwen27
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Gâtteau 82

Au risque de me répéter : 3 => 2rac(2)
Même si j'ai eu la flemme de faire le second quart de tour.
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g822.JPG

 #18 - 16-11-2014 12:14:01

Vasimolo
Le pâtissier
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âGteau 82

D'accord smile

Donc : 1 ; 2 ; 2V(2) ; 2V(2) ; 3 ; 4 ...

Sauf erreur bien sûr lollollol

Vasimolo

 #19 - 16-11-2014 12:17:44

gwen27
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Gâteau 8

Je dirais que le point crucial est le passage d'un point autour du centre par une extrémité de la barre.
Dans les dimensions impaires, on est donc limité par le passage de la diagonale [(n+1)/2] rac(2)

Dans les dimensions paires, on gagne un cran car on tourne autour du point central sans le franchir:
Pour 4, cela donnerait 3/2 rac(5)

On doit tendre vers un rapport (n+1)/2 rac(2) sinon, on ne franchira pas le point central de la diagonale et on sera borné à un quart de la grille.

En fait, je pense qu'il faut raisonner sur un quart de grille plus éventuellement le carré central.

Je penche pour : 1 / 2  / 2,82 / 3,35 / 4,24 ...

 #20 - 16-11-2014 12:24:16

Vasimolo
Le pâtissier
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âGteau 82

Je n'ai pas trop le temps de te lire mais je vais y réfléchir ce soir smile

gwen27 a écrit:

PS ton gâteau précédent, je n'ai même pas compris le problème big_smile et je ne le trouve pas très ludique.

Vasimolo

 #21 - 16-11-2014 12:28:57

gwen27
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gâyeau 82

Bah c'est  plus rigolo quand c'est mieux expliqué lol

 #22 - 16-11-2014 12:33:56

Vasimolo
Le pâtissier
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Gteau 82

C'est évident que je ne suis pas toujours très clair hmm ( euphémisme )

En tout cas merci de t’intéresser au problème smile

Vasimolo

 #23 - 16-11-2014 18:25:01

nodgim
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Gâtaeu 82

La formule que j'ai sortie est une approximation d'autant plus proche de la réalité qu'on augmente la valeur du segment. Elle est issue de la formule générale qui avait été citée plus haut.
Je ne me suis pas du tout intéressé aux cas particuliers des petits carrés. Et j'ai cherché la taille du coté en fonction de la longueur du segment et non l'inverse.


Vasimolo a écrit:

Si on inverse ta relation on obtient tes barres de taille :

1,16 ; 1,76 ; 2,34 ; 2,90 ; 3,45 ; 4,00 ; ...

Que l'on peut comparer aux valeurs que j'ai fourni :

1,00 ; 2,00 ; 2,00 ; 2,82 ; 3,00 ; 4,00 ; ...

L'estimation a l'air assez bonne .

Il me semble important de se mettre d'accord sur les valeurs exactes de la barre pour les premières tailles de la grille si on veut avoir une petite idée pour les suivantes .

Vasimolo

PS : j'ai proposé le problème à plusieurs sites de maths et tout le monde sèche smile
PPS : j'ai fouillé un peu sur la toile pour voir si le problème était connu mais je n'ai rien trouvé sad

 #24 - 16-11-2014 18:28:08

nodgim
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fâteau 82

gwen27 a écrit:

Je dirais que le point crucial est le passage d'un point autour du centre par une extrémité de la barre.
Dans les dimensions impaires, on est donc limité par le passage de la diagonale [(n+1)/2] rac(2)

Dans les dimensions paires, on gagne un cran car on tourne autour du point central sans le franchir:
Pour 4, cela donnerait 3/2 rac(5)

On doit tendre vers un rapport (n+1)/2 rac(2) sinon, on ne franchira pas le point central de la diagonale et on sera borné à un quart de la grille.

En fait, je pense qu'il faut raisonner sur un quart de grille plus éventuellement le carré central.

Je penche pour : 1 / 2  / 2,82 / 3,35 / 4,24 ...

A mon sens, non, on ne peut pas tendre vers le rapport (n+1)/2 rac2: C'est l'orientation quasi verticale (ou horizontale) qui est la plus contraignante.

 #25 - 16-11-2014 18:36:17

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteua 82

J'avais bien compris Nodgim smile

Chercher une tendance pour les grands carrés n'est certainement pas inutile , on peut aussi chercher les valeurs exactes pour les petits carrés  smile

Vasimolo

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