on le généralise avec n'importe quel polygone [latex]P_1P_2....P_{n+2}[/latex]en faisant la même itération

1ere étapeon trace toute les diagonales et on s'occupe de chaque triangle [latex]P_{i-1}P_iP{i+1}[/latex]. Ils sont tous partagé en n parties

2ème étape On met une cerise dans la premier partie du triangle [latex]P_1P_2P_3[/latex]. Donc une autre cerise ne peut pas se mettre dans les autres parties du triangle [latex]P_1P_2P_3 et P_1P_2P_{n+2}[/latex] et dans une des parties des autres triangles  [latex]P_{i-1}P_iP{i+1}[/latex] celle qui fait partie du triangle [latex]P_1P_2P_i[/latex]

et on recommence ces deux étapes précédentes jusqu'à ce que le gateau soit rempli de n cerise.

Si je ne me trompe pas il y a n! facons de le faire

il semble que ce soit effectivement toujours possible, mais je ne suis pas arrivé encore à généraliser.

En plaçant un 1er point le long d'un côté 'ici AB, on supprime toutes les zones des triangles contenant ce point (en vert), on place un 2eme point et on refait l'opération, il reste toujours des zones qui peuvent contenir les 2 derniers points.

Pour un hexagone cela peut donner :



Tentative de début de démonstration :

Soit un polygone à N côtés, contenant N-2 cerises répondant au problème. Pour faire un polygone à N+1 côtés, on rajoute un point à l'extérieur de ce polygone et on joint ce point aux N points existants. On forme à cette occasion N nouvelles possibilités de parts triangulaires : N-1 triangles ont une partie commune avec le premier polygone, et un nouveau triangle n'a aucune partie commune avec le premier, mais par contre a une partie commune avec chacun des N-1 triangles nouvellement formés. Les N-2 cerises initiales vont donc se retrouver dans N-2 des nouveaux triangles , il restera donc 2 triangles sans cerises, dont une partie commune à ces 2 triangles, dans laquelle on pourra mettre la nouvelle cerise. Exemple avec 4 côtés initiaux : un 5eme point est placé, dans ce cas on forme 3 triangles avec une partie commune  au quadrilatère et un nouveau extérieur au quadrilatère, la partie bleue est commune aux 2 triangles qui ne contiennent aucune des 2 cerises initiales. Si les cerises se trouvent sur une diagonale ou dans un même nouveau triangle, il suffit de les déplacer légèrement afin qu'elles ne soient plus dans un même triangle.

Comme la proposition est vraie pour N=3 , elle est vraie pour tout N

Je tente une méthode de placement. Deux questions se poseront : est-ce que ça marche ? est-ce que ça se prouve ?...



Les sommets sont numérotés de 1 à (n+2) selon le périmètre. Je trace tous les segments possibles.
Je construis alors la ligne brisée bleue : 1 - 3 - (n+2) - 4 - (n+1) - 5 -...
Lors de chaque déplacement rectiligne, je place une cerise dans le premier triangle que je longe du côté du sommet n°2. Comme ma ligne brisée est composée de n segments, j'aurai bien placé n cerises.

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Tentons une récurrence.

La méthode convient pour 1, 2 et 3 cerises. Supposons qu'elle marche jusqu'à (n-1) cerises.
Dans ce cas, ma construction est efficace pour tous les triangles qui ne font pas intervenir le dernier point de ma ligne brisée, le point A qui porte le numéro E(n/2)+3.
Envisageons alors un triangle de sommet A. Soit B le sommet le plus proche de A sur la ligne brisée et C le troisième (qui peut être notamment le point numéroté 2).
Mon triangle ABC contient bien la cerise que j'ai posée juste après mon passage en B puisque [BA] et [BC] encadrent le petit triangle concerné. La cerise que j'ai placée éventuellement après mon passage en C se trouve au-delà de [BC] puisque du côté du point n°2. Les autres cerises sont en dehors, puisque les sommets concernés sont strictement à l'extérieur du triangle ABC.
La propriété semble bien prouvée pour n cerises... Elle est héréditaire donc vraie pour tout n naturel non nul.

J'ai bon ?

Bonjour à tous,

je me suis amusé à dessiner pas mal de polygones "à la main" pour essayer de trouver un contre-exemple... en voyant vos réponses, notamment celle de shaff60, je me dis que l'utilisation d'un logiciel de géométrie plane doit être bien utile pour publier rapidement une réponse propre. Lesquels utilisez-vous ?

Merci d'avance.

Merci pour le tuyau !