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 #1 - 19-04-2010 17:40:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâetau 4

En route pour l'indigestion , nouveau gâteau sad

Pour l'anniversaire de ma fille qui a invité deux amies ,  j'ai cuisiné un gâteau pentagonal ( on ne se refait pas roll ) sur lequel j’ai disposé 3 cerises comme sur le dessin .

http://img228.imageshack.us/img228/3496/troiscerises.jpg

Chaque enfant s’est alors coupé une part triangulaire dont les sommets sont aussi des sommets du gâteau . Le partage s’est fait au hasard et pourtant chaque enfant a récupéré exactement une cerise . Peut-on de même imaginer une disposition de n cerises sur n’importe quel gâteau polygonal convexe à n+2 côtés de façon à ce que toute part triangulaire construite sur trois sommet du gâteau contienne exactement une cerise ? Si oui , comment ? Si non contre-exemple !!!

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

Petite précision par l'image car la consigne n'est pas facile à expliquer .

http://img541.imageshack.us/img541/7093/contreexemple.jpg

La disposition ci-dessus ne convient pas car on peut couper une part sans cerise et même une part avec deux cerises . Il faut donc trouver une autre disposition des cerises sur ce gâteau big_smile



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 #2 - 20-04-2010 10:28:08

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

âGteau 4




on le généralise avec n'importe quel polygone [latex]P_1P_2....P_{n+2}[/latex]en faisant la même itération

1ere étapeon trace toute les diagonales et on s'occupe de chaque triangle [latex]P_{i-1}P_iP{i+1}[/latex]. Ils sont tous partagé en n parties

2ème étape On met une cerise dans la premier partie du triangle [latex]P_1P_2P_3[/latex]. Donc une autre cerise ne peut pas se mettre dans les autres parties du triangle [latex]P_1P_2P_3 et P_1P_2P_{n+2}[/latex] et dans une des parties des autres triangles  [latex]P_{i-1}P_iP{i+1}[/latex] celle qui fait partie du triangle [latex]P_1P_2P_i[/latex]

et on recommence ces deux étapes précédentes jusqu'à ce que le gateau soit rempli de n cerise.

Si je ne me trompe pas il y a n! facons de le faire

 #3 - 20-04-2010 12:54:05

piode
Cacografe de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 1680
Lieu: Sur le dos d'une autruche

Gteau 4

lol la c'est vraiment la Cerise sur le gateau !

^^ petite question : Le Gateau 5 , sera-t-il léger ?


"Être une enzyme avec fonction hydrolyse, mais ne pas savoir comment si prendre ..."

 #4 - 20-04-2010 20:21:09

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

Gâteeau 4

il semble que ce soit effectivement toujours possible, mais je ne suis pas arrivé encore à généraliser.

En plaçant un 1er point le long d'un côté 'ici AB, on supprime toutes les zones des triangles contenant ce point (en vert), on place un 2eme point et on refait l'opération, il reste toujours des zones qui peuvent contenir les 2 derniers points.

Pour un hexagone cela peut donner :

http://www.prise2tete.fr/upload/schaff60-hexagone1.jpg

Tentative de début de démonstration :

Soit un polygone à N côtés, contenant N-2 cerises répondant au problème. Pour faire un polygone à N+1 côtés, on rajoute un point à l'extérieur de ce polygone et on joint ce point aux N points existants. On forme à cette occasion N nouvelles possibilités de parts triangulaires : N-1 triangles ont une partie commune avec le premier polygone, et un nouveau triangle n'a aucune partie commune avec le premier, mais par contre a une partie commune avec chacun des N-1 triangles nouvellement formés. Les N-2 cerises initiales vont donc se retrouver dans N-2 des nouveaux triangles , il restera donc 2 triangles sans cerises, dont une partie commune à ces 2 triangles, dans laquelle on pourra mettre la nouvelle cerise. Exemple avec 4 côtés initiaux : un 5eme point est placé, dans ce cas on forme 3 triangles avec une partie commune  au quadrilatère et un nouveau extérieur au quadrilatère, la partie bleue est commune aux 2 triangles qui ne contiennent aucune des 2 cerises initiales. Si les cerises se trouvent sur une diagonale ou dans un même nouveau triangle, il suffit de les déplacer légèrement afin qu'elles ne soient plus dans un même triangle.

Comme la proposition est vraie pour N=3 , elle est vraie pour tout N


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #5 - 21-04-2010 12:45:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âteau 4

Je ne sais pas si on peut montrer le résultat par récurrence , mais si c'est le cas il faut prendre un minimum de précautions . L'exemple ci-dessous montre un gâteau à quatre côtés et deux cerises qu'on ne peut pas transformer simplement en gâteau à cinq côtés et trois cerises par l'adjonction du sommet bleu sad

http://img688.imageshack.us/img688/8366/rcurrence.jpg

N'hésitez pas à faire des essais avec 2, 3 , 4 , 5 , ... cerises big_smile

Pas de réponse complète pour le moment , alors bon courage !!!

Vasimolo

 #6 - 21-04-2010 22:37:16

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Gâteeau 4

Je tente une méthode de placement. Deux questions se poseront : est-ce que ça marche ? est-ce que ça se prouve ?...

http://img64.imageshack.us/img64/9901/gateau4.png

Les sommets sont numérotés de 1 à (n+2) selon le périmètre. Je trace tous les segments possibles.
Je construis alors la ligne brisée bleue : 1 - 3 - (n+2) - 4 - (n+1) - 5 -...
Lors de chaque déplacement rectiligne, je place une cerise dans le premier triangle que je longe du côté du sommet n°2. Comme ma ligne brisée est composée de n segments, j'aurai bien placé n cerises.

______________________________

Tentons une récurrence.

La méthode convient pour 1, 2 et 3 cerises. Supposons qu'elle marche jusqu'à (n-1) cerises.
Dans ce cas, ma construction est efficace pour tous les triangles qui ne font pas intervenir le dernier point de ma ligne brisée, le point A qui porte le numéro E(n/2)+3.
Envisageons alors un triangle de sommet A. Soit B le sommet le plus proche de A sur la ligne brisée et C le troisième (qui peut être notamment le point numéroté 2).
Mon triangle ABC contient bien la cerise que j'ai posée juste après mon passage en B puisque [BA] et [BC] encadrent le petit triangle concerné. La cerise que j'ai placée éventuellement après mon passage en C se trouve au-delà de [BC] puisque du côté du point n°2. Les autres cerises sont en dehors, puisque les sommets concernés sont strictement à l'extérieur du triangle ABC.
La propriété semble bien prouvée pour n cerises... Elle est héréditaire donc vraie pour tout n naturel non nul.

J'ai bon ?


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #7 - 22-04-2010 17:36:25

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea 4

Les choses se précisent smile

- Réponse de Schaf60 pour l'hexagone mais pas de généralisation justifiée .
- Réponse de gabrielduflot pour l'heptagone avec une construction qui peut se généraliser ( c'est la contruction à laquelle j'avais pensé ) .
- Une démonstration par récurrence de scrablor en déposant les cerises le long d'une trajectoire dans le gâteau ( plutôt malin wink ).

Il y a sûrement encore d'autres idées qui germent big_smile

Vasimolo

 #8 - 24-04-2010 03:10:12

Lagaway
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 34
Lieu: Colombie

gâtezu 4

Bonjour à tous,

je me suis amusé à dessiner pas mal de polygones "à la main" pour essayer de trouver un contre-exemple... en voyant vos réponses, notamment celle de shaff60, je me dis que l'utilisation d'un logiciel de géométrie plane doit être bien utile pour publier rapidement une réponse propre. Lesquels utilisez-vous ? big_smile

Merci d'avance.

 #9 - 24-04-2010 07:02:59

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

hâteau 4

C'est sur ce même forum qu'on m'a conseillé un jour Geogebra que j'ai adopté, il est simple et gratuit

http://www.geogebra.org/cms/fr


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #10 - 24-04-2010 07:51:48

Lagaway
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 34
Lieu: Colombie

Gâtaeu 4

Merci pour le tuyau !

 #11 - 24-04-2010 11:28:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

fâteau 4

J'aime bien aussi Géogebra , il y a aussi Déclic gratuit aussi , un peu plus limité mais très facile à utiliser .

Merci aux participants smile

Vasimolo

 

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