Enigme Échiquier et dominos @ Prise2Tete

Khyros · #1

Bonjour bonjour,

L'énigme qui suit me parait plutôt classique, mais je ne l'ai pas trouvée avec la fonction recherche, donc dans le doute je vous la pose ! (pardonnez-moi si elle est déjà quelque part).

Je viens de trouver chez mon grand-père un échiquier de N*N cases, qui malheureusement a subi les vicissitudes du temps, et auquel il manque 2 cases de coins diagonalement opposés. Comme j'étais en train de jouer aux dominos avec mon petit cousin, je me demande: me serait-il possible de remplir ce joli plateau avec mes dominos, sans qu'ils ne se chevauchent ni ne sortent du plateau ? (Bien entendu un domino occupe deux cases adjacentes de l'échiquier).

On pourra assez rapidement répondre dans le cas où N est impair, donc j'attends surtout une réponse et sa démonstration pour N pair.

Il existe au moins deux démonstrations plutôt "mathématiques" (mais je ne me souviens que de l'une des deux), et au moins une réponse "logique" très simple qui ne fait intervenir aucun calcul.

PS: Sinon, à la base je me promenais surtout ici pour refaire mon stock d'énigmes à poser à des amis, de type logiques plutôt que calculatoires, mais si possible ardues. Si jamais vous avez les liens vers des énigmes qui vous ont beaucoup plu, je suis preneur ! (du type les 100 prisonniers et l'ampoule, les prisonniers et les différentes couleurs de chapeau, les 100 prisonniers et les 100 tiroirs, etc... oui, y'a des prisonniers partout.) Merci d'avance.

nodgim · #2

Celle ci est très classique sur ce site. En ôtant 2 cases de même couleur, il est impossible de remplir l'échiquier avec des dominos qui occupent toujours 1 case noire et une case blanche.
Des énigmes ardues qui ne font pas appel à des connaissances poussées en math, il n'y a que ça ici. Tu n'as que l'embarras du choix !

halloduda · #3

Un domino couvre une case blanche et une case noire.

Les cases d'une diagonale sont toutes de la même couleur.
L'échiquier n'a plus un nombre égal de cases noires et de cases blanches
puisqu'on a enlevé deux cases d'une même couleur.

Il est donc impossible de le couvrir avec des dominos.

7nyguita7 · #4

Dans le cas où N est impair, le nombre de cases est lui aussi impair (que l'on retire deux cases ou pas), donc il est impossible de le remplir de dominos qui font deux cases.

Dans le cas où N est pair :

-Les deux cases retirées sont diagonalement opposées et donc de la même couleur.
Il y a donc N²/2 cases d'une couleur et (N²/2)-2 de l'autre
-Un domino recouvre deux cases adjacentes, donc de couleurs différentes
-Comme il n'y a pas autant de cases des deux couleurs, il est impossible de remplir complétement l'échiquier.

Je suis quand même assez curieux de voir une démonstration mathématique.

Franky1103 · #5

C'est un problème assez connu.
Si N est impair, alors N²-2 est impair donc non divisible par 2 et il restera (au mieux) une case à la fin.
Si N est pair, alors on aura N²/2 cases d'une couleur et N²/2-2 cases de l'autre et donc on arrivera (au mieux) qu'à y caser N²/4-1 dominos car il restera (au mieux) 2 cases de la même couleur à la fin.

Jackv · #6

Il me semble avoir déjà vu quelque chose qui ressemble à cela...

En quelques mots :
- Si N est impair, N²- 2 est impair, alors que le nombre de cases couvertes par x dominos est forcément pair.

- Si N est pair, si on enlève 2 cases sur une diagonale, il n'y aura pas le même nombre de cases blanches et de cases noires, alors que pour x dominos, il y en a le même nombre. CQFD .

Vasimolo · #7

C'est en effet très connu , deux cases diagonalement opposées de l'échiquier ont la même couleur chaque domino recouvre deux cases de couleurs différentes .

Vasimolo

Clydevil · #8

Hello,
C'est intéressant les énigmes avec un argument de coloriage.
Ça revient souvent dans tous les problèmes de pavage.
Peut on paver machin avec machin, et le concept revient a trouver un coloriage plus ou moins complexe pour démontrer qu'on ne peut pas.
(ici un coloriage très simple)
Mais j'ai vu récemment un truc assez beau. c'est qu'il existe des formes, qui ne sont pas pavables avec certaines pièces et pour lesquelles on peut démontrer qu'on ne peut pas le démontrer avec un argument de coloriage faudra que je vous retrouve cela.
Bon sinon pour ton stock d’énigmes oui j'ai un top ten qui traîne dans mes mails. Si tu me donne un mail en message perso je te fais suivre. (énigme de bon niveau)
@+

Klimrod · #9

Salut,
Je suis sûr que mes prédécesseurs ont trouvé plein de liens pour ce problème qui n'est pas neuf.

Pour un échiquier NxN impair, le problème est impossible, car en enlevant n'importe quelles deux cases, il restera toujours un nombre impair de cases, qui ne peuvent donc pas être pavées par des dominos.

Pour un échiquier NxN pair, le problème est également impossible, car en enlevant les deux cases extrêmes diamétralement opposées, on enlève deux cases de même couleur (toutes les deux blanches ou toutes les deux noires). On déséquilibre donc les cases blanches et les cases noires, ce qui rend le impossible le pavage par des dominos normaux.

Spoiler : Et si on compliquait un peu ?

Klim.

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