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 #1 - 16-02-2010 20:56:05

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Des carrés imapirs

Trouver trois entiers impairs consécutifs dont la somme des carrés donne un nombre de quatre chiffres identiques compris entre 4000 et 7000.
Spoiler : [Afficher le message] une équation du second degré a deux solutions wink
Bonne chance!



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 #2 - 16-02-2010 21:07:46

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Dess carrés impairs

C'est parti pour la mise en équation :
[TeX](2a+1)^2 + (2a+3)^2 + (2a+5)^2 = X[/TeX]
X valant 4444, 5555 ou 6666. 4444 et 6666 sont impossibles car on additionne trois carrés d'impairs, donc trois impairs, et le résultat est impair.
[TeX](2a+1)^2 + (2a+3)^2 + (2a+5)^2 = 5555[/TeX]
[TeX](4a^2+4a+1+4a^2+12a+9+4a^2+20a+25 = 5555[/TeX]
[TeX](12a^2+36a-5520=0[/TeX]
[TeX](a^2+3a-460=0[/TeX][TeX]\Delta = 3^2+4 \times 460 = 43^2[/TeX][TeX]a = \frac{43-3}{2}=20[/TeX]
Donc les nombres que l'on cherche sont 41, 43 et 45.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 16-02-2010 21:11:54

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Ds carrés impairs

et de un qui a trouvé! bravo à MthS-MlndN! wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 16-02-2010 22:01:28

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2218

Des carrés impirs

41 43 45 ?

 #5 - 16-02-2010 22:11:42

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Des carré simpairs

Ca parait simple...
on ecrit [latex]a^2+b^2+c^2=[/latex]4444 ou 5555 ou 6666
avec a=b-2 et c=b+2, ca donne:
[TeX](b-2)^2+b^2+(b+2)^2=[/latex]4444 ou 5555 ou 6666
ce qui se simplifie par:
[latex]3*b^2+8=[/latex]4444 ou 5555 ou 6666
soit:
[latex]3*b^2=[/latex]4436 ou 5547 ou 6658
seul 5547 est un multiple de 3.
on a donc b=[latex]sqrt{\frac{5547}{3}}[/TeX]
donc les 3 nombres sont 41, 43 et 45 dont la somme des carrés est 5555.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 16-02-2010 23:02:38

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 567

eDs carrés impairs

41 43 45

 #7 - 16-02-2010 23:19:17

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 950

ded carrés impairs

La somme est impaire, elle vaut donc 5555.
Résolvons [latex](x-2)^2+x^2+(x+2)^2 = 5555[/latex] soit [latex]x^2 = 1849[/latex]
La solution positive est 43. La réponse est ( 41 ; 43 ; 45 ).


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #8 - 17-02-2010 02:48:36

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1803

drs carrés impairs

Bonjour

41² + 43² + 45² = 5555

(merci Excel)

Bonne journée
Nicolas


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #9 - 17-02-2010 04:47:55

phil0156
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 286

Des carrés impars

Je propose 41 43 45 dont la somme des carrés donne 5555

 #10 - 17-02-2010 08:43:09

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1612

des carrés ilpairs

On cherche une somme de 3 carrés de nombres impairs, autrement dit un nombre impair, qui s'écrit aaaa en base 10, a étant compris entre 4 et 6. Bon ben c'est 5 smile

On cherche N tel que (N-2)^2+N^2+(N+2)^2 = 5555
N =43
Les nombres sont donc 41, 43 et 45

 #11 - 17-02-2010 10:37:38

JohnMatrix
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

Des carréés impairs

Par tâtonnement :
35*35 + 37*37 + 39*39 = 4115
47*47 + 49*49 + 51*51 = 7211

On a donc encadré la solution, il ne reste pas beaucoup de possibilités.
La réponse est : 41, 43, 45
41*41 + 43*43 + 45*45 = 5555

 #12 - 17-02-2010 10:48:49

Palin01
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 70
Lieu: Lille

Des carré impairs

Bonjour.
En fait, ce que l'on veut trouver c'est un entier n  tel que :
[TeX]n^2+(n+2)^2+(n+4)^2=4444[/latex] ou [latex]5555[/latex] ou [latex]6666
[/latex], or [latex]n^2+(n+2)^2+(n+4)^2 = 3n^2 + 12n+20[/TeX]
On résout donc cette équation :
Dans le 1er cas, on trouve un [latex]\Delta[/latex] dont le carré n'est pas un entier donc ça ne nous intéresse pas.
Dans le 2ème cas (=5555) on trouve :
[TeX]\Delta=144+4*3*(5555-20)=66564
sqrt(66564)=258[/latex], on a [latex]n1=\frac{-12+258}{6}=41[/latex] et [latex]n2=\frac{258+12}{6}=45[/TeX]
On vérifie: on a bien [latex]41^2+43^2+45^2=5555[/latex]
Dans le troisième cas on a [latex]sqrt(\Delta)=sqrt(144+4*3*6646)=282.658...[/latex] : ça ne nous intéresse pas
Donc les trois entiers impairs consécutifs cherchés sont 41, 43 et 45

 #13 - 17-02-2010 13:24:39

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

des carrés impaies

Pour l'instant tout le monde a juste.smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 17-02-2010 13:28:30

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

ses carrés impairs

soit x un nombre impair
x=2n+1 l'impair qui suit est 2n+3 et celui qui precede est 2n-1
alors (2n+1)²+(2n+3)²+(2n-1)²=12n²+12n+11 ce nombre est donc impair et donc la seule possibilite c'est qu'il soit égal à 5555 et donc 12(n²+n)=5544 et donc
n²+n=462 et d'où n²+n-462=0 DELTA=1849 et n=[latex]{-1+43} \over 2[/latex] ou n=[latex]{-1 - 43}\over 2[/latex] et donc n=21 ou n=-22
donc il y a 2 possibiltés
41;43;45 et -41;-43;-45

 #15 - 17-02-2010 14:53:27

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

des carréq impairs

mais un seul c'est résoudre un équation du second degré!
correctement...


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #16 - 17-02-2010 15:15:38

logan
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 90

ded carrés impairs

Soit X l'entier à trouver n'étant ni le plus grand ni le plus petit

la somme des trois entier est donc égale à

(x-2)²+x²+(x+2)²
==>
3x²+8

La somme est égale un nombre de quatre chiffres identiques compris entre 4000 et 7000
c'est soit 4444; soit 5555; soit 6666

On pose l'équation
3x²+8=4444==>x²=1478,667 => X n'est pas un entier dans ce cas là donc la somme n'est pas 4444

On pose l'équation
3x²+8=5555==>x=43 => Solution qui fonctionne

On pose l'équation
3x²+8=6666==>x²=2219,333 => X n'est pas un entier dans ce cas là donc la somme n'est pas 6666

Conclusion
Les trois entiers sont 41-43-45

 #17 - 17-02-2010 18:56:08

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

Des carrés impair

41,43 et 45 ( ou les mêmes en négatif ) wink

 #18 - 18-02-2010 14:39:16

gelule
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 778

Des carrés impaairs

soit 3 impairs entiers consécutifs n, n+2, n+4
n²+(n+2)²+(n+4)²=****
.........
pour ****=5555 cette équation a 2 solutions
n1=41, n2=-45

réponse: 41,43,45   et  -45,-43,-41

 #19 - 18-02-2010 15:10:06

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Des carrés impaisr

Par parité, le total vaut nécessairement 5555
[TeX]n^2+(n+2)^2+(n+4)^2 = 5555

n^2+4*n-1845 = 0[/TeX]
n = 41.

Donc 41,43 et 45

Non successifs, il y en a une flopée:

Code:

1    15    73
7    45    59
13    25    69
15    17    71
15    29    67
15    43    59
19    35    63
21    25    67
25    31    63
25    41    57
35    39    53
41    43    45

"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #20 - 19-02-2010 04:15:52

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1803

Des carrés impirs

Bon alors, voilà l'équation du second degré :

> Cherchons un entier naturel n impair tel que S = n² + (n+2)² + (n+4)² vaille un nombre entre 4000 et 7000 dont les quatre chiffres soient identiques

S = 3n²+12n+20

Il y a trois nombres entre 4000 et 7000 dont les quatre chiffres soient identiques.
Ce sont 4444, 5555 et 6666
Merci pour avoir réduit le champ des recherches dans l'énoncé car je n'ai pas trouvé mieux que de poser les trois équations du 2nd degré

3n² + 12n - 4424 = 0 (Eq. 1)
3n² + 12n - 5535 = 0 (Eq. 2)
3n² + 12n - 6646 = 0 (Eq. 3)

Il n'y a que pour l'équation (Eq. 2) que le discriminant (b²-4ac) soit le carré d'un entier (258²) (voire 86² si on divise tous les coefficients par 3)

Et 3n² + 12n - 5535 = 0 n'admet qu'une seule racine qui soit un entier naturel impair, cette racine est 41 (l'autre est -45).

On retrouve alors bien n² + (n+2)² + (n+4)² = 41² + 43² + 45² = 5555

Bonne journée !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #21 - 19-02-2010 12:17:03

gregirou
Visiteur

Des carrés impaisr

41,43,45

 #22 - 20-02-2010 01:32:24

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

drs carrés impairs

41, 43 et 45.

 #23 - 20-02-2010 07:43:24

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

des carréq impairs

Merci MS Excel :
41^2 + 43^2 + 45^2 = 5555


http://enigmusique.blogspot.com/

 #24 - 20-02-2010 10:04:13

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 950

Des arrés impairs

shadock a écrit:

... compris entre 4000 et 7000

Cette information est inutile !
Puisque l'équation va s'écrire 3x²+8=aaaa avec x impair, a est un chiffre impair tel que aaaa-8 soit divisible par 3.
Or aaaa est congru à 4a donc à a modulo 3 et 8 est congru à 2. Il est donc nécessaire que a-2 soit divisible par 3 et seul le chiffre 5 a cette propriété parmi les chiffres impairs lol


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #25 - 20-02-2010 14:11:48

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 378

ses carrés impairs

d'après la contrainte, les plus petits des entiers est supérieur à 33 (car 33²+35²+37² = 3683 < 4000) et inférieur à 47 (47²+49²+51² > 7000).
Ensuite, on essaie les 6 solutions possibles pour trouver : 41² + 43² + 45² = 5555, unique solution.

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