Enigme Mathématiques pour les nuls 19 (Géométrie du triangle) + Solution @ Prise2Tete

shadock · #1

Voici un problème que m'a donné mon prof de maths et qui m'a donné bien du fil à retordre et qui m'a appris un nouveau théorème que j'ignorai que je vous mettrai en indice si besoin est, ce que je ne doute déjà pas...

Voici l'énoncé, j'espère qu'il plaira à Vasimolo

Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe circonscriptible.
On note $\Delta$ une droite qui passe par $A$ qui coupe le segment $[BC]$ en $M$ et la droite $(CD)$ en $N$ .
On considère que tous les points sont distincts.
On note $I_1$ , $I_2$ et $I_3$ les centres des cercles inscrits, respectivement dans les triangles $MAB$ , $MCN$ et $NAD$ .
Montrer que l'orthocentre du triangle $I_1 I_2 I_3$ appartient vous l'aurez déjà devinez pour votre plus grand malheur à $\Delta$

Allez, bon courage à tous, et amusez-vous bien, si vous avez des questions je vérifie mes MP tous les 2 ou 3 jours

Spoiler : indice 1
Spoiler : indice 2
Spoiler : indice 3

ND : Merci à masab pour la coquille du troisième indice.

Shadock

masab · #2

Une petite figure vaut mieux qu'une longue preuve...

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Il va falloir beaucoup de courage pour trouver une preuve...

shadock · #3

Oui c'est ça masab
Mais pour la preuve il y a un théorème sur les quadrilatères qui permet de faire une démonstration pas trop longue

shadock · #4

Indice

Théorème de Pitot a écrit:
Dans un quadrilatère circonscriptible (c'est-à-dire dont les quatre côtés sont tangents à un même cercle), la somme des longueurs de deux côtés opposés est égale à la somme des deux autres.

Shadock

Vasimolo · #5

Salut Shadock

Je n'ai pas de solution évidente au problème qui me semble un peu "scolaire" .

J'ai découvert Pitot à travers ce film ( vers la fin de l'extrait ) .

Vasimolo

shadock · #6

Bah alors Vasimolo on cale ?
Il n'y a pas vraiment de solution évidente, il y a une solution "rapide", mais il y a deux astuces dont la première est le théorème de Pitot-(Steiner)

shadock · #7

Ajout d'un troisième indice, après je ne peux plus rien pour vous vu que personne n'a commencé...

Shadock

kossi_tg · #8

Il n'y aurait-il pas une erreur dans l’énoncé? Je ne vois pas ce qui m'échappe mais ma figure ne marche pas

shadock · #9

Kossi_tg non il n'y a pas d'erreur, c'est juste que dans ton quadrilatère de départ il faut que tu traces un cercle à l'intérieur qui soit tangent à ses côtés, et normalement ça devrait aller

shadock · #10

Solution du problème :

Reprenons les indices 1 et 2, et désolé pour l'indice trois j'ai mis des points cocycliques alors que je voulais mettre un quadrilatère cyclique.
Si E est le point d'intersection de $\Delta$ et (d) alors puisque ABCE et ABCD sont circonscriptibles on a :

$CD-CE=(AB+CD)-(AB+CE)$

$=(BC+AD)-(BC+AE)$

$=AD-AE$
D'où AE+CD=CE+AD donc AECD est circonscriptible et le cercle inscrit dans ce quadrilatère a pour centre

$I_3$ le cercles est donc C3 et (d) est bien tangente à C3.

Comme

$I_1I_2I_3C$ est cyclique :

$\widehat {I_3 C I_1}=\widehat {I_3 C E}+\widehat {E C I_1}$

$=\frac{1}{2}\left(\widehat {DCE}+\widehat{ECB}\right)$

$=\frac{1}{2}\widehat {DCB}$

$=\pi-\widehat {M I_2 N}$

$=\widehat {I_3 I_2 I_1}$
Soit

$H_1$ et

$H_2$ les symétriques orthogonaux respectifs de C par rapport à

$(I_2 I_3)$ et

$(I_2 I_1)$ .

Comme

$(I_2 I_1)$ est la bissectrice de

$\widehat{MNC}$ le point

$H_2$ est sur

$\Delta$ . De même pour

$H_1$ .

Ainsi si F est l’orthocentre de

$I_1 I_2 I_3$ alors

$\widehat{I_2 H_2 I_1}=\pi-\widehat{I_1 F I_2}$ ainsi

$I_2 F H_1 H_2}$ est cyclique.

Ainsi

$\widehat{H_2 F I_2}=\widehat{H_2 I_1 I_2}=\widehat{I_2 I_1 C}=\widehat{I_2 I_3 C}=\widehat{H_1 I_3 I_2}=\widehat{H_1 F I_2}$

D'où le résultat !!!
En espérant que je ne me suis pas trompé dans les indices

Shadock

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#1 - 27-11-2013 00:25:11

Mathématiquees pour les nuls 19 (Géométrie du triangle) + Solution

#0 Pub

#2 - 28-11-2013 11:00:19

mathématiques pour les nuls 19 (géométrie du trianhle) + solution

#3 - 28-11-2013 20:02:06

Mathématiques pour les nuls 19 (Géommétrie du triangle) + Solution

#4 - 29-11-2013 18:52:47

Mathématiques pour les nuls 19 (Géométtrie du triangle) + Solution

Théorème de Pitot a écrit:

#5 - 30-11-2013 13:01:32

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#6 - 30-11-2013 14:55:53

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#7 - 02-12-2013 19:40:32

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#8 - 03-12-2013 13:54:55

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#9 - 03-12-2013 19:36:15

Mathématiques puor les nuls 19 (Géométrie du triangle) + Solution

#10 - 07-12-2013 20:02:22

mathématiques pour les nuls 19 (géométrie du trianhle) + solution

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