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 #1 - 27-11-2013 00:25:11

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Mathématiques pour les nuls 19 (Géométrie du triaangle) + Solution

Voici un problème que m'a donné mon prof de maths et qui m'a donné bien du fil à retordre et qui m'a appris un nouveau théorème que j'ignorai que je vous mettrai en indice si besoin est, ce que je ne doute déjà pas... lol


Voici l'énoncé, j'espère qu'il plaira à Vasimolo smile

Soit [latex]ABCD[/latex] un quadrilatère convexe circonscriptible.
On note [latex]\Delta[/latex] une droite qui passe par [latex]A[/latex] qui coupe le segment [latex][BC][/latex] en [latex]M[/latex] et la droite [latex](CD)[/latex] en [latex]N[/latex].
On considère que tous les points sont distincts.
On note [latex]I_1[/latex], [latex]I_2[/latex] et [latex]I_3[/latex] les centres des cercles inscrits, respectivement dans les triangles [latex]MAB[/latex], [latex]MCN[/latex] et [latex]NAD[/latex].
Montrer que l'orthocentre du triangle [latex]I_1 I_2 I_3[/latex] appartient vous l'aurez déjà devinez pour votre plus grand malheur à [latex]\Delta[/latex]

Allez, bon courage à tous, et amusez-vous bien, si vous avez des questions je vérifie mes MP tous les 2 ou 3 jours smile

Spoiler : indice 1 Théorème de Pitot sur les quadrilatères inscriptibles
Spoiler : indice 2 Si on appelle C1, C2 et C3 les cercles inscrits respectivement dans AMB, NCM et NDA, soit (d) une tangente à C1 différente de (BC) et passant par C. Montrer que (d) est aussi tangente à C3. smile
Spoiler : indice 3 Selon vous le polygone [latex]I_1, I_2, I_3, C[/latex] ne seraient-ils pas cocycliques?
A utiliser avec l'indice 2.


ND : Merci à masab pour la coquille du troisième indice.

Shadock cool



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 #2 - 28-11-2013 11:00:19

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Mathématiques pour les nulss 19 (Géométrie du triangle) + Solution

Une petite figure vaut mieux qu'une longue preuve...


Il va falloir beaucoup de courage pour trouver une preuve...

 #3 - 28-11-2013 20:02:06

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Mahtématiques pour les nuls 19 (Géométrie du triangle) + Solution

Oui c'est ça masab smile
Mais pour la preuve il y a un théorème sur les quadrilatères qui permet de faire une démonstration pas trop longue smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 29-11-2013 18:52:47

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

mathématiques pour les nuls 19 (géométrie du triangle) + sokution

Indice

Théorème de Pitot a écrit:

Dans un quadrilatère circonscriptible (c'est-à-dire dont les quatre côtés sont tangents à un même cercle), la somme des longueurs de deux côtés opposés est égale à la somme des deux autres.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 30-11-2013 13:01:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

mathématiqyes pour les nuls 19 (géométrie du triangle) + solution

Salut Shadock smile

Je n'ai pas de solution évidente au problème qui me semble un peu "scolaire" .

J'ai découvert Pitot à travers ce film ( vers la fin de l'extrait ) . 



Vasimolo

 #6 - 30-11-2013 14:55:53

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Mathématiques pour les nuls 19 (Géommétrie du triangle) + Solution

Bah alors Vasimolo on cale ?
Il n'y a pas vraiment de solution évidente, il y a une solution "rapide", mais il y a deux astuces dont la première est le théorème de Pitot-(Steiner) wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 02-12-2013 19:40:32

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

mathématiques pour les nuls 19 (géométrie du yriangle) + solution

Ajout d'un troisième indice, après je ne peux plus rien pour vous vu que personne n'a commencé...

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 03-12-2013 13:54:55

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

mathématiques pour les nuls 19 (géométrie du triangle) + splution

Il n'y aurait-il pas une erreur dans l’énoncé? Je ne vois pas ce qui m'échappe mais ma figure ne marche pas sad
http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-ABCD.JPG

 #9 - 03-12-2013 19:36:15

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Mathématiques pour les nuls 19 (Géométrie du trianle) + Solution

Kossi_tg non il n'y a pas d'erreur, c'est juste que dans ton quadrilatère de départ il faut que tu traces un cercle à l'intérieur qui soit tangent à ses côtés, et normalement ça devrait aller wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 07-12-2013 20:02:22

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

matjématiques pour les nuls 19 (géométrie du triangle) + solution

Solution du problème :

Reprenons les indices 1 et 2, et désolé pour l'indice trois j'ai mis des points cocycliques alors que je voulais mettre un quadrilatère cyclique.
Si E est le point d'intersection de [latex]\Delta[/latex] et (d) alors puisque ABCE et ABCD sont circonscriptibles on a :
[TeX]CD-CE=(AB+CD)-(AB+CE)[/TeX]
[TeX]=(BC+AD)-(BC+AE)[/TeX]
[TeX]=AD-AE[/TeX]
D'où AE+CD=CE+AD donc AECD est circonscriptible et le cercle inscrit dans ce quadrilatère a pour centre [latex]I_3[/latex] le cercles est donc C3 et (d) est bien tangente à C3.

Comme [latex]I_1I_2I_3C[/latex] est cyclique :
[TeX]\widehat {I_3 C I_1}=\widehat {I_3 C E}+\widehat {E C I_1}[/TeX]
[TeX] =\frac{1}{2}\left(\widehat {DCE}+\widehat{ECB}\right)[/TeX]
[TeX]=\frac{1}{2}\widehat {DCB}[/TeX]
[TeX]=\pi-\widehat {M I_2 N}[/TeX]
[TeX]=\widehat {I_3 I_2 I_1}[/TeX]
Soit [latex]H_1[/latex] et [latex]H_2[/latex] les symétriques orthogonaux respectifs de C par rapport à [latex](I_2 I_3)[/latex] et [latex](I_2 I_1)[/latex].

Comme [latex](I_2 I_1)[/latex] est la bissectrice de [latex]\widehat{MNC}[/latex] le point [latex]H_2[/latex] est sur [latex]\Delta[/latex]. De même pour [latex]H_1[/latex].

Ainsi si F est l’orthocentre de [latex]I_1 I_2 I_3[/latex] alors [latex]\widehat{I_2 H_2 I_1}=\pi-\widehat{I_1 F I_2}[/latex] ainsi [latex]I_2 F H_1 H_2}[/latex] est cyclique.

Ainsi [latex]\widehat{H_2 F I_2}=\widehat{H_2 I_1 I_2}=\widehat{I_2 I_1 C}=\widehat{I_2 I_3 C}=\widehat{H_1 I_3 I_2}=\widehat{H_1 F I_2}[/latex]

D'où le résultat !!!
En espérant que je ne me suis pas trompé dans les indices roll

Shadock cool


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