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 #1 - 21-09-2010 21:59:24

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3327

Mathématiques pour les nuuls 5

Bon après un petit, un énorme problème de compréhension j'ai changé l'énigme mais le thème est toujours le même.

Dans un espace en trois dimensions, on place n'importe où, une sphère de rayon 1.
On inscrit un tétraèdre régulier, ABCD, dans la sphère de manière à ce que tout les sommets soient en contact avec la sphère.

1)Quel est la longueur d'un côté du tétraèdre?

2)En admettant que l'on construise une nouvelle "sphère" boule 'pour les puriste), qui est inscrite dans ce tétraèdre, de manière à ce que les faces du tétraèdre soient tangente à la sphère :

Quel est le volume de la boule?

Je récapitule roll A la fin on a une sphère de rayon 1 dans la quelle il y a un tétraèdre régulier dans lequel il y a une boule.

Ouf j'ai réussis, bon si je ne suis pas clair ma boite de MP est ouverte à vos question de compréhension de la langue française façon Shadock lol

Bonne chance à tous smile                                              Shadock wink

Difficulté: 5/10



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 #2 - 22-09-2010 00:05:30

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Mathématiiques pour les nuls 5

Le coté du tétraèdre régulier (volume maximal) inscrit dans une sphère de rayon R est: [latex]a=2R\dfrac{\sqrt{6}}{3}[/latex] (détails par exemple: http://serge.mehl.free.fr/exos/TetraMax.html) d'où ici 1,633.

Le rayon de la sphère inscrite dans un tétraèdre régulier de coté a est: [latex]r=a\dfrac{\sqrt{6}}{12}[/latex], ce qui fait précisement [latex]r=\dfrac{R}{3}[/latex], ce qui est un résultat simple à connaitre: dans un tétraèdre régulier le rapport des rayons de la sphère circonscrite à celui de la sphère inscrite est de 3. (détails par exemple: http://www.ac-noumea.nc/maths/polyhedr/tetra_s1.htm). La sphère inscrite à donc un rayon de 1/3 et son volume est donc: [latex]\dfrac{4}{3}\pi(\dfrac{1}{3})^3=\dfrac{4\pi}{81}=0,155[/latex]

Voila, voila. Merci pour l'énigme.
Mais de la géométrie dans l'espace, est-ce vraiment pour les nuls???
Bien sûr google est notre ami...

 #3 - 22-09-2010 09:24:22

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

Mathématiques pour els nuls 5

Toi aussi, tu fais faire tes devoirs sur le forum, maintenant ? *sifflote*


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 22-09-2010 17:04:43

akiro
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 8

Mathématiques pour les nul 5

coté du tetraedre = 3
volume de la boule inscrite = pi*4/3
soit environ V=4.2

 #5 - 22-09-2010 19:34:17

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Mathématiques pur les nuls 5

0,707106781 pour la 1ere
et la 2eme 0,185120122 si c'est possible car en te renseignant vite, tu remarquera qu'une sphère, c'est vide, c'est un ballon, et la terre c'est une boule. Le ballon n'a pas devolume!


Un promath- actif dans un forum actif

 #6 - 23-09-2010 21:03:22

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Mathéématiques pour les nuls 5

En même temps, il reste plus de quatre jours pour répondre smile


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 #7 - 24-09-2010 05:49:13

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

mathématiques pour les nuld 5

"Ouf j'ai réussis"...smile

 #8 - 24-09-2010 06:33:26

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

mathématiqies pour les nuls 5

bon plus serieusement, sauf erreur...

Je pars d'un tetraedre avec base a plat dont le sommet du haut est A et le centre de gravite est O. O est aussi le centre de la sphere.

J, appelle E le centre de gravite de la base du tetraedre. comme OA=1, OE=1/3 et AE=4/3. et donc finalement si je projette le tout sur disons OAB (B est un des points de la base), j'ai un joli dessin du genre :
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-cerclep2t.jpg

et donc on a un cote donné par :
[TeX]AB^2=AE^2+EB^2[/TeX]
Or, sur la base, si j' appelle F le projete de B sur CD, j'ai
[TeX]EB=\frac{2}{3} BF = \frac{2}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} BC =\frac{1}{\sqrt{3}} AB[/TeX]
ce qui donne
[TeX]AB^2=AE^2+\frac{1}{3} AB^2[/TeX]
d'ou
[TeX]AB = \sqrt{\frac{3}{2}} AE =\sqrt{\frac{3}{2}} \frac{4}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}[/TeX]
Ensuite, la boule a l'interieur sera de meme centre encore, et son rayon est directement donne par le point E : 1/3.

 #9 - 27-09-2010 15:09:16

326539
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 13
Messages : 1

Mathématiques pour les nls 5

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