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 #1 - 31-10-2015 17:58:01

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Optmiisation de carrés

Bonjour

Une énigme que je ne pourrai pas suivre hélas, je rentre lundi

Sur une grille carrée de (n+1)(n+1) points, on veut placer exactement n carrés non ponctuels tels que tous les sommets de ces carrés soient des points de la grille, et que les carrés ne se touchent ni par un sommet ni par une arête, bref qu'ils ne se touchent jamais.
Mais ils peuvent toucher le bord de la grille.
On note A_n l'aire maximale de l'ensemble des carrés disposés. Bien sûr A<n² pour n>1
Pour n=2 on se rend compte qu'on ne peut pas satisfaire les conditions
Pour n=3, on trouve A=3 donc A/n²=1/3
Pour n=4, la configuration suivante montre A>=8 donc A/n²>=1/2

http://img15.hostingpics.net/thumbs/mini_707916Descarrsdansungrand.png

Calculer la limite quand n tend vers l'infini de (A_n)/n²


Bonne chance!



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 #2 - 31-10-2015 18:45:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Optimisation de carés

On sent bien que la réponse est 1 mais pourquoi ? Je vais y réfléchir ( j'adore ces petits problèmes ) smile

Vasimolo

 #3 - 31-10-2015 19:01:25

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,472E+3

optimisation de careés

On peut facilement placer un carré (n-2)x(n-2) dans un coin et des carrés unitaires autour donc la limite est 1.

 #4 - 31-10-2015 19:08:39

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

opyimisation de carrés

Vasimolo: bon courage!

Gwen: Bien! smile


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 #5 - 31-10-2015 23:55:45

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Optimissation de carrés

Ça semble trop simple : j’ai dû rater quelque chose.

On place une succession de carrés 1*1 en haut alignés.  Comme il y a n+1 points par ligne, on peut placer n/2  carrés en ligne en tenant compte de l’espacement.

On laisse un interligne vide et on recommence mais on décide de n’en mettre que n/2-1.

Reste un carré à placer dont on place le sommet "haut-gauche" en ligne 5 à gauche. L’espace en bas/droite du sommet est vide. On peut donc placer dans cet espace un carré n-4*n-4

On a donc An > (n-4)^2/ n^2= (1-4/n)^2 qui tend vers 1 pour n tendant vers l'infini.

La limite est donc 1

 #6 - 01-11-2015 08:04:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2954

Optimisation de carrsé

Salut Promath,
Il suffit de placer un gros carré de coté n-2 dans un coin et de placer les n-1 autres carrés de coté 1 sur les 2 cotés libres. On néglige l'aire occupée par les petits carrés. Le rapport aire occupée/aire totale est de (n-2)²/n²=1-4/n+4/n² qui tend vers 1 quand n tend vers 00.

 #7 - 01-11-2015 08:49:38

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Otimisation de carrés

Nodgim, Portugal :oui


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 #8 - 01-11-2015 09:31:48

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

optimisatoon de carrés

1
Considérons N² carrés (1-epsilon)*(1-epsilon) disjoints dans un carré NxN.
Ils représentent une surface N²*(1-2epsilon+epsilon²).
A l'échelle près, epsilon=1/2k, en zoomant d'un facteur 2k, toutes les valeurs sont entières comme dans l'énoncé.

 #9 - 01-11-2015 10:57:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

optimisatipn de carrés

En fait c'est assez simple , il suffit de caser un gros carré dans l'angle et de saupoudrer les deux côtés restants avec des petits carrés de côté 1 :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-carresvers1.png

Vasimolo

 #10 - 01-11-2015 11:51:13

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

optimisarion de carrés

Bonjour,
Ce n'est sans doute pas optimisé, mais on peut toujours placer un carré de côté [latex]n-2[/latex] dans le coin en bas à gauche, et [latex]n-1[/latex] carrés unitaires sur la bande de largeur [latex]1[/latex] en haut et à droite (on pourrait même en placer [latex]n[/latex] si [latex]n[/latex] est impair).
[TeX]1\geq A\geq(n-2)^{2}+(n-1)=n^2-3n+3[/TeX]
Donc [latex]\lim\limits_{n \to \infty} \frac{A}{n^2}= 1[/latex]

 #11 - 28-11-2015 17:05:44

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Optimisatio de carrés

Bien!


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